二阶导数大于零

例谈二阶导数在高考题中的应用

福州高级中学高岚龙

随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景

的考题。尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方

法，有助于我们对高考命题的认识和把握。作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的

意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。

一．二阶导数与凸性

定义1.设()fx在区间I上连续，如果对I上任意两点

1

x与

2

x，

恒有1212

()()

()

22

xxfxfx

f



，那么称()fx在I上的图形是凹的；

如果恒有1212

()()

()

22

xxfxfx

f



，那么称()fx在I上的图形是凸的；

定理1设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，那么：

（1）若在(,)ab内()fx



单调增加，，则()fx在[,]ab上的图形是凹的；

（2）若在(,)ab内()fx



单调减少，，则()fx在[,]ab上的图形是凸的；

定理2设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内二阶可导，那么：

（1）若在(,)ab内()0fx



，则()fx在[,]ab上的图形是凹的；

（2）若在(,)ab内()0fx



，则()fx在[,]ab上的图形是凸的．

凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识,因此,它不属于高中

数学的研究范畴,但是,近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。

例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行

驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（A）

分析：我们知道，把汽车的行驶路程s看作时间t的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。加速

行驶时，加速度大于零，则二阶导数大于零，此时，函数是凹的。减速行驶时，加速度小于零，则二阶导数小于

零，此时，函数是凸的。故选A.

例2.（2008年福建理科，12）已知函数(),()yfxygx的导函数的图象如下图，那么(),()yfxygx图

象可能是

分析：由导函数

的图像知，

()fx



单调减少，

s

t

O

A．

s

t

O

s

t

O

s

t

O

B．C．D．

则()fx的图形是凸的；()gx



单调增加，则()fx的图形是凹的。排除了

A

与

C

。()fx与()gx在

0

x点导数相

同，则在

0

x点的切线斜率也应当相等。排除了

B

，故选

D

.

凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合(),(),()fxfxfx



的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图

像的关系。

例3（2006年四川理科高考题）已知函数)0(ln

2

)(2xxa

x

xxf，)(xf的导函数是()fx



。对任意两个

不相等的正数

12

xx、，

证明：（I）当

0a

时，1212

()()

()

22

fxfxxx

f



.

分析：本题实际上是要证明所考查的函数当

0a

时是一个凹函数.一个函数是凹函数的充分条件之一是该函数

的二阶导数大于0.

证明：

x

a

x

xxf

2

'

2

2)(，

23

''

4

2)(

x

a

x

xf.当

0a

时，对

0x

，有'()0fx，由定理2可知()fx

在(0,)是凹函数，再由定义知对任意两个不相等的正数

12

xx、，1212

()()

()

22

fxfxxx

f



.

二．二阶导数与极值

在高中，判断函数是否在

0

x取得极值，经常是利用函数导数在

0

x两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二

阶导数的符号来判断

0

x是否为函数的极值点。有如下的判定定理：

定理3设函数)(xf在点

0

x处具有二阶导数且

0

()0fx



，

0

()0fx



，那么

（1）当

0

()0fx



时，函数)(xf在

0

x处取得极大值；

（2）当

0

()0fx



时，函数)(xf在

0

x处取得极小值．

例4（2008年湖北文史类高考题，17）已知函数322()1fxxmxmx（m为常数，且m>0）有极大值9.

（Ⅰ）求m的值；

解：22()32(3)()fxxmxmxmxm



，由()0fx



得xm，或

1

3

xm.

()62fxxm



，则

1

()40,()40

3

fmmfmm



。由定理3知()fx在xm取得极大值，在

1

3

xm取得极小值。则3()19fmm，则

2m

。

利用二阶导数的符号判断函数的极值点，可以避免列表的麻烦，在证明题中特别适用。