剪力图

剪力图和弯矩图

以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别

绘制表示FQ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。

绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；

正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。

一、根据内力方程作内力图

剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系；

弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。

例题1图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图

解：

1.列剪力方程和弯矩方程

FxF

Q

)((0＜x＜l)

FxxM)((0≤x＜l)

2.作剪力图和弯矩图

由剪力图和弯矩图可知：

FlM

FF

Q





max

max

例题2简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。

解：1.求约束反力

由对称关系，可得：

qlFF

ByAy2

1



2.列剪力方程和弯矩方程

qxqlqxFxF

AyQ



2

1

)(

22

2

1

2

1

2

1

)(qxqlxqxxFxM

Ay



3.作剪应力图和弯矩图

最大剪力发生在梁端，其值为

qlFQ2

1

max



最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax2

8

1

ql

例题3简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。

解：1.求约束反力

l

Fa

F

l

Fb

F

ByAy

,

2.列剪力方程和弯矩方程

AC段：

l

Fb

FxF

AyQ

)(（0

l

Fb

xFxM

Ay

)((0≤x≤a)

CB段：

l

Fa

F

l

Fb

FFxF

AyQ

)((a

)()()(xl

l

Fa

axFxFxM

Ay

(0≤x≤l)

3.作剪力图和弯矩图

例题4简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。

解：1.求约束反力

l

M

F

l

M

Fe

By

e

Ay

,

2.列剪应力方程和弯矩方程

AB段：

l

M

xFe

Q

)(（0

AC段：

x

l

Me

xFxM

Ay

)((0≤x≤a)

CB段：

e

e

AY

Mx

l

M

MexFxM)((a

3.绘出剪力图和弯矩图

二、根据内力图规律做图

１.剪力图与荷载的关系

（１）在均布荷载作用段，FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同

(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。

(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大

小。

(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。

2.弯矩图与荷载的关系

(1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。

(2)当q(x)朝下时，0)(

)(

2

2

xq

dx

xMd

，M图为上凹下凸。

当q(x)朝上时，0)(

)(

2

2

xq

dx

xMd

，M图为上凸下凹。

(3)在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M图向下转折；反之，则向上

转折。

(4)在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，

由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。

3.弯矩图与剪力图的关系

(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。

(2)当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，

M图为斜直线。

(3)剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于

零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。

例题５简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩

图。

解：1.求约束反力

kNFkNF

ByAy

15,15

2.画FQ图

各控制点处的FQ值如下：

FQA右=FQC左=15kN

FQC右=FQD=15kN－10kN=5kN

FQD=5kNFQB左=－15kN

3.画M图

MA=0,MC=15kN×2m=30kN.m

MD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.m

MD右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.m

MB=0

mmmkNmkNM

E2

3

3/5315mkN·5.22

例题6一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ、M图。

解：1.求约束力

kNFkNF

ByAy

13,5

2.画内力图

(1)剪力图。

ACB段：

FQ图为一水平直线

FQA右=FQC=FQB左=－5kN

BD段：FQ图为右下斜直线。

FQB右＝FQB左+13=8kNFQD=0

(2)弯矩图

AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线

MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m

CB段：

FQ<0,故M图为一右上斜直线，

在C处弯矩有突变。

MC右=－5kN×2m+12kN.m

MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m

BD段：

段内有向下均布荷载，M图为下凸

抛物线，

MB=－8KN.m，MD=0

例7外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。

解：

（1）求梁的支座反力

由

0Am02

2

1

352aqmaRaP

B

解得

kNRqaPR

AB

52

由0Y02qaRRP

BA

解得

kNqa

a

m

PR

A

1024

3

1

















（2）画内力图：

CA段:q=0，剪力图为水平直线；弯矩图为斜值线

kNPQQ

AC

3

0

C

M

kNaPM

A

8.1

AD段:q=0,剪力图为水平直线；弯矩图为斜值线。

kNaPM

A

8.1

kNRPQQ

ADA

7

q=10kN/m

B

E

D

A

C

m=3.6kNm

P＝3kN

a=0.6ma=0.6m

2a=1。2m

mkNaRaPM

AD

4.22

DB段:q<0,剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。

kNRQ

BB

5

qxRxQ

B

ax20

令：0xQmx

q

R

B5.0

maRaPM

AD

2mkN2.1

2/5.05.02qRM

BE

mkN25.1

0

B

M

例8试画出图示梁的内力图。

（Q）

（M）

q＝5kN/m

2kN

A

C

B

8m

1m

+

-

+

19.75kN

x=3.95m

2kN

（M）

+

-

39kNm

2kNm