三个点的符号

P

·

α

L

β

DC

BA

α

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻

边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的

平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

A∈L

B∈L=>Lα

A∈α

B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共

直线。

符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O

一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

L

A

·

α

C

·

B

·

A

·

α

共面直线

=>a∥c

2



⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直

线a，b，经过空间任一点O作直线'a∥a,'b∥b,我们把'a与'b所成的锐角（或直角）叫

做异面直线a与b所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于90）。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与

此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

aα

bβ=>a∥α

a∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面

平行。

符号表示：

aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记

作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,

它们唯一公共点P叫做垂足。

L

p

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学

思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭lβ

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

基础练习

一选择题

1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是().

A.相交B.平行

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）

空间直线、平面的位置关系

平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系

直线与直线的位置关系

C.异面D.以上三者都有可能

【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.

【答案】D

2.给出下列结论:

①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线

a∥b,b?α,则a∥α;④若直线a∥b,b?α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中结

论正确的个数为().

A.1B.2C.3D.4

【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;

②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;

③直线a还可能在平面α内,所以③错误;

④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.

【答案】A

3.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有().

A.1对B.2对

C.3对D.4对

【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.

【答案】C

4.过一点与已知直线垂直的直线有().

A.一条B.两条

C.无数条D.无法确定

【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.

【答案】C

5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数

().

A.有限个B.无限个

C.没有D.没有或无限个

【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.

【答案】D

6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面().

A.平行B.相交

C.平行或重合D.平行或相交

【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交.

【答案】D

7.下列说法中,正确的个数是().

①平行于同一平面的两条直线平行.

②直线a平行于平面α内的一条直线b,那么直线a∥平面α.

③若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交.

④直线a与平面α内的无数条直线相交,那么直线a在平面α内.

A.0B.1C.2D.3

【解析】只有③正确.

【答案】B

8.a,b是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题:

①如果a∥b,b?α,那么a∥α;

②如果a∥α,b∥α,那么a∥b;

③如果a∥b,a∥α,那么b∥α.

其中真命题有().

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】①中,a有可能在平面α内,故①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行,

故②不正确;③中,b有可能在平面α内,故③不正确.综上可知,选A.

【答案】A

9.平面α,β满足α∥β,直线a?α,下列四个命题中:

①a与β内的所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不

相交;④a与β无公共点.

其中正确命题的个数是().

A.1B.2C.3D.4

【解析】因为α∥β,直线a?α,所以a与β内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正

确.

【答案】C

10.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α

=G,BC∩α=H,则四边形EFGH是().

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

【答案】A

11.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().

A.(0,)B.[0,)C.(0,]D.[0,]

【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的

取值范围是[0,].

【答案】D

12.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:

①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.

其中正确的个数是().

A.0B.1C.2D.3

【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,

∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.

【答案】D

13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线

().

A.异面B.相交C.平行D.垂直

【答案】D

14.若平面α、β互相垂直,则().

A.α中的任意一条直线都垂直于β

B.α中有且只有一条直线垂直于β

C.平行于α的直线垂直于β

D.α内垂直于交线的直线必垂直于β

【答案】D

15.在长方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A

1

到截面AB

1

D

1

的距

离为().

A.B.C.D.

【解析】利用三棱锥A

1

-AB

1

D

1

的体积变换:=,则×2×4=×6×h,解得h=.

【答案】C

16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,底边BC=6,AB=5,

则P到BC的距离为().

A.4B.5C.3D.2

【解析】作AD⊥BC于D,连接PD,易证PD⊥BC,故PD的长即为P到BC的距离,

易求得AD=4,PD=4.

【答案】A

17.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:

(1)?m∥n;(2)?n∥α;(3)?m⊥n.其中推理正确的个数为().

A.0B.1C.2D.3

【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n?α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即

命题(3)正确.故选C.

【答案】C

18.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线

是().

A.直线ACB.直线AB

C.直线CDD.直线BC

【解析】∵D∈l,l?平面β,∴D∈平面β.

∵D∈AB,AB?平面ABC,∴D∈平面ABC,

∴D在平面ABC与平面β的交线上.

∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,

∴平面ABC∩平面β=CD.

【答案】C

二填空题

1.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC

所成角的大小为.?

【解析】取AC中点G,连接EG,FG,

在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,

∴∠EGF=90°,∴AD与BC所成角为90°.

【答案】90°

2.如图,在正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,BD和B

1

D

1

分别是正方形ABCD和A

1

B

1

C

1

D

1

的对角线.

(1)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同;?

(2)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反.?

【解析】(1)B

1

D

1

∥BD,B

1

C

1

∥BC,并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D

1

B

1

C

1

的两边分

别对应平行且方向相同.

(2)D

1

B

1

∥BD,D

1

A

1

∥BC,并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B

1

D

1

A

1

的两边分别对应平

行且方向相反.

【答案】(1)∠D

1

B

1

C

1

(2)∠B

1

D

1

A

1

3.若a?α,b?β,则a与b的位置关系是.?

【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使a?γ,且b?γ,即a与b仍可以在同一平面内.

【答案】平行、相交或异面

4.在正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F分别是棱BC、C

1

D

1

的中点,则EF与平面BB

1

D

1

D的位置关

系是.?

【解析】如图,取D

1

B

1

的中点O,连接OF,OB.

∵OF??B

1

C

1

,BE??B

1

C

1

,

∴OF??BE,∴四边形OFEB为平行四边形,∴EF∥BO.

∵EF?平面BB

1

D

1

D,BO?平面BB

1

D

1

D,

∴EF∥平面BB

1

D

1

D.

【答案】平行

5.平面α∥平面β,△ABC和△A'B'C'分别在平面α和平面β内,若对应顶点的连线共点,则这

两个三角形.?

【解析】由于对应顶点的连线共点,则AB与A'B'共面,

由面与面平行的性质知AB∥A'B',

同理AC∥A'C',BC∥B'C',故两个三角形相似.

【答案】相似

6.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行

平面有个.?

【答案】一无数无数一

7.已知AH⊥Rt△HEF所在的平面,且HE⊥EF,连接AE、AF,则图中直角三角形的个数

是.?

【解析】易知△AHE,△AHF,△HEF为直角三角形,又因为EF⊥HE,EF⊥AH,所以EF⊥平面

AEH,所以EF⊥AE,即△AEF也是直角三角形.综上所述,图中直角三角形个数为4.

【答案】4

8.在正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,直线C

1

D与平面B

1

CD所成的角为.?

【解析】连接C

1

B交B

1

C于点O,根据直线C

1

B⊥平面B

1

CD,可得直线C

1

D与平面B

1

CD所

成的角为∠ODC

1

,在Rt△ODC

1

中,根据DC

1

=2OC

1

,可得∠ODC

1

=30°,因此直线C

1

D与平面

B

1

CD所成的角为30°.

【答案】30°

9.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,求侧

面与底面所成的二面角.

【解析】易求得底面边长为2,高为3,tanθ=,所以θ=60°.

10.如图,在正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB

1

C,

则线段EF的长度等于.?

【解析】由EF∥平面AB

1

C,可知EF∥AC,

所以EF=AC=×2=.

强化练习

一选择题

1．下列命题中，正确的有()

①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．

④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．

A．2个B．3个

C．4个D．5个

[答案]C

[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．

2．设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是()

A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β

B．l?α，m?β，且l∥m

C．l⊥α，m⊥β，且l∥m

D．l∥α，m∥β，且l∥m

[答案]C

[解析]排除法，A可举反例，如图(1)，B可举反例如图(2)，其中l与m都平行于a，

D可举反例，如图(3)，故选C.

3．(08·福建理)如图，在长方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，AB＝BC＝2，AA

1

＝1，则BC

1

与

平面BB

1

D

1

D所成角的正弦值为()

A.

6

3

B.

25

5

C.

15

5

D.

10

5

[答案]D

[解析]取B

1

D

1

中点O，在长方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，

∵A

1

B

1

＝B

1

C

1

＝2，∴C

1

O⊥B

1

D

1

，

又C

1

O⊥BB

1

，C

1

O⊥平面BB

1

D

1

D，

∴∠C

1

BO为直线C

1

B与平面BB

1

D

1

D所成的角，

在Rt△BOC

1

中，C

1

O＝2，BC

1

＝BC2＋CC2

1

＝5，

∴sin∠OBC

1

＝

10

5

.

4．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA

＝2AB，则下列结论正确的是()

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

[答案]D

[解析]设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，

又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，

又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，

所以△PAD为直角三角形．

∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，

∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.

5．(09·湖北文)如图，在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，∠ACB＝90°，∠ACC

1

＝60°，∠BCC

1

＝45°，侧棱CC

1

的长为1，则该三棱柱的高等于()

A.

1

2

B.

2

2

C.

3

2

D.

3

3

[答案]A

[解析]作C

1

O⊥底面ABC于O，

作OM⊥CB于M，连C

1

M.

作ON⊥AC于N，连C

1

N.

易知ON⊥AC，OM⊥BC，

又∠ACB＝Rt∠，∴ONCM为矩形，OC＝MN，

在Rt△CNC

1

中，∠C

1

CN＝60°，CC

1

＝1，∴CN＝

1

2

，

在Rt△C

1

MC中，∠C

1

CM＝45°，CC

1

＝1，∴CM＝

2

2

.

∴NM＝









1

2

2＋







2

2

2＝

3

2

，∴OC＝

3

2

，

在Rt△C

1

OC中，C

1

O＝1－







3

2

2＝

1

2

，

∴三棱柱高为

1

2

.

6．(09·宁夏海南文)如图，正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1，线段B

1

D

1

上有两个动

点E，F，且EF＝

2

2

，则下列结论中错误的是()

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

[答案]D

[解析]由正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

得，B

1

B⊥平面ABCD，∴AC⊥B

1

B，

又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BDD

1

B

1

，BE?面BDD

1

B

1

，

∴AC⊥BE，故A正确．

由正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

得，B

1

D

1

∥BD，

B

1

D

1

?平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴B

1

D

1

∥平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD，∴B正确．

∵A到平面BDD

1

B

1

的距离d＝

2

2

，

∴V

A－BEF

＝

1

3

S△BEF

·d

＝

1

3

·

1

2

S△BB

1

D

1

·d＝

1

12

.

∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．

因E、F是线段B

1

D

1

上两个动点，且EF＝

2

2

，

在E，F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等

∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错．

7．如图所示，在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，AA

1

⊥底面ABC，AB＝BC＝AA

1

，∠ABC＝

90°，点E、F分别是棱AB、BB

1

的中点，则直线EF和BC

1

所成的角是()

A．45°B．60°

C．90°D．120°

[答案]B

[解析]连结AB

1

，易知AB

1

∥EF，连结B

1

C交BC

1

于点G，取AC的中点H，则GH

∥AB

1

∥EF.

设AB＝BC＝AA

1

＝a，在△GHC中，易知GH＝

1

2

AB

1

＝

2

2

a，BG＝

2

2

a，HB＝

2

2

a，故

两直线所成的角为∠HGB＝60°.

[点评]除可用上述将EF平移到GH方法外还可以在平面BCC

1

B

1

内过F作FD∥BC

1

交B

1

C

1

于D，考虑在△EFD内求解等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了．

8．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为

()

A．相交但不垂直

B．垂直但不相交

C．不相交也不垂直

D．无法判断

[答案]B

[解析]作AO⊥平面BCD于O，

连BO并延长交DC于N，连DO并延长交BC于M，

连CO并延长交BD于H，

∵BC⊥AO，BC⊥AD

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DM，同理BN⊥CD，∴O为△BDC的垂心，∴CH⊥BD

又AO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，

∴BD⊥AC.

9．正方体A

1

B

1

C

1

D

1

－ABCD中，截面A

1

BD与底面ABCD所成二面角A

1

－BD－A的正

切值等于()

A.

3

3

B.

2

2

C.2D.3

[答案]C

[解析]设AC、BD交于O，连A

1

O，∵BD⊥AC，BD⊥AA

1

，∴BD⊥平面AA

1

O，∴

BD⊥AO，

∴∠A

1

OA为二面角的平面角．

tan∠A

1

OA＝

A

1

A

AO

＝2，∴选C.

10．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC

＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为()

A．30°B．60°

C．30°或150°D．60°或120°

[答案]D

[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，

设平面ABC∩l＝D，

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，

∵AB＝6，BC＝3，

∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，

∴二面角大小为60°或120°.

11．(2010·重庆文，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()

A．只有1个B．恰有3个

C．恰有4个D．有无穷多个

[答案]D

[解析]过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角直线上所

有点到两条直线的距离都相等，故选D.

12．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则

∠AED的大小为()

A．45°B．30°

C．60°D．90°

[答案]D

[解析]设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD

∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD

∵E、F分别为CD、BD的中点，

∴EF∥BC，

∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，

又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.

13．已知l?β，m⊥α，有下列四个命题：

①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m；

③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.

其中正确的命题是()

A．②与④B．③与④

C．①与②D．①③

[答案]D

[解析]



















m⊥α

α∥β

?m⊥β

l?β

?m⊥l，∴①正确否定A、B，



















又m⊥α

l∥m

?l⊥α

l?β

?β⊥α，∴③正确否定C，故选D.

14．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO

⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()

A．πB．2π

C．3πD．4π

[答案]D

[解析]此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr2，三棱锥的底面易知为等

腰直角三角形．腰长为2r，所以三棱锥底面面积为

1

2

(2r)2＝r2，

V球

V锥

＝

4

3

πr3

1

3

r3

＝4π，∴球体积

与三棱锥体积之比为4π，故选D.

15．在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有

()

A．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BCD

D．平面ABC⊥平面BCD

[答案]C

16．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；

②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；

③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；

④若l?β，且l⊥α，则α⊥β；

⑤若m?α，l?β，且α∥β，则m∥l.

其中正确命题的序号是()

A．①②B．③④

C．①④D．②③

[答案]C

[解析]由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；

对于②，若l∥α，m?α，则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；

对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交，也有可能垂直，故③是错误的；

由面面垂直的判定定理知，④是正确的；

对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的．故正确的命题是①、④.

17．若a、b表示直线，α表示平面，

①a⊥α，a⊥b，则b∥α；

②a∥α，a⊥b，则b⊥α；

③a∥α，b⊥α，则b⊥a；

④a⊥α，b?α，则b⊥a.

上述命题中正确的是()

A．①②B．②③

C．③④D．②③④

[答案]C

[解析]①b∥α或b?α②b⊥α或b∥α或b?α③、④正确，

∴选C.

18．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是()

A.









α⊥γ

β⊥γ

?α∥β

B.









m∥β

l⊥m

?l⊥β

C.









m∥γ

n∥γ

?m∥n

D.









α∥γ

β∥γ

?α∥β

[答案]D

[解析]对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交

或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．

19．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()

A．有且只有一个

B．可能存在也可能不存在

C．有无数多个

D．一定不存在

[答案]B

[解析]当a⊥b时，有且只有一个．

当a与b不垂直时，不存在．

20．(08·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确

的是()

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

[答案]D

21．如图，正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，点P在侧面BCC

1

B

1

及其边界上运动，并且总

是保持AP⊥BD

1

，则动点P的轨迹是()

A．线段B

1

C

B．线段BC

1

C．BB

1

中点与CC

1

中点连成的线段

D．BC中点与B

1

C

1

中点连成的线段

[答案]A

[解析]∵DD

1

⊥平面ABCD，∴D

1

D⊥AC，

又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD

1

，

∴AC⊥BD

1

.同理BD

1

⊥B

1

C.

又∵B

1

C∩AC＝C，∴BD

1

⊥平面AB

1

C.

而AP⊥BD

1

，∴AP?平面AB

1

C.

又P∈平面BB

1

C

1

C，∴P点轨迹为平面AB

1

C与平面BB

1

C

1

C的交线B

1

C.故选A.

22．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这

条直线的位置关系是()

A．平行B．垂直

C．斜交D．不能确定

[答案]B

[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.

过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.

同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，

∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.

23．设有直线m、n与平面α、β，则在下面命题中，正确的是()

A．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β

B．若m⊥α，m⊥n，n?β，则α∥β

C．若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β

D．若m⊥n，m⊥α，n?β，则α⊥β

[答案]C

[解析]对于C，由m∥n，n⊥β得m⊥β.

又m?α，可得α⊥β.∴应选C.

24．如图已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为()

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定

[答案]B

[解析]过A作AE⊥DB，则AE⊥平面DBC，∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，∴DA⊥

BC，

又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，

∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．

25．(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为2，动点E，F在棱A

1

B

1

上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A

1

E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，

则四面体PEFQ的体积()

A．与x，y，z都有关

B．与x有关，与y，z无关

C．与y有关，与x，z无关

D．与z有关，与x，y无关

[答案]D

[解析]这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格，即在变化中寻找不变，从图中

可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为矩形A

1

B

1

CD面积的

1

4

，而当P点变化(即z变化)

时，它到平面A

1

B

1

CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．

26．在△ABC中，C＝90°，AB＝8，B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝4，P′是AB边上

动点，则PP′的最小值为()

A．2B.7

C．27D.19

[答案]C

[解析]作CP′⊥AB，垂足为P′，则易知PP′⊥AB，

∴PP′为所求最小值．

在Rt△ABC中，由AB＝8，∠B＝30°得，

P′C＝23，

又PC⊥平面ABC，

∴PC⊥P′C，

∵PC＝4，∴PP′＝27.

27．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l⊥m；

③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.

其中正确的两个命题是()

A．①②B．③④

C．②④D．①③

[答案]D

28．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

[答案]D

[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行

直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方

体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，直线AA

1

与平面BCC

1

B

1

及平面CDD

1

C

1

都平行，但平面BCC

1

B

1

与平面CDD

1

C

1

相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，平面BCC

1

B

1

及平面

CDD

1

C

1

都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正

确．

29．对于直线m、n和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为()

①若m∥α，n⊥m，则n⊥α

②若m⊥α，n⊥m，则n∥α

③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ

④若m⊥α，m?β，则α⊥β

A．1B．2

C．3D．4

[答案]A

[解析]①②③错，④正确．

30．(09·广东文)给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中为真命题的是()

A．①和②B．②和③

C．③和④D．②和④

[答案]D

31．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()

A．若l⊥α，α⊥β，则l?β

B．若l∥α，α∥β，则l?β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

[答案]C

[解析]l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A错；

l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B错；

l⊥α，α∥β?l⊥β，C正确；

若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．

32．a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：

①a∥α且a∥b?b∥α；

②a⊥α且a⊥b?b∥α；

③a⊥α且a⊥b?b⊥α；

④a⊥β且α⊥β?a∥α.

其中正确命题的个数为()

A．0B．1

C．2D．3

[答案]A

[解析]









a∥α

a∥b

?b∥α或b?α；









a⊥α

a⊥b

?b∥α或b?α；









a⊥β

α⊥β

?a∥α或a?α.

33．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，则图中共有________

个直角三角形()

A．8B．7

C．6D．5

[答案]A

[解析]△PAC，△PAD，△PAB，△PDC，△PDB，△CDA，△BDA，△CAB共8个．

34．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为

π

4

和

π

6

.过A、

B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于()

A．2∶1B．3∶1

C．3∶2D．4∶3

[答案]A

[解析]由已知条件可知∠BAB′＝

π

4

，

∠ABA′＝

π

6

，设AB＝2a，

则BB′＝2asin

π

4

＝2a，A′B＝2acos

π

6

＝3a，

∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝

35．已知a、b、c是直线，α、β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是()

A．a⊥c，a⊥b，其中b?α，c?α

B．a⊥b，b∥α

C．α⊥β，a∥β

D．a∥b，b⊥α

[答案]D

[解析]A中缺b与c相交的条件；如图(1)，可知b∥α，a⊥b时，a与α可平行、可相

交，相交时也可垂直，故B错；

如图(2)是一个正方体，满足α⊥β，直线a可以是AC，也可以是AB，故C错．

36．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中

不成立

．．．

的是()

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

[答案]C

[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.

∴BC∥平面PDF，故A正确．

又∵P－ABC为正四面体，

∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.

又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.

又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．

又∵PO?面PAE，PO⊥平面ABC，

∴面PAE⊥面ABC，故D正确．

∴四个结论中不成立的是C.

二填空题

1．如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所

在的平面，AC＝3，PA＝4，AB＝5，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为________．

[答案]

441

41

[解析]∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC，

又BC⊥AC∴BC⊥平面PAC，

∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．

在Rt△PAB中，PA＝4，AB＝5，∴PB＝41，

在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，

∴sin∠BPC＝

BC

PB

＝

441

41

.

2．?ABCD的对角线交点为O，点P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则

PO与平面ABCD的位置关系是________．

[答案]垂直

[解析]∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.

同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，

∴PO⊥平面ABCD.

3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则点P到对角线

BD的距离是________．

[答案]

13

5

[解析]因为AB＝3，BC＝4，所以BD＝5，过A作AE⊥BD，连接PE，∵PA⊥平面

ABCD，∴PA⊥BD，

∵PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAE，∴PE⊥BD，

在△ABD中，AE＝

12

5

，所以PE＝12＋









12

5

2＝

13

5

.

4．(2010·湖南文，13)如图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，

则h＝______cm.

[答案]4

[解析]该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝

1

3

×









1

2

×5×6

×h＝20，∴h＝4cm.

5．(09·全国Ⅰ文)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面

得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．

[答案]16π

[解析]设球的半径为R，截面圆的半径为r，

则有











πr2＝3π









R

2

2＋r2＝R2

解得R＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π.

6．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.

(1)二面角A－PD－C的度数为________；

(2)二面角B－PA－D的度数为________；

(3)二面角B－PA－C的度数为________；

(4)二面角B－PC－D的度数为________．

[答案]90°；90°；45°；120°

[解析](1)PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD

又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，

∴二面角A－PD－C为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA

∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角

又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°

(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA

∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角

又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°

即二面角B－PA－C为45°

(4)作BE⊥PC于E，连DE

则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE

从而△PBE≌△PDE

∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE

∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

∴BE＝

PB·BC

PC

＝

6

3

a，BD＝2a

∴取BD中点O，则sin∠BEO＝

BO

BE

＝

3

2

，

∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°

∴二面角B－PC－D的度数为120°.

7．已知二面角α－AB－β为120°，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD

＝a，则

(1)CD的长为________；

(2)CD与AB所成的角为________．

[答案](1)2a(2)60°

[解析]在平面β内，作AD′綊BD，连DD′，则DD′綊AB

(1)∵AC⊥AB，D′A⊥AB，

∴∠D′AC为二面角α－AB－β的平面角

即∠D′AC＝120°

∵AB＝AC＝BD＝a，∴CD′＝3a

又AB⊥平面ACD′，DD′∥AB，∴DD′⊥平面ACD′

∴DD′⊥D′C，又DD′＝a

∴CD＝DD′2＋D′C2＝2a

(2)∵DD′∥AB

∴∠D′DC为异面直线CD与AB所成的角

在Rt△DD′C中，DD′＝a，CD＝2a

∴∠D′DC＝60°，即CD与AB所成的角为60°.

8．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，

则E到平面PBC的距离为________．

[答案]

3

4

a

[解析]如图，设AC交BD于O，连EO，

∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC，

又EO?面PBC，PC?面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是EO上任一点到平面PBC的距离都相等，则O点到平面PBC

的距离即为所求．

在平面ABCD内过O作OG⊥BC于G，∵PC⊥平面ABCD，

∴PC⊥OG，

∴OG⊥平面PBC.

∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴OG＝

3a

2

sin∠OBC＝

3a

2

×sin30°＝

3

4

a.

即E到面PBC距离为

3

4

a.

9．正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1，O是底面A

1

B

1

C

1

D

1

的中心，则O到平面ABC

1

D

1

的距离为__________．

[答案]

2

4

[解析](1)转化为点A

1

到平面ABC

1

D

1

的距离，连A

1

D交AD

1

于O

1

点，可证A

1

O

1

⊥平

面ABC

1

D

1

，

∴A

1

到平面ABC

1

D

1

距离A

1

O

1

＝

2

2

，

从而O到平面ABC

1

D

1

距离为

2

4

.

(2)转化为直线到平面的距离，过O作直线EF∥A

1

B

1

交A

1

D

1

于E，交B

1

C

1

于F，过E

作EE

1

⊥AD

1

，可证EE

1

⊥平面ABC

1

D

1

从而得解．

10．三条直线a∥b∥c，若b、c距离为2，a、c距离为1，a、b距离为7，则由a、c

确定的平面α与b的距离为________．

[答案]3

[解析]在直线b上取一点P，过P作PO⊥α于O，作OQ⊥c于Q，交直线a于R，

则OQ⊥a，∴c⊥平面POQ，a⊥平面POR，∴PQ⊥c，PR⊥a，

依题设条件，QR＝1，PQ＝2，PR＝7，设OQ＝x，PO＝h，则x2＋h2＝4，(x＋1)2＋

h2＝7，解之得h＝3.

11．把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那

么此二面角的大小是__________．

[答案]90°

[解析]设AB＝a

∵AB＝AC，∠BAC＝60°

∴BC＝a，又BD＝DC＝

2

2

a

∴∠BDC＝90°

又BD⊥AD，AD⊥CD

∴∠BDC为二面角B－AD－C的平面角．

故填90°.

12．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是

__________．

[答案]①、③、④?②；②、③、④?①

13．直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边

在平面α内的射影和斜边BC组成的图形只能是________．

[答案]线段或钝角三角形

[解析]当△ABC所在平面与α垂直时为线段；否则如图A′C2＋A′B2

BC2，

∴△A′BC为钝角三角形．

14．△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点，它到三边的距离都等于2，

则P到平面ABC的距离是________．

[答案]3

[解析]顶点在底面上的射影O为三角形ABC的内心，其内切圆半径r＝1，则PO＝3.

15．P为△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，又PA与

BC垂直，那么△ABC形状可以是________．

①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形(将你认为正确的序

号全填上)

[答案]①②④

[解析]设点P在底面ABC上的射影为O，由PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，

得OA＝OB＝OC，即点O为△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，即AO为△ABC

中BC边上的高线，∴AB＝AC，即△ABC必为等腰三角形，故应填①②④.

章节测试

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中

只有一个是符合题目要求的)

1．(2013～2014·福建师大附中模块)设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示

三个不同的点，给出下列命题：

①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；

②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；

③若l?α，A∈l，则A?α；

④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．

则上述命题中，正确的个数是()

A．1B．2

C．3D．4

[答案]C

[解析]根据公理1可知①正确；根据公理3可知②正确，根据公理2可知④正确；当

点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．

2．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是()

A．平行B．相交但不垂直

C．相交垂直D．异面垂直

[答案]D

[解析]∵PC⊥平面α，∴PC⊥BD，又在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.

又PA?平面PAC，∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．

3．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成

的角相等，则H是△ABC的()

A．内心B．外心

C．垂心D．重心

[答案]B

[解析]由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC

的外接圆圆心．

4．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所

成的角为()

A．30°B．60°

C．90°D．120°

[答案]B

[解析]易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.

5．(2013～2014·珠海模拟)已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的

平面，有下列命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α；

④若a∩α，b∩α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.

其中正确的有()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]C

[解析]可借助正方体模型解决．如图，在正方体A

1

B

1

C

1

D

1

－

ABCD中，可令平面A

1

B

1

CD为α，平面DCC

1

D

1

为β，平面A

1

B

1

C

1

D

1

为γ.又平面A

1

B

1

CD∩DCC

1

D

1

＝CD，平面A

1

B

1

C

1

D

1

∩平面DCC

1

D

1

＝

C

1

D

1

，则CD与C

1

D

1

所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C

1

D

1

，但

平面A

1

B

1

CD与平面A

1

B

1

C

1

D

1

不平行，即α与γ不平行，故①错误．因

为a，b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α

∥β，②正确．由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③

正确．a∥b时，由题知l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α，④错误．

6．(2013·新课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥

m，l⊥n，l?α，l?β，则()

A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l

[答案]D

[解析]由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，

但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选

D.

7．在正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，E，F分别是线段A

1

B

1

，B

1

C

1

上的不与端点重合的

动点，如果A

1

E＝B

1

F，有下面四个结论：

①EF⊥AA

1

；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的有()

A．①②B．②③

C．②④D．①④

[答案]D

[解析]如右图所示．由于AA

1

⊥平面A

1

B

1

C

1

D

1

，EF?平面

A

1

B

1

C

1

D

1

，则EF⊥AA

1

，所以①正确；当E，F分别是线段A

1

B

1

，B

1

C

1

的中点时，EF∥A

1

C

1

，又AC∥A

1

C

1

，则EF∥AC，所以③不正确；当

E，F分别不是线段A

1

B

1

，B

1

C

1

的中点时，EF与AC异面，所以②不

正确；由于平面A

1

B

1

C

1

D

1

∥平面ABCD，EF?平面A

1

B

1

C

1

D

1

，所以EF

∥平面ABCD，所以④正确．

8．如图，若Ω是长方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

被平面EFGH截去几何体

EFGHB

1

C

1

后得到的几何体，其中E为线段A

1

B

1

上异于B

1

的点，F为线段

BB

1

上异于B

1

的点，且EH∥A

1

D

1

，则下列结论中不正确的是()

A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱D．Ω是棱台

[答案]D

[解析]因为EH∥A

1

D

1

，A

1

D

1

∥B

1

C

1

，所以EH∥B

1

C

1

，又EH?平面BCC

1

B

1

，所以EH

∥平面BCC

1

B

1

，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC

1

B

1

＝FG，所以EH∥FG，又

EH∥B

1

C

1

，所以Ω是棱柱，所以A，C正确；因为A

1

D

1

⊥平面ABB

1

A

1

，EH∥A

1

D

1

，所以

EH⊥平面ABB

1

A

1

，又EF?平面ABB

1

A

1

，故EH⊥EF，所以B正确，故选D.

9．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，E、F分别为BB

1

、CC

1

的中点，那么直线AE与D

1

F所成角的余弦值为()

A．－

4

5

D．

3

5

C．

3

4

D．－

3

5

[答案]B

[命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．

[解析]首先根据已知条件，连接DF，然后则∠DFD

1

即为异面直线所成的角，设棱长

为2，则可以求解得到

5＝DF＝D

1

F，DD

1

＝2，结合余弦定理得到结论．

10．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别

为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，

H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为()

A．KB．H

C．GD．B′

[答案]C

[解析]应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB

平行于平面PEF，故选C.

11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△

ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下

列结论正确的是()

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

[答案]D

[解析]由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面

ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC

⊥平面ABC.

12．(2013·全国卷)已知正四棱柱ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，AA

1

＝2AB，则CD与平面BDC

1

所成角的正弦值等于()

A．

2

3

B．

3

3

C．

2

3

D．

1

3

[答案]A

[解析]如图，连接AC交BD于点O，连接C

1

O，过C作CH⊥

C

1

O于点H，









BD⊥AC

AA

1

⊥BD

AC∩AA

1

＝A

?

?









BD⊥HC

OC

1

⊥HC

BD∩OC

1

＝O

?CH⊥面BDC

1

，

∴∠HDC为CD与面BDC

1

所成的角，

设AA

1

＝2AB＝2，OC＝

2

2

，CC

1

＝2，OC

1

＝

32

2

，CH＝

OC·CC

1

OG

＝

2

3

，∴sin∠HDC＝

CH

CD

＝

2

3

，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m?α，A?m，则m与l所成角的取值范围

是________．

[答案][30°，90°]

[解析]直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋

转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.

14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是

PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正

确的条件即可)．

[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)

[解析]连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.

15．(2014·北京高考理科数学)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长

为________．

[答案]22

[解析]三棱锥的直观图如右图．

AB⊥面BCD，△BCD为等腰直角三角形．

AB＝2，BD＝2，BC＝CD＝2，

AC＝AB2＋BC2＝6，

AD＝AB2＋BD2＝22＋22＝22.

16．(2013·高考安徽卷)如图正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

，棱长为1，P为BC中点，Q为

线段CC

1

上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的

是________．(写出所有正确命题的编号)

①当0

1

2

时，S为四边形

②当CQ＝

1

2

时，S为等腰梯形

③当CQ＝

3

4

时，S与C

1

D

1

交点R满足C

1

R

1

＝

1

3

④当

3

4

⑤当CQ＝1时，S的面积为

6

2

.

[答案]①②③⑤

[解析]设截面与DD

1

相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ?DT＝2CQ.

对于①，当0

1

2

时，则0

对于②，当CQ＝

1

2

时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQO

1

，所以AP＝D

1

Q，

截面为等腰梯形，所以为真．

对于③，当CQ＝

3

4

，QC

1

＝

1

4

，DT＝2，D

1

T＝

1

2

，利用三角形相似解得，C

1

R

1

＝

1

3

，所以

为真．

对于④，当

3

4

3

2

1

D

1

，D

1

C

1

相交，所以四边形S为五

边形，所以为假．

对于⑤，当CQ＝1时，Q与C

1

重合，截面S与线段A

1

D

1

相交于中点G，即即为菱形

APC

1

G，对角线长度为2和3，S的面积为

6

2

，所以为真，综上，选①②③⑤.

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)如右图，在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，△ABC与△A

1

B

1

C

1

都为正

三角形且AA

1

⊥面ABC，F、F

1

分别是AC，A

1

C

1

的中点．

求证：(1)平面AB

1

F

1

∥平面C

1

BF；

(2)平面AB

1

F

1

⊥平面ACC

1

A

1

.

[分析]本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的

充分条件．

[证明](1)在正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，

∵F、F

1

分别是AC、A

1

C

1

的中点，

∴B

1

F

1

∥BF，AF

1

∥C

1

F.

又∵B

1

F

1

∩AF

1

＝F

1

，C

1

F∩BF＝F，

∴平面AB

1

F

1

∥平面C

1

BF.

(2)在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，AA

1

⊥平面A

1

B

1

C

1

，∴B

1

F

1

⊥AA

1

.

又B

1

F

1

⊥A

1

C

1

，A

1

C

1

∩AA

1

＝A

1

，

∴B

1

F

1

⊥平面ACC

1

A

1

，而B

1

F

1

?平面AB

1

F

1

，

∴平面AB

1

F

1

⊥平面ACC

1

A

1

.

18．(本小题满分12分)(2013·四川·文科)如图，在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，侧棱AA

1

⊥

底面ABC，AB＝AC＝2AA

1

＝2，∠BAC＝120°，D，D

1

分别是线段BC，B

1

C

1

的中点，P是

线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A

1

BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l

⊥平面ADD

1

A

1

；

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A

1

－QC

1

D的体积．(锥体体积公式：V＝

1

3

Sh，

其中S为底面面积，h为高)

[解析](1)在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．

理由如下：

由于直线l不在平面A

1

BC内，l∥BC，

故直线l与平面A

1

BC平行．

在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，

∴AD⊥BC，∴l⊥AD.

又∵AA

1

⊥底面ABC，∴AA

1

⊥l.

而AA

1

∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD

1

A

1

.

(2)过点D作DE⊥AC于点E.

∵侧棱AA

1

⊥底面ABC，∴三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

为直三棱柱，

则易得DE⊥平面AA

1

C

1

C.

在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，

∴AD＝AC·cos60°＝1，

∴DE＝AD·sin60°＝

3

2

.

∴S△QA

1

C

1

＝

1

2

·A

1

C

1

·AA

1

＝

1

2

×2×1＝1，

∴三棱锥A

1

－QC

1

D的体积VA

1

－QC

1

D＝VD－QA

1

C

1

＝

1

3

·S△QA

1

C

1

·DE＝

1

3

×1×

3

2

＝

3

6

.

19．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，

BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－

ABCD的体积．

[解析](1)证明：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.

又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.

∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.

由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，

且BG⊥AE.

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．

由题意，知∠PBA＝∠BPF，

因为sin∠PBA＝

PA

PB

，sin∠BPF＝

BF

PB

，所以PA＝BF.

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，

故GD＝BC＝3.于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

BG＝AB2＋AG2＝25，BF＝

AB2

BG

＝

16

25

＝

85

5

.于是PA＝BF＝

85

5

.

又梯形ABCD的面积为S＝

1

2

×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为

V＝

1

3

×S×PA＝

1

3

×16×

85

5

＝

1285

15

.

20．(本小题满分12分)(2013·全国新课标卷Ⅰ)如图三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，CA＝CB，

AB＝AA

1

，∠BAA

1

＝60°，

(1)证明AB⊥A

1

C；

(2)若AC

1

＝6，AB＝CB＝2，求三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的体积S.

[命题意图]本题主要考查空间线面，线线垂直的判定与性质，及体积的计算，考查空

间想象能力，逻辑推理论证能力，属容易题．

[解析](1)证明：取AB中点E，连接CE，A

1

B，A

1

E，

∵AB＝AA

1

，∠BAA

1

＝60°，∴△BAA

1

是等边三角形，

∴A

1

E⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，

∵CE∩A

1

E＝E，∴AB⊥面CEA

1

，∴AB⊥A

1

C.

(2)由于△CAB为等边三角形，∴CE＝3，A

1

E＝3，在△A

1

CE中A

1

C＝6.即有A

1

C2

＝CE2＋A

1

E2，故A

1

E⊥CE，S底面积＝

1

2

×AB×CE＝

1

2

×2×23＝23，A

1

E⊥AB，A

1

E⊥CE，

∴h＝A

1

E＝3，V＝Sh＝23×3＝6.

21．(本小题满分12分)(2013·福建改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，

AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.

(1)当正视方向为从A到D的方向时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，

并写出演算过程)；

(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；

(3)求三棱锥D－PBC的体积．

[解析](1)如图1，在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.

由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，

在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，

依据勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.

又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，

从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，

得PD＝43.

正视图如图2所示：

(2)方法一：如图3，取PB的中点N，连接MN，CN.

在△PAB中，∵M是PA的中点，

∴MN∥AB，MN＝

1

2

AB＝3，又CD∥AB，CD＝3，

∴MN∥CD，MN＝CD，

∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.

又DM?平面PBC，CN?平面PBC，

∴DM∥平面PBC.

方法二：如图4，取AB的中点E，连接ME，DE.

在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.

又DE?平面PBC，BC?平面PBC，∴DE∥平面PBC.

又在△PAB中，ME∥PB，ME?平面PBC，PB?平面PBC，∴ME∥平面PBC.

又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.

又DM?平面DME，∴DM∥平面PBC.

(3)V

D－PBC

＝V

P－DBC

＝

1

3

S△DBC

·PD，

又S△DBC

＝6，PD＝43，所以V

D－PBC

＝83.

22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，

AD＝2，PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°.

(1)求证：AD⊥平面PAB；

(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；

(3)求二面角P－BD－A的正切值．

[解析](1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝22，

∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA.

在矩形ABCD中，AD⊥AB.

∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.

(2)∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

PB＝PA2＋AB2－2PA·AB·cos∠PAB＝7.

由(1)知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，

∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，

则△PBC是直角三角形，

故tan∠PCB＝

PB

BC

＝

7

2

.

∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为

7

2

.

(3)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.

∵AD⊥平面PAB，PH?平面ABCD，∴AD⊥PH.

又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD.

又∵PH?平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD.

又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，

∴BD⊥平面PHE.

而PE?平面PHE，∴BD⊥PE，

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．

由题设可得，PH＝PA·sin60°＝3，

AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，

BD＝AB2＋AD2＝13，HE＝

AD

BD

·BH＝

4

13

.

∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝

PH

HE

＝

39

4

.

∴二面角P－BD－A的正切值为

39

4

.