斜率

“斜率”的物理意义与解题应用

物理与数学的关系极为密切，物理状态、物理过程及物理量之间的关系可以用图像来表

示，这是研究、处理物理问题和学好物理的重要方法和手段。尤其是图象中的斜率问题，斜

率问题有两种类型：图象的斜率表示某一物理量的变化率，图象的斜率表示某一物理常量。

一、“斜率”表示某一物理量的变化率

1“斜率”表示的物理量随时间的变化率

位移-时间图表中的斜率

t

s





表示速度；速度—时间图象中斜率表示加速度；动量—时间

图像中斜率表示合外力；磁通量—时间图象中斜率表示感应电动势等等。

例1如图1为某一运动物体的速度—时间图象，其初速度为，末速度

为，加速度为，则下列说法正确的是（）

A物体做曲线运动B

2

0

_

t

vv

v



，a逐渐减小

C

2

0

_

t

vv

v



，a逐渐增大D

2

0

_

t

vv

v



，a逐渐减小

解析⑴因在“速度——时间”图象上，只能表示出在同一直线上的“正”、“负”两个

方向，所以在“速度——时间”图象只能描述物体做直线运动的情况；

⑵如果物体做匀变速运动，表示运动物体速度的直线与时间轴的夹角的正切表示物体的

加速度。据此我们可以外延一下：如果物体不做匀变速运动，表示物体的运动的图线的图线

为一曲线，曲线上每一点的切线与时间轴的夹角为该点的瞬时加速度，由图象上可以看出，

图象上每点切线与时间t轴的夹角θ的正切，即每点的斜率逐渐的减小，所以物体做加速度

逐渐的减小运动；

⑶用直线连接表示物体A速度的曲线1的两个端点，连接的直线2表示物体做匀加速直

线运动，则由所学知识知道，连线2下面的阴影部分的“面积”s

1

为匀加速运动的位移，而

表示物体A速度的曲线1下方的“面积”s

1

+s

2

则表示物体A的位移，因

2

0

1

1

vv

t

s

t



，

1

1

1

21

t

s

t

ss





，故答案选B。

例2甲、乙两物体分别在恒力F

1

、F

2

的作用下，沿同一直线运动，它们的动量随时间

的关系如图2所示，设甲在t

1

时间内所受冲量为I

1

，乙在t

2

时间内所受的冲量为I

2

，则F、

I的大小关系是（）

AF

1

>F

2

I

1

=I

2

BF

1

2

I

1

2

CF

1

>F

2

I

1

>I

2

DF

1

=F

2

I

1

=I

2

解析由动量定理F△t=△P得F=

t

P





，所以在P－t图象中，

表示动量的图线与时间轴夹角的正切，即

t

P





等于合力F，因θ>β，

所以tanθ>tanβ，即F

1

>F

2

；从图象可以看出，?P甲=?P乙，动量变

化量大小相等，由动量定理?P=I得冲量I

1

=I

2

，故答案选A。

例3单匝矩行线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直线圈中（）

⑴0时刻感应电动势最大

图1

2

1

0

t

t

1

s

2

s

1

v

v

0

v

t

Ot1t2

甲

乙

图2

P

θβ

O0.050.1t

1

2

Φ

图3

⑵0.05s时感应电动势为零

⑶0.05s时感应电动势最大

⑷0.05s时最大时间内平均感应电动势为0.4V

A⑴⑵B⑴⑶C⑴⑶⑷D⑴⑵⑷

解析由法拉第电磁感应定律

t

E





，在－t图象表示磁通量的

图线上每点的切线的斜率等于，

0时刻和0.1s时斜率绝对值电动势值最大，0.05s时刻斜率为零，故应选D。

2“斜率”表示的物理量随空间的变化率

例４如图4所示，有一垂直纸面向里的非匀强磁场，其感应强度沿y方向

不变，而沿x方向均匀减小，减小率为mT05.0，一个边长为10cm长方形铝框，总电阻

0.25Ω，铝框平面与磁场方向垂直。在外力作用下，以20m/s的速度沿X正方向做匀速直线

运动，求铝框中感应电流大小。

解析题意中“减小率为0.05T/m”是指磁感应强度B沿+X方向的变化率，即

05.0)(





X

B

T/m。设某时刻线框左、右两边所处的磁感应强度分别为B

1

、B

2

，则该时刻两

边产生的电动势分别为E

1

=B

1

Lv，E

2

=B

2

Lv合电动势办E=E

1

-E

2

=(B

1

-B

2

)Lv=

BBLv，为

沿X方向上距L

的两点磁感应强度的变化量，大小为

)(005.01.005.0)(TL

t

B

B





。

所以，铝框中感应电流大小为

)(04.0

25.0

201.0005.0

A

R

E

I



。

二、“斜率”表示某一物理常量

1利用“U—I图象斜率分析电阻值R

例５一白炽灯泡“220V，60W”，加上电压由零祝渐变到220V。在此过程中电压U和

电流I的关系可用图象表示，图５中的四个图象中，肯定不符合实验事实的是（）

解析U-I图象中任一点(I,U)的斜率

I

U

就是该状态下的电阻值。电流越大,温度越高,

电阻率越大,因此电阻值越大,斜率也应越大。A中斜率不变,C中斜率减小,D中斜率先变大

后减小,均不符合实验事实,答案应为B。

2利用“T2—L”图象斜率求重力加速度g

某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，测出了

在不同摆长L时的周期T,并以T2为纵坐标，以L为横坐标，描

点连线画出如图6所示的图象，试由图线求重力加速度值。

解析由单摆周期公式2T



g

L

得

g

T

2

2

4



L，所以

在T2—L图象中，斜率值等于

g

24

，即

g

24

1

04.04





，解得g=9.96m/s2。

U

A

B

D

U

U

U

O

IIII

O

O

O

C

图5

T2/s2

L/mO1

4

0.04

图6

y

Ox

图4

3利用“U-I”图象斜率求电源内电阻r

由闭合电路欧姆定律E=U+Ir得外电压U随电

流I的变化关系U=-Ir+E，如图7，当断路时，

路端电E压等于电源电动势E；当短路时，

r

E

I

m

，则图线斜率k=tanr，所以图线斜

率的绝对值等于电源的内电阻r。

练习在”测定电池的电动势和内电阻”实验中,测出数据做出电池A、B的U-I图象，

如图8所示，从图中可以看出，电池A内电阻r

A

=______Ω，电池B的电动势E

B

=_______V，

若将某电阻器分别接在电池A和电池B的两极之间时，电阻器消耗的电动势相等，则此电阻

器的阻值为____Ω。（答案：1.25Ω；1.5V；1.25Ω）

4利用“a—F”图象斜率求物体质量m

例6如图9所示，两物体A、B都静止在同一水平

面上，它们的质量分别m

A

、m

B

，与水平面间的动摩擦因

数分别为

A

、

B

。现用平行于水平面拉力F拉A、B，

所得两物体加速度a与F关系图象分别如图10所示，则正确的是（）

⑴

BA

mm⑵

BA

mm⑶

BA

⑷

BA



A⑴⑵B⑴⑷C⑴⑶D⑵⑶

解析由牛顿第二定律得mamgF，即gF

m

a

1

，

所以图象斜率表示质量的倒数，

BA

mm。图线在纵轴上的截距

表示g，所以

BA

，故应选C。

5“E

K

—υ”图象斜率表示普朗克常数h

例9用不同频率的光子分别照射钨和锌，发生光电效应，跟据实验可画出电子的最大

初动能随入射光频率υ变化的图线，已知钨的逸出功是3.28eV，锌的逸出功是3.34eV,若

将二者的图线画在同一个坐标系中，则正确的是图11中的（）

解析由爱因斯坦的光电效应方程

0

WhE

K

知，—

K

E图象中图线的斜率表示

普朗克常数h，因h大小恒定，因此—

K

E图象中的图线应相互平行。图线在纵轴上的截

距大小表示金属的逸出功

0

W，所以答案A正确。

另外，关于利用图象斜率求物理量的问题还有很多，如利用F—x图象斜率求弹簧的劲

度系k；利用

F—q图象斜率求某点场强E；利用Q—U图象斜率求电容器的电容量；利用斜率求介质的折

射率n等等，这里不一一再述。

总之，图象的斜率是分析、处理物理问题的一种重要工具。利用它可使复杂的物理问

题简单化、清晰化，使解题起到事半功倍的效果。要学好物理，就应正确理解斜率在物理问

I

U

O

U

I

O

图7

图8

F

F

图9

AB

F

O

a

图10

WZn

E

K

B

0

E

K

0

WZn

C

E

K

0

WZn

D

0

E

K

WZn

A

图11

题中的含义并掌握其应用。