均数

1/4

6.2算术平均数与几何均数的应用

一、基础知识

1、算术平均数：如果Rba,，那么

2

ba

叫做这两个正数的算术平均数。

2、几何平均数：如果Rba,，那么ab叫做这两个正数的几何平均数。

3、定理：如果Rba,，那么abba222（当且仅当a=b时取“=”号）

4、推论：如果Rba,，那么ab

ba





2

（当且仅当a=b时取“=”号）

5、基本不等式：若Rba,，则

ba

ab

baba

11

2

22

22











当且仅当a=b时取“=”号

二、例题选讲

（一）利用基本不等式证明不等式

例1、设实数x、y满足.10,02axy求证:

8

1

2log)(log

a

yx

a

aa

证明：

.22,0,02xxyxyxyxaaaaaa

,10,

4

1

)

2

1

(

4

1

22axxx

.228

1

4

1

aaaayx.

8

1

2log2log)(log8

1



aa

yx

a

aaa

例2、已知Rc,b,a，求证cbaaccbba2222222

证明：

2

22

22

















baba



bababa

2

2

2

2

22

同理cbcb

2

2

22,acac

2

2

22

三式相加得cbaaccbba2222222

例3已知

,1cba，Ra、、b、且

求证：

).1)(1)(1(8)1)(1)(1(cbacba

2/4

证明：

,1cba，Ra、、b、且

所以要证原式只要证：

].)][()][()[(8])][()][()[(ccbabcbaacbaccbabcbaacba

即证：

),)()((8)]())][(())][(()[(baaccbcbaccbbaacba

(1)

))((2)()(

))((2)()(

))((2)()(

baacbaac

accbaccb

cbbacbba







三式相加得(1)式成立,故原不等式成立.

练习：已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：

cba

cba

111



证一：a,b,c为不等正数，且abc=1

cba

bacacb

abacbc

cba

111

2

11

2

11

2

11

111















证二：a,b,c为不等正数，且abc=1

cbacabbcaabc

babccabacabc

abacbc

cba















222

222

111

所以

cba

cba

111



小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。

(二)、利用基本不等式求最值

例4、(P180)已知

4

5

x，求函数

54

1

24





x

xy的最大值。

分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。

解

045,

4

5

xx

1323

45

1

45

54

1

24





















x

x

x

xy

当且仅当

x

x

45

1

45



，即x=1时”=”成立

当x=1时1

max

y

3/4

例5已知

0a

,求函数

ax

ax

y







2

21

的最小值.

解:,

1

2

2

ax

axy





当

10a

时,,2

1

2

2





ax

axy当且仅当ax1时取等号,2

min

y.

当

1a

时,令

)(2ataxt

.

0

1

1)(.

1

)(

2

/

t

tf

t

ttfy

)(tf在[

),a

为增函数.

,

1

)(

a

a

afy



等号当at即

0x

成立,.

1

min

a

a

y



综上所述,

10a

时,

2

min

y;

1a

时.

1

min

a

a

y





结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小

(三)、基本不等式的综合应用

例6(选讲)、已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在

静水中的速度为vkm/h(8

0

v)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，

当v=12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v

0

应

为多少？

分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学

思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题

中要重视。

解：设每小时的燃料费为y

1

，比例系数为k(k>0)，则2

1

kvy

当v=12时，y

1

=720

212720k得k=5

设全程燃料费为y，依题意有

3200016

8

64

81000

8

64

81000

8

1000

8

2002

1













































v

v

v

v

v

v

v

yy

当

8

64

8





v

v，即v=16时取等号

8

0

v

所以当16



v时，v=16时全程燃料费最省

当16



v时，令

8

64

8





v

vt

4/4

任取

021

8vvv

则80,880

21

vv



0

88

64

1

21







vv





0

88

64

1

21

2121























vv

vvtt

即

8

64

8





v

vt在



v,8上为减函数，当v=v

0

时，y取最小值

8

10002







v

v

综合得：当16



v时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当16



v时，当v=v

0

时，全程燃料费最省，为

8

10002







v

v

元。

另解：当16



v时，令

8

64

8





v

vt

2

'

8

64

1







v

t

168

0

vv

6480,8802vv



0

8

64

1

2

'







v

t



0

,8

8

64

8v

v

vt在



上为减函数

以下相同

小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论

判断函数单调性用导数是很有效的方法

三、总结

1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式

2、多次用基本不等式必须保持取“=”的致性

3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等这三个条件。

作业：