台体

1设棱台的上下底面半径分别为r与R，高为h。将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的相

似比为r：R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为r·x与R·x，则R·x－r·x＝h，则x＝h/(R-r)。

而圆台的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积＝（1/3）·π·R＾2·R·x－（1/3）·π·r＾2·r·x

＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·x。将前面x代入上式得，圆台的体积＝（1/3）·π·（R＾3－

r＾3）·[h/(R-r)]，利用三次立方差公式分解因式并约分得，圆台的体积＝（1/3）·πh·（R＾

2＋R·r＋r＾2）。

2圆台侧面展开，就是一个大的扇形挖掉一个小的扇形

假设：大的扇形，半径是A,小的扇形，半径是a

那么他们对应的圆心角是一样的，也就是2πr/a=2πR/A=θ

所以(2πR-2πr)/(A-a)=θ也成立，这是由比例式性质得到的

这里A-a=L，也就是侧面母线长度,那么(2πR-2πr)/L=θ

所以a=(2πr)/θ=rL/(R-r)A=(2πR)/θ=RL/(R-r)

小扇形的面积S1=0.5*θa^2大扇形的面积S2=0.5*θA^2

相减得到：侧面积=0.5*θ(A+a)(A-a)=0.5*[(2πR-2πr)/L]*(R+r)L/(R-r)*L

最后整理一下，正好得到:侧面积=π（RL+rL)

两个底面面积很简单，就不说了最后三部分加起来，就是

S=π(R²+r²+RL+rL)