等腰直角三角形的性质

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课题等腰三角形的性质定理

教学目标

通过观察发现等腰三角形的性质；

掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；

理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；

能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌

握一般文字命题的解题方法

教学重点

重点：等腰三角形的性质与判定。难点：比较复杂图形、题目的推理证明

教学安排

版块时长

1等腰三角形的性质30分钟

2等腰三角形的判定30分钟

3例题讲解40分钟

4随堂练习20分钟

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知识点一：等腰三角形、腰、底边

在小学里我们就已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫

腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角

如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠

A是顶角，∠B、∠C是底角．

知识点二：三角形按边分类

不等边三角形

三角形

底边与腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形（正三角形）

知识点三：等腰三角形的性质

1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三

线合一”）．

等腰三角形

等腰三角形的性质定理

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2、这两个性质证明如下：

在△ABC中，AB=AC，如图所示．

作底边BC的高AD，则有

∴Rt△ABD≌Rt△ACD．

∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．

于是性质1、性质2均得证．

3、说明：

（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；

②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又

一个重要依据．

（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；

或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．

②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的

对称轴，通常情况只有一条对称轴．

一、规律方法指导

1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在

等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）

三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问

题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

二、难点分析

1、对于“等腰三角形的三线合一”一定要注意是底边上的高线、中线和顶角平分线，其他

的高、中线、角平分线不满足三线合一。

2、分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求

其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是

底来分类。

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类型一：与度数有关的计算

1．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。思

路点拨:解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C

与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么

关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。

解析：∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵AB=BD

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1+∠C

∴∠2=∠1+∠B

∵∠2+∠3+∠B=180°

∴∠B=180°－2∠2

∴∠2=∠1+180°－2∠2

∴3∠2=∠1+180°

∵∠1=30°

∴∠2=70°

总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。

举一反三：

【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE

的度数。

【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠

EDC的度数。

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类型二：等腰三角形中的分类讨论

2．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

思路点拨:由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这

里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前

提，因此必须进行分类讨论。

解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；

当腰长为8时，周长为8+8+10=26；

当腰长为10时，周长为10+10+8=28；

故这个三角形的周长为26cm或28cm。

（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；

当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长

为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。

总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能

构成三角形

举一反三：

【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论

等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数

【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

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在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为45°，

求∠B的度数。

【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论

等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。

类型三：等腰三角形的性质定理与全等三角形的应用

3.如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：

AF⊥CD

思路点拨:要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，

于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

解析：连接AC、AD

在△ABC和△AED中，

AB=AE（已知）

∠ABC=∠AED（已知）

BC=ED（已知）

∴△ABC≌△AED（SAS）

∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

【变式1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：

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△DBE是等腰三角形．

E

D

C

A

B

F

课后作业

一、填空：

1、等腰三角形的的两边长为4cm和9cm，则该等腰三角形的周长为______cm。

2、等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为___________。

3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为_____。

4、已知BD是等腰△ABC的角平分线，如果∠A=80°，那么∠ADB等于____。

5、如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，

以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为_________。

6、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AC.则AB:AE

＝____________。

7、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC

和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以

下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________

（把你认为正确的序号都填上）。

第6题图第7题图

二、选择题

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1.若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边

在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）

图1

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图2，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，

则∠GEF的度数是（）

A．80°B．90°C．100°D．108°

E

D

C

A

B

H

F

G

图2图3

4.如图3，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若

MN=2，则OM=（）

A．3B．4C．5D．6

5.在△ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是（）

A、如果AD是中线，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC

B、如果BD是高，那么BD是角平分线

C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC

D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线

三、解答题

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1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。

2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。

（2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。

3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分，求该等腰

三角形的各边长。

4、如图2所示，△ABC和△BDE都是等边三角形。求证：AE＝CD。

5、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠

A的度数

6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了

如下论断：

甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。

乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。

丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一

三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。

请你就这三个同学的见解发表自己的意见。