根号的计算方法基础

根式及其运算

二次根式的观点、性质以及运算法例是根式运算的基础，在进行根式运算时，

常常用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等相

关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，能够培育同学们综合运用各样知识和

方法的能力．下边先复习相关基础知识，而后进行例题剖析．

二次根式的性质：

二次根式的运算法例：

设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完整平方数，则当且仅

当两个含有二次根式的代数式相乘时，假如它们的积不含有二次根式，则这两

个代数式互为有理化因式．

例1化简：

法是配方去掉根号，所以

由于x-2＜0，1-x＜0，所以

原式=2-x+x-1=1．

＝a-b-a+b-a+b=b-a．

说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取

值范围，则应在字母同意取值的范围内进行化简．

例2化简：

剖析两个题分母均含有根式，若依据往常的做法是先分母有理化，这样计算化简较

繁．我们能够先将分母因式分解后，再化简．

解法1配方法．

配方法是要想法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则

解法2待定系数法．

例4化简：

(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐渐化简．

剖析被开方数中含有三个不一样的根式，且系数都

是解设

2，能够当作

两边平方得

②×③×④得

(xyz)2=5×7×35=352

．

由于x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z明显知足①，所以

解设原式=x，则

解法1利用(a＋b)

3

＝a

3

＋b

3

＋3ab(a＋b)来解．

将方程左端因式分解有

(x-4)(x2

＋4x＋10)＝0．

由于

x2

＋4x＋10＝(x＋2)

2

＋6＞0，

所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．

解法2

说明解法2看似简单，但关于三次根号下的拼集是很难的，所以此题解法1是一般

常用的解法．

例8化简：

解(1)

本小题也可用换元法来化简．

解用换元法．

解直接代入较繁，察看x，y的特色有

所以

3x2-5xy＋3y2

＝3x

2

＋6xy＋3y

2-11xy

＝3(x＋y)

2-11xy

＝3×10

2-11×1＝289．

例11求

剖析此题的重点在于将根号里的乘积化简，不行一味蛮算．

解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a

2-b2

，所

以

A＝(2-1)(2＋1)(22

＋1)(2

4

＋1)(2

2

56＋1)＋1

＝(2

2-1)(22

＋1)(2

4＋1)(28

＋1)(2

2

56＋1)＋1

＝(2

4-1)(24

＋1)(2

8＋1)(216

＋1)(2

2

56＋1)＋1

＝＝(2

2

56-1)(2256

＋1)＋1

＝22×256-1＋1＝22×256，

的值．

剖析与解先计算几层，看一看有无规律可循．

解用结构方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无穷的特色，有

两边平方得

两边再平方得

x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．

察看发现，当x＝-1，2时，方程建立．所以，方程左端必有因式

方程左端因式分解，有

(x＋1)(x-2)，将

(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．

解由于

练习

1．化简：

2．计算：

3．计算：