反函数的二阶导数

24

第2章导数与微分

教学目的

1．理解导数和微分的概念、导数与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切

线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的的关系；

2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导

数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；

3．了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数；

4．会求分段函数的导数；

5．会求隐函数和由参数方程确定的函数的导数，会求反函数的导数。

教学重点

1．导数和微分的概念、导数与微分的关系；

2．导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；

3．基本初等函数的导数公式；

4．高阶导数；

5．隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点

1．复合函数的求导法则；

2．分段函数的导数；

3．反函数的导数

4．隐函数和由参数方程确定的导数。

25

§1导数的概念

一、引例

微积分的创立是为了处理17世纪社会生产实践和科学技术问题，其中非匀速直线运动

的速度，曲线的切线等都可归结为一类特殊的极限—导数。

1．直线运动的速度

设某质点沿坐标轴上作非匀速运动，时刻t动点的坐标为s，s是t的函数：

)(tfs

求动点在时刻t

0

的速度

v

。

考虑比值

0

0

0

0

)()(

tt

tftf

tt

ss











是动点在时间段

],[

0

tt

（或],[

0

tt）内的平均速度。如果时间较短，这个比值近似于动点在

时刻t

0

的速度。如果

0

tt

时，平均速度的极限存在就把这个极限值称为动点在时刻t

0

的（瞬

时）速度，即

0

0

)()(

lim

0

tt

tftf

v

tt







2．切线的斜率

如图所示，曲线)(xfy在其上一点

),(

00

yxP

处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线

无限接近于点P时的极限位置。由于割线PQ的斜率为

0

0

)()(

xx

xfxf

k







如果当

0

xx

时k的极限存在，则此极限就是切线PT的斜率k，即

0

0

)()(

lim

0xx

xfxf

k

xx







二、导数的定义

上述两个问题，前一个是运动学的问题，后一个是几何学的问题，但是它们都可以归结

为同一种类型的极限。

定义1设函数)(xfy在点

0

x的某一邻域内有定义，若极限

0

0

)()(

lim

0xx

xfxf

xx





(1)

存在，则称函数)(xf在点

0

x处可导，并称此极限为函数)(xf在点

0

x处的导数，记为

26

)(

0

xf

，

0

xx

dx

dy



注：（1）如果(1)式极限不存在，则称

)(xf

在点

0

x

处不可导。特别地，如果









0

0

)()(

lim

0xx

xfxf

xx

时，习惯上称

)(xf

在点

0

x

处的导数为无穷大，写成





)(

0

xf

。

（2）令

)()(,

000

xfxxfyxxx

，则有

x

xfxxf

x

y

xf

xx















)()(

limlim)(00

00

0h

xfhxf

h

)()(

lim00

0







(2)

所以，导数就是增量之比

x

y





的极限。这个增量之比称为函数关于自变量的平均变化率（又

称差商），而导数

)(

0

xf

则为函数

)(xf

在

0

x

处的变化率。

（3）如果

x

xfxxf

x







)()(

lim00

0

（

x

xfxxf

x







)()(

lim00

0

）

存在，则称此极限为函数)(xf在点

0

x

处的左导数（右导数），记为

)(

0

xf



（

)(

0

xf



）

左导数和右导数统称为单侧导数。

结论：函数)(xf在点

0

x

处可导的充分必要条件是

)(

0

xf



和

)(

0

xf



都存在且相等。

（4）如果函数

)(xfy

在区间I上每一点都可导（区间端点处仅考虑相应的单侧导数），

就称函数

)(xf

在区间I上可导。这时，对于任一xI，都对应着

)(xf

的一个确定的导数值，

这样构成的一个新的函数叫做函数

)(xf

的导函数。记为

y

，

)(xf

，

dx

dy

或

dx

xdf)(

导函数也简称为导数。把（2）式中的

0

x

换成x，有

x

xfxxf

x

y

xf

xx















)()(

limlim)(

00h

xfhxf

h

)()(

lim

0







（3）

例1求Cxf)(（C为常数）的导数。

例2求

)()(Nnxxfn的导数。

更一般地，有幂函数的导数

1)(

xx

例3求)(xfxsin的导数。

解由于

x

xxx

x

y









sin)sin(

x

xx

x









)cos(

2

sin2

因此

)

2

cos(

2

2

sin

limlim)(

00

x

x

x

x

x

y

xf

xx





















x

x

x

x

x

xx

cos)

2

cos(lim

2

2

sin

lim

00















同理可求得xxsin)(cos

。

27

例4求

)1,0(log)(aaxxf

a

的导数。

解



h

x

h

h

xhx

xf

a

x

aa

h













1log

lim

log)(log

lim)(

00

e

xx

h

xx

h

a

h

x

h

a

xh

x

a

h

log

1

1limlog

1

1loglim

0

1

0









即

ax

x

a

ln

1

)(log



特别地，当

ea

时



x

x

1

ln



三、导数的几何意义

函数)(xf在点

0

x

的导数

)(

0

xf

是曲线

)(xfy

在点

),(

00

yx

处的切线斜率（如图）。

因此，曲线

)(xfy

在点

),(

00

yx

处的切线方程为

))((

000

xxxfyy





法线方程为

)(

)(

1

0

0

0

xx

xf

yy



(

0)(

0





xf

)

例5求曲线

x

y

1

在点)2,

2

1

(处的切线方程与法线方程。

四、可导与连续的关系

设函数)(xfy在点

0

x处可导，则)(lim

0

0

xf

x

y

x











，故











)(

0

xf

x

y

是当0x时的无穷小，因此

xxxfy



)(

0

0)(limlim

0

00









xxxfy

xx



所以函数)(xf在点

0

x处连续。

结论若函数)(xf在点

0

x可导，则)(xf在点

0

x连续。

注：可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件。

例6函数3)(xxf在),(内连续，但在点0x处不可导。（图示）

例7函数||)(xxf在),(内连续，但在点0x处不可导。（图示）

作业:习题2-16;11;14；17.

28

§2求导法则

一、导数的四则运算

如果函数)(xu和)(xv在点

x

可导，则它们的和、差、积、商（分母为0的点除外）都在

点

x

可导，并且

（1）

)()(])()([xvxuxvxu













；

（2）

)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu









；

（3）

)(

)()()()(

)(

)(

2xv

xvxuxvxu

xv

xu























（验证（2））

注：法则（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形。如

wuvwvuvwuuvw















)(

特别地，

uCCu







)(

。

例1设73502

23



xxxy，求

y

。

例2设

xxxflnsin)(

,求

)(f

。

例3设xycot,求

y

。

同理可得

xx2c)(tan



例4设xyc,求

y

。

同理可得

xxxcotcsc)(csc



二、反函数的导数

如果)(

1xfy是

)(yfx

的反函数，则

)(

1

])([1

yf

xf







即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例5求

xyarcsin

的导数，

)1,1(x

。

例6求xyarctan的导数。

三、复合函数的导数

如果

)(xgu

在点x可导，

)(ufy

在点

)(xgu

可导,则复合函数)]([xfy在点x可

导，且

)()()(xgufxy









或

dx

du

du

dy

dx

dy



证由于)(uf在点u可导，因此

)(lim

0

uf

u

y

u











存在，于是据极限与无穷小的关系有











)(uf

u

y

其中是0u时的无穷小。上式中0u，用u乘上式两边，得

29

uuufy



)(

当0u时,规定0,这时因0)()(ufuufy,用)0(x除上式两边,得

x

u

x

u

uf

x

y



















)(

于是])([limlim

00x

u

x

u

uf

x

y

xx





















由于

)(xu

在点

x

可导,故在该点连续,于是当0x时,0u,从而可以推得

0limlim

00







ux

并且

)(lim

0

xg

x

u

x











所以

x

u

uf

x

y

xx













00

lim)(lim

即

)()()(xgufxy











定理得证。

注：复合函数的求导公式亦称为链式法则，对于由多个函数复合而得的复合函数，其导

数公式可反复应用

dx

du

du

dy

dx

dy

而得。

例7设

xysinln

,求

y

。

例8设

||lnxy

，求

dx

dy

。

例9设3

221xy

，求

dx

dy

。

例10设xey

1

sin



求

dx

dy

。，

例11设0x，证明1)(

xx。

四、求导公式

基本初等函数的导数公式列出如下:

（1）

0)(



C

,（2）1)(

xx,

（3）

xxcos)(sin

,（4）

xxsin)(cos

，

（5）xx

2c)(tan

,（6）xx2csc)(cot

，

（7）

xxxtanc)(c

,（8）

xxxcotcsc)(csc

，

（9）aaaxxln)(

,（10）xxee



)(，

（11）

ax

x

a

ln

1

)(log

，（12）

x

x

1

)(ln

，

（13）

21

1

)sin(

x

xarc





,（14）

21

1

)cos(

x

xarc







（15）

21

1

)tan(

x

xarc





,（16）

21

1

)cot(

x

xarc





。

例12设xnxy

nsinsin，求y

。

例13设)(xf可导，)(cos)(sin

22xfxfy，求y

。

30

作业:习题2-22(2)(10);8(1)(3)(5)(7);10(1);11(1)(2)(3)(6)(7)(8).

§3高阶导数

定义若

)(xf

在点

0

x

可导，则称

)(xf

在点

0

x

的导数为

)(xf

在点

0

x

的二阶导数，记为

)(

0

xf

，即

0

0

0

)()(

lim)(

0xx

xfxf

xf

xx













同时称

)(xf

在点

0

x

二阶可导。

·若

)(xf

在区间

I

上每一点都二阶可导，则得到一个定义在

I

上的函数，称为

)(xf

二

阶导函数，简称为二阶导数，记为

)(xf

，

y

或

2

2

dx

yd

一般地，可由

)(xf

的1n阶导函数定义

)(xf

的

n

阶导函数（简称为

n

阶导数）。

·二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f在点

0

x

处的n阶导数记为

)(

0

)(xfn，

0

)(

xx

ny



或

0

xx

n

n

dx

yd



相应地，n阶导函数记为

)()(xfn，)(ny或

n

n

dx

yd

这里

n

n

dx

yd

亦可写作为y

dx

d

n

n，它是对y相继进行n次求导运算“

dx

d

”的结果。

例1设

baxy

，求

y

。

例2设xey，求)(ny(0)。

例3求正弦和余弦函数的n阶导数。

例4设

)1ln(xy

，)(ny求。

显然，如果

)(xu

，

)(xv

有直到n阶的导数，则)()()()(nnnvuvu，而?)()(nuv

vuvuuv











)(，约定uu)0(，

vuvuvuuv













)0()0(2)(比较：200222)(vuuvvuvu

vuvuvuvuuv

















)0()0(33)(302203333)(vuuvvuvuvu

一般地，由二项式定理kkn

n

k

k

n

nvuCvu





0

)(，猜想

)()(

0

)()(kkn

n

k

k

n

nvuCuv





)()2()1()(

!2

)1(

nnnnuvu

nn

vunvu













上式可以用数学归纳法得到，称为莱布尼茨公式。

例5设xexy22，求)20(y。

作业:习题2-31(1)(9);8(2)(3);9(3).

31

§4隐函数和参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

前面我们遇到的函数有一个共同的特点：因变量由自变量明显地表示出来，我们称用

这种方式表达的函数为显函数。有许多函数的表达方式却不是这样，如方程

013yx

表示一个函数，因为当变量

x

在),(内取值时，变量

y

有唯一确定的值与之对应。这

样的函数我们称之为隐函数。

一般地，如果变量

x

和

y

满足一个方程

0),(yxF

，在一定条件下，当

x

取某区间内的

任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的

y

值存在，那么就说方程

0),(yxF

在该区间内

确定了一个隐函数。

下面我们通过实例给出直接由方程求它所确定的隐函数的导数的一种方法。

例1求由方程

)0(0

222yRyx所确定的隐函数

)(xyy

的导数。

解法一（显化求导）

解法二：将

)(xyy

代入方程，得

0)]([222Rxyx

两边对x求导。得

022



yyx

所以

y

x

y



·隐函数微分法：将

)(xyy

代入方程，得恒等式

0)](,[xyxF

（把y看成x的函数）两边对x求导，然后解出

y

，即是由方程

0),(yxF

确定的隐函数

)(xyy的导数。

例2求由方程1

1

sin





xy

xy所确定的隐函数y在0x处的导数。

解方程两边分别对x求导，注意y是x的函数，所以

0

)(

1

)(cos

2















xy

y

yxyxy

将0x代入原方程，得

1)0(y

。再将它们代入上式，得

2)0(



y

例3求椭圆0

916

2

2



y

x

在点)3

2

3

,2(处的切线方程。

例4求由方程0sin

2

1

yyx所确定的隐函数y的二阶导数

2

2

dx

yd

.

解方程两边分别对x求导，得

0cos

2

1

1

dx

dy

y

dx

dy

于是

ydx

dy

cos2

2





32

上式两边再对

x

求导，得

322

2

)cos2(

sin4

)cos2(

sin2

y

y

y

dx

dy

y

dx

yd













·对数求导法：先在

)(xfy

的两边取对数，然后再求出

y

的导数。

例5设

)0(xxyx，求

y

。

例6设

)4)(3(

)2)(1(







xx

xx

y

，求

y

。

二、由参数方程所确定的函数的导数

如果函数

)(xfy

由参数方程











)(

)(

ty

tx





给出，则在一定的条件下

)(

)(

t

t

dx

dy











注：（1）条件是指①

)(tx

存在反函数

)(

1xt，②

)(t

，

)(t

可导，且

0)(



t

。

公式推导：函数

)(xfy

可以看成是由函数

)(ty

，

)(1xt

组成的复合函数

)]([1xy

根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有

)(

)(

1

t

t

dt

dx

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy











（2）如果

)(t

，

)(t

二阶可导，则

)(

)()()()(

32

2

t

tttt

dx

yd















例7求椭圆











tby

tax

sin

cos

在

4



t相应的点处的切线方程。

解当

4



t时，椭圆上的相应点

0

M的坐标是：

2

2

4

cos

0

a

ax



，

2

2

4

sin

0

b

by



曲线在点

0

M的切线斜率为：

a

b

ta

tb

ta

tb

dx

dy

ttt









44

/

/

4

sin

cos

)cos(

)sin(



所以椭圆在点

0

M处的切线方程

)

2

2

(

2

2a

x

a

bb

y

化简后得02abaybx

33

例8已知抛射体的运动轨迹的参数方程为















2

2

1

2

1

gttvy

tvx

求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向

解速度的水平分量为

1

v

dt

dx



铅直分量为gtv

dt

dy



2

所以抛射体运动速度的大小

2

2

2

1

22)()()(gtvv

dt

dy

dt

dx

v

再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。

设



是切线的倾角，根据导数的几何意义

1

2tan

v

gtv

dt

dx

dt

dy

dx

dy





所以，在抛射体刚射出（即0t）时

1

2

0

0

tan

v

v

dx

dy

t

t









当

g

v

t2时

0tan

2

2







g

v

t

g

v

tdx

dy



这时，运动方向是水平的，即抛物体达到最高点。

例9求摆线











)cos1((

)sin(

tay

ttax

所确定函数)(xyy的二阶导数。

作业:习题2-41(1)(4);2;4(2);5(2);7(2);8(2).

34

§5函数的微分

一、微分的定义

例1正方形金属薄片受温度的影响，它的边长由

0

x

的变为

xx

0

，相应地面积的增量

为

2

0

2

0

)(xxxS2

0

)(2xxx

S由两部分组成：第一部分为

xx

0

2

(即图中阴影部分的

面积)是x的线性部分，第二部分2)(x

是比x高阶的无穷小。

所以当

||x

很小时，

xxS

0

2

，误差是比x高阶的无穷小。

定义设函数)(xfy在点

0

x

的某邻域内有定义，当给自

变量一个增量x，如果相应地函数增量

)()(

00

xfxxfy

能表示成

)(xoxAy

其中

A

是与x无关的常数，则称函数

)(xf

在点

0

x

可微，并称xA为

)(xf

在点

0

x

的微分，

记为

0

xx

dy



或

0

)(

xx

xdf



即xAdy

xx





0注：

0

xx

dy



是x函数。

结论函数

)(xf

在点

0

x

可微的充要条件是函数

)(xf

在点

0

x

可导，此时

xxfdy

xx









)(

0

0

。

（证）

注：（1）如果函数)(xfy在区间I上每一点都可微，则称

)(xf

为I上的可微函数。

)(xfy在I上任一点x处的微分记为dy或)(xdf，即

xxfdy



)(

它不仅依赖于x，而且也依赖于x。

例2求3xy在2x处，当02.0x时的微分。

（2）称

dy

为y的线性主部。

（3）特别当xy时，有xdxdy，故自变量的微分dx就等于自变量的增量。于是

函数的微分常记为

dxxfdy)(





所以

dx

dy

xf



)(

导数也常称为微商。

二、微分的几何意义

对于某一个

0

x，曲线上有一个确定点),(

00

yxM与之对应，当自变量x有微小增量x时，

就对应于曲线上另一点),(

00

yyxxN。从图可知:

35

xMQ，yQN

过点

M

作曲线的切线

MT

，它的倾角为



，则

)(tan

0

xfxMQQP





，

即QPdy。

dy：当x由

0

x

变到

xx

0

时，曲线在点

),(

00

yxM

处切线上的纵坐标的相应增量。

当

||x

很小时，

||dyy

比

||x

小得多。因此在点

M

的邻近，我们可以用切线来近似

代替曲线段。

三、初等函数的微分公式与微分运算法则

1．由

dxxfdy)(





与基本初等函数的导数公式，可得相应的微分公式。

2．函数和、差、积、商的微分法则

dvduvud)(

；

udvvduuvd)(

；



2v

udvvdu

v

u

d



。

3．复合函数的微分运算法则

dxxgufxgfd)()())]([(





其中

)(xgu

。由于

dxxgdu)(





，所以上式也可写作

duufdy)(

这与以u为自变量的函数

)(ufy

的微分在形式上完全相同。这个性质通常称为一阶微分形

式的不变性。

例3求

dy

（1）)12sin(xy；

（2）)1ln(

2xey；

（3）xey

xcos31

例4在下列等式左端的括号中填上适当的函数，使等式成立。

（1）xdxd)(；

（2）tdtdcos)(。

四、微分在近似运算中的应用

当0)(

0





xf，||x很小时，有

xxfdyy



)(

0

所以xxfxfxxf



)()()(

000

36

或

))(()()(

000

xxxfxfxf





如果

)(

0

xf

与

)(

0

xf

都容易计算，那么可利用上面两式来近似计算

)(

0

xxf

或)(xf。

特别取

0

0

x

，有

xffxf)0()0()(





常用近似公式（

||x

较小）

（1）xxsin；（2）xxtan；

（3）xxln；（4）

xex1

；

（5）

x

n

xn

1

11

。

例5有一批半径为cm1的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为cm01.0。

估计每只球需用铜多少（铜的密度是39.8cm）？

例6（1）计算

0330sin

0的近似值；

（2）计算05.1的近似值。

作业:习题2-53(4)(7)(8)(9);4;8(1).

小结

一、本章基本内容

（一）基本概念与结论

1．导数的概念

（1）

x

xfxxf

x

y

xf

xx















)()(

limlim)(

00

。

（2）几何意义：

)(

0

xf

表示曲线)(xfy在点))(,(

00

xfx处切线的斜率。

（3）如果函数

)(xf

的导数存在，则称为

)(xf

的二阶导数：

)(xf

，

y

。可类似定义n

阶导数。

2．微分的概念

（1）如果

)(xoxAy

，其中A是与x无关的常数，则称

)(xfy

在点x可微，

而xA称为)(xf的微分。

微分就是函数增量的线性近似。

（2）几何意义：给定自变量增量x，dy就是曲线切线上点的纵坐标的相应增量。

3．可导、可微与连续之间的关系

（1）可导可微，此时dxxfdy)(



。

（2）可导连续，反之不然。

)(xfy在点

0

x连续，但不可导，从几何上看大致有两种情况（图示）：

37

①尖点：如

||xy

在点0x处；

②切线垂直于

x

轴：如如3xy在点0x处。

4．一阶微分形式的不变性

不论

u

是自变量还是中间变量，对函数

)(ufy

都有

duufy)(





。

（二）计算

1．四则运算法则与链式法则

vuvuuv











)(udvvduuvd)(

；

2

)(

v

vuvu

v

u











2

)(

v

udvvdu

v

u

d



；

)()()]([xgufxgf





dxxgufduufxgfd)()()()]([









2．基本初等函数的导数公式。

3．隐函数、参数方程确定的函数的导数

（1）设

)(xfy

是由

0),(yxF

确定的隐函数，求

y

：

方程

0),(yxF

两边对

x

求导（y看成

x

的函数），解出

y

。

（2）对数求导法：

)(xfy

两边取对数：

)(lnlnxfy

，再两边对x求导，解出

y

。

应用于①幂指函数，②多因式连乘、除构成的函数。

（3）函数

)(xfy

由参数方程











)(

)(

ty

tx





给出，则

)(

)(

)(

)(

t

t

td

td

dx

dy













。

4．利用微分求函数的近似值

xxfxfxxf



)()()(

000

二、例题

例1

)(

0

xf

，

))((



xf

，

))((

0



xf

得区别？

例2已知

1)(

0





xf

，求

)()(

lim

00

0xxfxf

x

x

。

例3求

)(xf











0)1ln(

0sin

xx

xx

的导数。

例4求下列函数的导数：

（1）

xx

xx

y







11

11

；

（2）

21

1

ln

x

xxxy



；

例5求下列函数的导数：

（1）

2)1(

)1(

2

4

xex

xx

y





；

（2）xxxycos)(sin。

38

例6设函数

)(xfy

由方程

yxxy2

确定，则dxdy

x



0

|（2000考研2）。

例7设函数

)(xfy

由方程

1)cos(2exyeyx确定，则曲线

)(xfy

在点

)1,0(

处

的法线方程。（2001考研2）

作业:总习题二7(1)(3)(5).