求偏导

4.2--偏导数的运算

高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室

2

第二节偏导数

教学目的：(1)理解多元函数偏导数的概念；

(2)掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函

数的求导法则;

(3)了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。

教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法

教学难点：偏导数存在性的讨论

教学方法：讲练结合

教学时数：2课时

一、偏导数的定义及其计算

在研究一元函数时，从研究函数的变化率引

入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它

的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究

起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关

于其中一个自变量的变化率，例如:

理想气体的体积：,

T

Vk

p



因此，我们引入下面的偏导数概念。

1、偏导数的定义

定义2.1设函数),(yxfz在点),(

00

yx的某一邻

域内有定义，当y固定在

0

y，而x在

0

x处有增量x

时，相应地函数有增量：),(),(

0000

yxfyxxf，

如果

x

yxfyxxf

x





),(),(

lim0000

0

存在，则称此极限为函数

),(yxfz在点),(

00

yx处对x的偏导数，记为

00

(,)xy

z

x





，

00

(,)xy

f

x





，

00

(,)

x

zxy或),(

00

yxf

x

.

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3

即0000

00

0

(,)(,)

(,)lim

x

x

fxxyfxy

fxy

x





0

0

d

(,)

dxx

fxy

x

。

同理可定义函数),(yxfz在点),(

00

yx处对y的偏导

数，为

y

yxfyyxf

y





),(),(

lim0000

0

记为

00

(,)xy

z

y





，

00

(,)xy

f

y





，

00

(,)

y

zxy或00

(,)

y

fxy.

即

00

(,)

y

fxy0000

0

(,)(,)

lim

y

fxyyfxy

y





0

0

d

(,)

dyy

fxy

y

。

如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处

对x的偏导数都存在，那么这个

偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对

自变量x的偏导函数，简称偏导数

记作

x

z



，

x

f



，

x

z或),(yxf

x

.

同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导

数，记作

y

z



，

y

f



，

y

z或),(yxf

y

.

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

如),,(zyxfu在),,(zyx处

,

),,(),,(

lim),,(

0x

zyxfzyxxf

zyxf

x

x







,

),,(),,(

lim),,(

0y

zyxfzyyxf

zyxf

y

y







.

),,(),,(

lim),,(

0z

zyxfzzyxf

zyxf

z

z







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4

2、计算：

从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的

偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求

导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法

即可。于是，一元函数的求导公式和求导法则都

可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。

例1：求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．

解法一：





x

z

;32yx





y

z

.23yx

(1,2)

z

x







,82312

(1,2)

z

y







72213

解法二：

2y

z



264xx，

(1,2)

z

x





(26)

1

x

x





8

1x

z



213,yy

(1,2)

z

y



2

(32)

y

y



7

这里我们要知道，有时，“先求偏导函数再

代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例

例2：2(,,)()arctanln(1),xyzfxyzxexyxyz求(1,0,1)

.

f

x





解:(,0,1)

x

fx0,xxx

(1,0,1)

1.

f

x







例3已知理想气体的状态方程RTpV（R为

常数），求证：1

















p

T

T

V

V

p.

证明：

V

RT

p;

2V

RT

V

p









p

RT

V;

p

R

T

V









R

pV

T;

R

V

p

T







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5



















p

T

T

V

V

p

2V

RT



p

R



R

V



pV

RT

=1.

有关偏导数的几点说明：

1、偏导数

x

u



是一个整体记号，不能拆分;

2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

,(,),(0,0),(0,0).

xy

zfxyxyff例如求

解：

x

x

f

x

x

0|0|

lim)0,0(

0







=0).0,0(

y

f

例4：设22

(,)(0,0)

(,),

0(,)(0,0)

xy

xy

xy

fxy

xy



















求(,)fxy的偏导

数。

解：,)0,0(),(时当yx

222

22

)(

2)(

),(

yx

xyxyxy

yxf

x



,

)(

)(

222

22

yx

xyy







222

22

)(

2)(

),(

yx

xyyyxx

yxf

y



,

)(

)(

222

22

yx

yxx







,)0,0(),(时当yx按定义可知

x

fxf

f

x

x







)0,0()0,(

lim)0,0(

0

,0

0

lim

0







xx

y

fyf

f

y

y







)0,0(),0(

lim)0,0(

0

,0

0

lim

0







yy

故,

)0,0(),(0

)0,0(),(

)(

)(

),(222

22





















yx

yx

yx

xyy

yxf

x

.

)0,0(),(0

)0,0(),(

)(

)(

),(222

22





















yx

yx

yx

yxx

yxf

y

３、偏导数存在与连续的关系

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6

一元函数中在某点可导，函数在该点一定连

续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必

连续.

例如,函数



















0,0

0,

),(

22

22

22

yx

yx

yx

xy

yxf,依定义知

在)0,0(处，0)0,0()0,0(

yx

ff.但函数在该点处并不连

续.

4、偏导数的几何意义

设)),(,,(

00000

yxfyxM是曲面),(yxfz上一点，则

偏导数),(

00

yxf

x

就是曲面被平面

0

yy所截得的曲线

在点

0

M处的切线

x

TM

0

对x轴的斜率；偏导数),(

00

yxf

y

就是曲面被平面

0

xx所截得的曲线在点

0

M处的切

线

y

TM

0

对y轴的斜率.

二、高阶偏导数

设函数),(yxfz在区域D内的两个偏导数

(,)

x

fxy、(,)

y

fxy的偏导数也存在，则称它们是函数

),(yxfz的二阶偏导数。记作

),,(

2

2

yxf

x

z

x

z

xxx





























),(

2

2

yxf

y

z

y

z

yyy

































),,(

2

yxf

yx

z

x

z

yxy





























),(

2

yxf

xy

z

y

z

xyx

































定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高

阶偏导数.

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7

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8

y

fyf

fxx

y

xy







)0,0(),0(

lim)0,0(

0

=0

x

fxf

fyy

x

yx







)0,0()0,(

lim)0,0(

0

=1

显然).0,0()0,0(

yxxy

ff

问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？

定理2.1如果函数),(yxfz的两个二阶混

合偏导数

xy

z



2及

yx

z



2在区域D内连续，那末在该区

域内这两个二阶混合偏导数必相等．

例8验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方

程.0

2

2

2

2













y

u

x

u

证明：),ln(

2

1

ln2222yxyx,

22yx

x

x

u









,

22yx

y

y

u









,

)()(

2)(

222

22

222

22

2

2

yx

xy

yx

xxyx

x

u

















.

)()(

2)(

222

22

222

22

2

2

yx

yx

yx

yyyx

y

u































2

2

2

2

y

u

x

u

222

22

222

22

)()(yx

yx

yx

xy









=0证毕.

内容小结:

1.偏导数的定义（偏增量比的极限）

2.偏导数的计算、偏导数的几何意义

3.高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其相等

的条件.

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9

思考题：若函数),(yxf在点),(

000

yxP连续，能否

断定),(yxf在点),(

000

yxP的偏导数必定存

在？

思考题解答：不能。例如22(,)fxyxy在(0,0)处

连续,但(0,0)(0,0)

xy

ff不存在。

作业:练习册P5---P8.