积分求导公式

-

.z.

基本初等函数求导公式

(1)

0)(



C

(2)

1)(

xx

(3)

xxcos)(sin



(4)

xxsin)(cos



(5)

xx2c)(tan



(6)

xx2csc)(cot



(7)

xxxtanc)(c



(8)

xxxcotcsc)(csc



(9)

aaaxxln)(



(10)

(e)exx



(11)

ax

x

aln

1

)(log



(12)

x

x

1

)(ln



，

(13)

21

1

)(arcsin

x

x







(14)

21

1

)(arccos

x

x







(15)2

1

(arctan)

1

x

x







(16)2

1

(arccot)

1

x

x







函数的和、差、积、商的求导法则

设

)(xuu

，

)(xvv

都可导，则

（1）

vuvu











)(

（2）

uCCu







)(

（

C

是常数）

（3）

vuvuuv











)(

（4）

2v

vuvu

v

u























反函数求导法则

若函数

)(yx

在*区间y

I

内可导、单调且

0)(



y

，则它的反函数

)(xfy

在对应区

间x

I

内也可导，且

)(

1

)(

y

xf







或

dy

dx

dx

dy1



复合函数求导法则

-

.z.

设

)(ufy

，而

)(xu

且

)(uf

及

)(x

都可导，则复合函数

)]([xfy

的导数为

dydydu

dxdudx



或

２.双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式：

(sh)chxx



(ch)shxx





2

1

(th)

ch

x

x





2

1

(arsh)

1

x

x





2

1

(arch)

1

x

x





2

1

(arth)

1

x

x







常用积分公式表·例题和点评

⑴dkxkxc(k为常数)

⑵1

1

d(1)

1

xxxc







特别，

2

11

dxc

x

x

,

3

2

2

d

3

xxxc,

1

d2xxc

x



⑶

1

dln||xxc

x



⑷d

ln

x

x

a

axc

a

,特别，edexxxc

⑸sindcosxxxc

⑹cosdsinxxxc

⑺2

2

1

dcscdcot

sin

xxxxc

x



⑻2

2

1

dcdtan

cos

xxxxc

x



-

.z.

⑼

22

1

darcsin(0)

x

xca

a

ax





,特别，

2

1

darcsin

1

xxc

x







⑽

22

11

darctan(0)

x

xca

aa

ax



,特别，

2

1

darctan

1

xxc

x





⑾

22

11

dln(0)

2

ax

xca

aax

ax









或

22

11

dln(0)

2

xa

xca

axa

xa









⑿tandlncosxxxc

⒀cotdlnsinxxxc

⒁

lncsccot

1

cscdd

lntan

sin

2

xxc

xxx

x

c

x



















⒂

lnctan

1

cdd

lntan

cos

24

xxc

xxx

x

c

x

























⒃

(0)

22

1

d

a

x

xa







22lnxxac

⒄

2

(0)

2222darcsin

22

aaxx

axxaxc

a





⒅22dxax2

(0)

2222ln

22

axa

xaxxac





⒆

22

22

sincos

esinde

sincos

ecosde

axax

axax

abxbbx

bxxc

ab

bbxabx

bxxc

ab































⒇

1

2222212

123

d

()2(1)()2(1)nn

nn

xn

xc

axnaaxna











（递推公式）

跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用*一个积分法，最后套用*一个积分公式)

例24含根式2axbxc的积分

⑴2245d(2)1d(2)xxxxx[套用公式⒅]

⑵22

1

45d(24)445d

2

xxxxxxxx

(请你写出答案)

-

.z.

⑶

22

11

dd(2)

45(2)1

xx

xxx





2ln(2)(2)1xx







[套用公式⒃]

⑷

22

1(24)4

dd

2

4545

xx

xx

xxxx







2

22

1d(45)1

2d

2

4545

xx

x

xxxx









(请你写出答案)

⑸22254d3(2)d(2)xxxxx2

22

322

arcsin3(2)

232

xx

x





[套用公式⒄]

⑹22

1

54d(42)454d

2

xxxxxxxx



(请你写出答案)

⑺

222

dd(2)

543(2)

xx

xxx







[套用公式⑼]

2

arcsin

3

x



⑻



22

(42)4d

d1

2

5454

xx

xx

xxxx









2

22

1d(54)d

2

2

5454

xxx

xxxx











(请你写出答案)

例25求原函数

4

1

d

1

x

x.

解因为

所以令

从恒等式

1)12)(()12)((22xxDxCxxBAx

(两端分子相等)，可得方程组

解这个方程组(在草纸上做)，得

2

1

,

22

1

,

2

1

,

22

1

DCBA

.因此，

右端的第一个积分为

2

2

2

2

1d(21)11

d

4

4221

21

2

2

xx

x

xx

x





















(套用积分公式)

类似地，右端的第二个积分为

所以

2

2

2

12112

lnarctan

1

422122

xxx

x

xx









（见下注）

【注】根据

tantan

tan()

1tantan













,则

因此,

-

.z.

例26求

d

(01)

1cos

x

x







.[关于

d

(01)

1cos

x

x







，见例17]

解令tan

2

x

t(半角替换)，则

于是，

【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数

那样规范化.这是因为从根本上说，函数()yyx的导数或微分可以用一个"构造性”的公式

0

()()

()lim

h

yxhyx

yx

h





或d()dyyxx





确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，

其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函

数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能

是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如

21esin

ed,d,d,d

ln

x

x

x

xxxx

xxx

等

都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难

得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，

我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者

能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.