换底公式的推导

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对数换底公式

[教学目的]使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数

式恒等变形中的应用。

[教学重点]对数换底公式的应用

[教学难点]对数换底公式的推导

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log

6

5=?

像log

6

5这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对

数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎

样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。

二、新课讲解：

公式：

b

N

N

a

a

blog

log

log

证明：设

Nlogx

b



，则

Nbx

，两边取以a为底的对数，得

x

Nlogblog

aa

blog

Nlog

x

a

a

,即

blog

Nlog

Nlog

a

a

b



。

1、成立前提：b>0且b≠1,a>0,且a≠1

2、公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。

一般常换成以10为底。

3、自然对数lnN=log

N

e

三、巩固新课：

例1、求证：1：

1alogblog

ba



2：

blog

m

n

blog

a

n

am



例2、求下列各式的值。

（1）、log98•log3227

（2）、（log43+log83）•(log32+log92)

(3)、log49•log32

(4)、log48•log39

(5)、（log2125+log425+log85）•(log52+log254+log1258)

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例3、若log1227=a,试用a表示log616.

解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log189=a,18b=5,求log3645。

例4、已知12x=3,12y=2,求

yx

x





1

21

8

的值。

练习：已知

7loglog,5loglog2

48

2

48

abba

，求a•b的值；

例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约

有多少方木材？

解：设15年后约有木材A方，则

A=22000（1+2.5%)15=22000×

LgA=lg22000+15×

=4.3424+15×

∴A=131840

答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，

这种细菌由1个可繁殖成（）个。

2、在一个容积为a升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x升，再用水注满；第二次

又倒出x升溶液，再用水注满；如此操作t次后，容器里剩余的纯酒精为b升，试用

含有a、b、t的式子表示x。

三、小结：对数换底公式：

b

N

N

a

a

blog

log

log

四、作业