sinq

1

极坐标与参数方程

一、极坐标与直角坐标之间的转换

(,)(cos,sin)AArqrqrq®cos,sinxyrqrq==222xyr+=

ar=：表示半径为

a

圆心为原点的圆

rq=：表示顶点在原点，与

x

轴的正半轴夹角为q的射线

2cos()

22

a

pp

rqq=-＃表示圆心为(,0)a，半径为

a

的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）

2sin(0)arqqp=＃表示圆心为(0,)a，半径为

a

的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）

二、常见的参数方程

1、直线的参数方程

形式一：（倾斜角）

0

0

cos

sin

xxt

yyt

q

q

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数）

形式二：（向量式）

0

0

xxmt

yylt

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数）

过定点

00

(,)Pxy，直线斜率

sin

cos

l

k

m

q

q

==

两种形式的转化方法：0

0

xxmt

yylt

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数）

0

22

0

22

m

xxt

ml

l

yyt

ml

ì

=+

ï

ï

+

ï

®

í

ï

=+

ï

ï

+

î

（t为参数）

2、圆的参数方程

cos

sin

xr

yr

q

q

ì

=

ï

í

=

ï

î

（q为参数）

cos

sin

xar

ybr

q

q

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（q为参数）

3、椭圆的参数方程

cos

sin

xa

yb

q

q

ì

=

ï

í

=

ï

î

（q为参数）0

0

cos

sin

xxa

yyb

q

q

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（q为参数）

4、双曲线的参数方程

c

tan

xa

yb

q

q

ì

=

ï

í

=

ï

î

（q为参数）

0

0

c

tan

xxa

yyb

q

q

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（q为参数）

5、抛物线的参数方程

22ypx=?

2

2

t

x

p

yt

ì

ï

=

ï

í

ï

=

ï

î

（t为参数）

22

2

xpt

ypt

ì

=

ï

í

=

ï

î

（t为参数）

2

三、直线参数方程中t的几何意义的应用

0

0

cos

sin

xxt

yyt

q

q

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数）

t表示直线上任意一点到定点

00

(,)Pxy的距离.

直线参数方程0

0

cos

sin

xxt

yyt

q

q

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数），椭圆方程

22

22

:1

xy

C

ab

+=，相交于,AB两点，直线上定点

00

(,)Pxy

将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于t的一元二次方程，则：

2

121212

()4ABtttttt=-=+-

1212

12

1212

0

0

tttt

PAPBtt

tttt

ì

+>

ï

+=+=

í

-<

ï

î

‥‥

‥‥

12

PAPBtt??

若M为AB的中点，则12

2

tt

PM

+

=

1、以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已知

直线l经过点(1,1)P，倾斜角

6

p

a=，圆的极坐标方程为2cos6sinrqq=+.

（1）写出直线l的参数方程，并将圆的极坐标方程化成直角坐标方程；

（2）设l与圆相交于AB、两点，求弦AB的长.

答案：（1）

3

1

2

1

1

2

xt

yt

ì

ï

=+

ï

í

ï

=+

ï

î

（t为参数），

22260xyxy+--=（2）27AB=

3

同类型题1：在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

23

24

xt

yt

ì

=--

ï

í

=-

ï

î

（t为参数），它与曲线

22:(2)1Cyx--=交于AB、两点.

（1）求AB的长；

（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为

3

(22,)

4

p

，求点P到

线段AB中点M的距离.

答案：（1）

1071

7

AB=（2）

30

7

同类型题2：（2010福建）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

2

3

2

2

5

2

xt

yt

ì

ï

=-

ï

í

ï

=+

ï

î

（t为参数）.在极坐标

系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以

x

轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为

25sinrq=.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点,AB.若点P的坐标为

(3,5)

，求PAPB+.

答案：（1）22(5)5xy+-=（2）32

4

四、极坐标方程和参数方程的应用

1、已知曲线

1

4cos

:

3sin

xt

C

yt

ì

=-+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数），

2

8cos

:

3sin

x

C

y

q

q

ì

=

ï

í

=

ï

î

（q为参数）.

（1）化

12

CC、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若

1

C上的点P对应的参数为

2

t

p

=，Q为

2

C上的动点，求PQ中点M到直线

3

32

:

2

xt

C

yt

ì

=+

ï

í

=-+

ï

î

（t为参

数）距离的最小值.

答案：（1）

1

C为圆心是(4,3)-，半径是1的圆；

2

C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为16，短轴

长为6的椭圆.

（2）最小值为

85

5

同类型题1：以直角坐标系的原点O为极点，

x

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度

单位.已知直线l的参数方程为

3

1

cos

:

2

sin

xt

C

yt

a

a

ì

=+

ï

í

ï

=

î

（t为参数0ap<<），曲线C的极坐标方程为

2

2cos

sin

q

r

q

=.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于AB、两点，当

a

变化时，求AB的最小值.

答案：（1）

22yx=（2）当

2

p

a=时，AB的最小值为2.

5

同类型题2：（2013新课标2）已知动点PQ、都在曲线

2cos

:

2sin

xt

C

yt

ì

=

ï

í

=

ï

î

（t为参数）上，对应参数分别为ta=

与2(02)taap=<<，M为PQ中点.

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

答案：（1）

coscos2

sinsin2

x

y

aa

aa

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（a为参数）（2）ap=时过原点

2、（2013新课标1）已知曲线

1

C的参数方程为

45cos

55sin

xt

yt

ì

=+

ï

í

=+

ï

î

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线

2

C的极坐标方程为2sinrq=.

（1）把

1

C的参数方程化为极坐标方程；

（2）求

1

C与

2

C交点的极坐标(0,02)rqp常<.

答案：（1）

28cos10sin160rrqrq--+=（2）(2,),(2,)

42

pp

6

同类型题1：（2013辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，

x

轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆

1

C和直

线

2

C的极坐标方程分别为4sin,cos()22

4

p

rqrq=-=.

（1）求

1

C与

2

C交点的极坐标；

（2）设P为

1

C的圆心，Q为

1

C与

2

C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为

3

31

2

xta

b

yt

ì

=+

ï

í

ï

=+

ï

î

（tRÎ为参数），求,ab的值.

答案：（1）(22,),(4,)

42

pp

（2）1,2ab=-=

3、（2010新课标）已知直线

1

1cos

:

sin

xt

C

yt

a

a

ì

=+

ï

í

=

ï

î

（t为参数），圆

2

cos

:

sin

x

C

y

q

q

ì

=

ï

í

=

ï

î

（q为参数）.

（1）当

3

p

a=时，求

1

C与

2

C的交点坐标；

（2）过坐标原点O作

1

C的垂线，垂足为A，P为OA的中点.当

a

变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出

它是什么曲线.

答案：（1）

13

(1,0),(,)

22

-（2）圆心为

1

(,0)

4

，半径为的

1

4

圆

7

同类型题1：在极坐标系中，曲线

1

C与

2

C的极坐标方程依次为2cos,cos()1

3

p

rqrq=-+=.

（1）求曲线

1

C和

2

C的公共点的个数.

（2）过极点作动直线与曲线

2

C相交于点Q，在OQ上取一点P，使2OPOQ=g，求点P的轨迹，并

指出轨迹是什么图形.

答案：（1）没有公共点（2）是以为

13

(,)

22

-圆心，1为半径的圆