幂级数的和函数

常见幂级数求和函数方法综述

引言

级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成

和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是

用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级

数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来

自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、

无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。

到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面

发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各

达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进

行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广

泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。

它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。

幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，

求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一

问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数

求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多

样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高

的有趣的数学问题。

一、幂级数的基本概念

（一）、幂级数的定义[1]

1

、设

()(1,2,3)

n

uxn

是定义在数集E上的一个函数列，则称

12

()()(),

n

uxuxuxxE

!

为定义在

E

上的函数项级数，简记为

1

()

n

n

ux





。

2

、具有下列形式的函数项级数

2

0010200

0

()()()()nn

nn

n

axxaaxxaxxaxx







称为在点

0

x

处的幂级数。

特别地，在

0

0

()n

n

n

axx





中，令

0

xxx

，即上述形式化为

2

012

0

nn

nn

n

axaaxaxax







称为在

0

点的幂级数。

（二）、幂级数的和函数[2]

】

若对幂级数中的每一个

x

都有23

0123

()aaxaxaxsx

，则称

()sx

为幂级数的

和函数。

幂级数的部分和记为

23

0123

()n

nn

sxaaxaxaxax

且部分和

()

n

sx

有如下性质

lim()()

n

n

sxsx





二、幂级数求和函数的几种方法

以下所要介绍的几种方法旨在分析不同类型的幂级数该如何进行求和，并且帮助大

家掌握解题技巧。

（一）、定义法[3]

)

对于幂级数

0

n

n

n

ax



，若前

n

项和函数列

{()}

n

sx

有极限，即

lim()

n

n

sx



存在，则

此幂级数收敛，且

0

()

limn

nn

n

n

axsx









。

例

1

：求幂级数

0

n

n

ax





的和函数，其中0a，1x

。

解：当

1x

时

()lim()lim()lim

11

n

n

n

nnn

aaxa

sxsxaaxax

xx







（二）、分项组合法

我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通

项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。

【

例2：求

3

0

()

(1)!

n

n

n

sxx

n











的和函数。

解:易知该级数的收敛域为

(,)

当

0x

时，

()0sx

当

0x

时

2

(1)(1)11

()

2(1)!

n

n

xnnnn

sxx

n













21

2

222

1

2(2)!!(1)!

nnn

nnn

xxxx

x

nnxn













2

11

(1)2xexx

xx



0

0x

】

所以

()sx

2

11

(1)2

x

exx

xx





0x

（三）、逐项求导与逐项积分法

若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再

求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考

虑用“先求导，再积分”的做法。

定理[4]：设幂级数

0

n

n

n

ax







在

(,)RR

内的和函数为

()sx

，则

1、

()sx

在

(,)RR

内每一点都是可导的，且有逐项求导公式：

'''1

001

()()()nnn

nnn

nnn

sxaxaxnax









(

求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R。

2、

()sx

在

(,)RR

内可以积分，且有逐项积分公式：

1

000

000

()t()

1

xxx

nnn

n

nn

nnn

a

stdatdtatdtx

n















其中

x

是

(,)RR

内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R。

在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项

积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的

和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。

例3：求幂级数

1

(1)(2)n

n

nnnx







的和函数

()sx

。

解：易知该级数的收敛域为

(1,1)

，在任意区间上可以逐项积分

1

1

()(1)(2)n

n

sxxnnnx









%

令

1

1

1

()(1)(2)n

n

sxnnnx









21

0

1

()()(1)(2)x

n

n

sxstdtnnx







1

32

0

1

()()(2)x

n

n

sxstdtnx











3

2

43

0

1

()()

1

x

n

n

x

sxstdtx

x















所以

323

''

34

2

32

()()()

1(1)

xxx

sxsx

xx







23

'

23

3

662

()()

(1)

xxx

sxsx

x







'

12

4

6

()()

(1)

sxsx

x





从而可得所求和函数

：

4

1

6

()

(1)

()

x

x

x

sxxs





(11)x

例4：求幂级数

2

1

(1)

(21)

nn

n

x

nn











的和函数

()sx

。

解：易知收敛区间为[1,1]

当

0x

时，

()0sx

当

0x

时

设

21

1

(1)

()()

22(21)

nn

n

xx

yxsx

nn















[

2

'

1

(1)

()

2

nn

n

x

yx

n











21

2

1

''

()(1)

1

nn

n

x

yxx

x















得出2

0

2

1

'

()ln(1)

12

x

t

yxdtx

t









2

0

1

()ln(1)

2

xyxtdt



2

1

ln(1)arctan

2

xxxx

2

2arctan

()2ln(1)

x

sxx

x



0

0x

综上所述

()sx

[

2

2arctan

2ln(1)

x

x

x

0x

（四）、代数方程法

此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原

幂级数的和函数。

例5：设有等差数列：

,,2,3,,(1),aabababanb

等比数列：

231,,,,,,nccxcxcxcx则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积

所构成的级数为

231()(2)(3),,[(1)],nacabcxabcxabcxanbcx

求其和函数

()sx

,其中

,,abc

为常数。

】

解：易知此级数的收敛域为

(1,1)

1

(){[(1)]}n

n

xsxanbcx







23(1)()xsxacbcxbcxbcx

1

bcx

ac

x





所以

2

()

1

(1)

acbcx

sx

x

x







例6：求幂级数

0

()n

m

n

Hnx





的和函数，其中()

m

Hn为

n

的

m

次多项式。

解：记

0

()()n

mm

n

sxHnx





1

0

()()n

mm

n

xsxHnx









`

则1

0

(1)()(0)[(1)()]n

mmmm

n

xsxHHnHnx









1

0

(0)()n

mm

n

HxHnx









①

其中

1

()

m

Hn

为

n

的

1m

次多项式

再使用一次以上的运算方法可得

1

1

0

(1)()(0)()n

mmm

n

xxsxxHxHnx











②

①-②得

21

11

00

(1)()(0)(1)[()()]nn

mmmm

nn

xsxHxxHnxHnx











1

111

0

(0)(1){(0)[(1)()]}n

mmmm

n

HxxHHnHnx











—

12

0

(0)(1)[(0)()]n

mmm

n

HxxHxHnx









其中

2

()

m

Hn

为

n

的

2m

次多项式

反复使用以上的方法可以得到

123

12

(1)()(1)(0)(1)(0)(1)(0)mmmm

mmmm

xsxxHxxHxxH





21

21

1

(1)(0)[(0)]mmn

n

xxHxHx









这样就可以求得

()

m

sx

。

（五）、微分方程法

-

在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法，在现行

高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。此方法将通过实例介

绍这类幂级数和函数的求法，把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把

幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及

和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。

例7：求幂级数

0

()

!

n

n

fn

x

n







在下列情况下的和函数

()sx：

①

()(1)fnnd

，即公差为

d

的等差数列，其中

d

为常数；

②

()nfnq

，即公比为

q的等比数列，其中

q

为常数。

解：①易知该级数的收敛域为(,)

0

(1)

()

!

n

n

nd

sxx

n











则

'1

1

(1)

()

(1)!

n

n

nd

sxx

n















'23()()

2!3!

dd

sxsxddxxx

&

xde

这是一个满足初始条件

(0)sd

的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得

()(1)xsxdex

②易知该级数的收敛域为

(,)

0

()

!

n

n

n

q

sxx

n









'1

1

()

(1)!

n

n

n

q

sxx

n













'22()()(1)(1)(1)sxsxqqqxqqx

(1)qxqe

这是一个满足初始条件

(0)1s

的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得

()qxsxe

￥

（六）、柯西方法[5]

如果级数

0

n

n

a





与

0

n

n

b



都绝对收敛，作这两个级数的乘积

0

n

n

c





，其中

0110nnnn

cababab





，则

0

n

n

c





也绝对收敛，且必有

000

nnn

nnn

cab







。

例8:求幂级数的和函数

1

111

()(1),1

23

n

n

sxxx

n









。

解：令

,0,1,2,,1n

n

axnx

则

00

1

(1)

1

n

n

nn

axx

x











为绝对收敛级数

再令

0

n

n

b





为

ln(1)x

的泰勒级数：

23

ln(1)(0),1

23

nxxx

xxx

n



~

此级数在

(1,1)

内是绝对收敛的。

从而

1

1(1)

1

nn

nn

n

xx

cxxxxo

nn







111

(1)

23

nx

n



所以

000

ln(1)

()

1nnn

nnn

x

sxcab

x













（七）、差分算子求和法

此方法适用于通项系数是以

n

为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题。若

()fx为任意实函数，



为差分算子，则定义函数

()fx

的一阶差分为

()(1)()fxfxfx

n

阶差分为1()(()),2,3,nnfxfxn

&

定理[6]：设

()px

为

m

次多项式，则当

1x

时

0

()n

n

pnx





收敛，而且其和函数

1

0

()(0)

(1)

k

m

k

k

k

x

sxp

x









定理证明：当

1x

时，幂级数

0

()n

n

pnx





收敛，现在定义单位算子I及位移算子

E

分

别为

()()Ifxfx

()(1)Efxfx

则

()()()fxEfxIfx

即

EI

由于

()(0)()(0)nnpnEpIp

0

(1)(1)

(0)

!

n

k

k

nnnk

p

k







0

(1)(1)

(0)

!

m

k

k

nnnk

p

k





所以

0

00

(1)(1)

()()(0)

!

m

nkn

k

nn

nnnk

sxpnxpx

k













0

0

(1)(1)

(0)

!

m

kn

n

k

nnnk

px

k













0

(0)

[1223(1)]

!

k

m

k

k

p

xkk

k







2

0

(0)

(1)

!

kk

m

k

k

k

pd

xxx

k

dx







0

(0)1

()

!1

kk

m

k

k

k

pd

x

kx

dx









1

0

(0)!

!

(1)

k

m

k

k

k

pk

x

k

x











1

0

(0)

(1)

k

m

k

k

k

x

p

x









例9：求幂级数

2

1

1

n

n

nn

x

n









的和函数

()sx

解：令

2

1

1

()(1)n

n

sxnnx







则'

1

()()sxxsx

2()1pnnn

，

故

()22pnn2()2pn

所以由定理得

22

1

23

(0)(0)(0)

()

1

(1)(1)

pxpxp

sx

x

xx









2

23

122

,(1)

1

(1)(1)

xx

x

x

xx







2

'

23

1122

()[]

1

(1)(1)

xx

sx

xx

xx







则

2

21

()ln,(1)

11

(1)

x

sxx

xx

x







三、幂级数求和函数各种方法特点分析与评价

以上介绍了七种求幂级数和函数的方法，这也只是若干种求幂级数和函数方法中一

部分，其他更多的方法还有待探索发现，在此不再进一步探究。下面就以上七种方法再

做一点讨论：

]

（一）定义法的特点：此方法是根据求幂级数部分和函数列的极限得出的，所以它

自然适用于一切形式的幂级数求和。但是问题在于，对于一些通项比较复杂的幂级数，

幂级数部分和数列的极限很难求出，则此方法就会失效。例如幂级数

3

0

(1)

(1)!

n

n

n

n

x

n











的

部分和数列是否收敛就难以判断，假如要用定义法进行求和，那么就会相当困难而得不

出结果。

（二）分项组合法特点：要运用这一方法我们首先要对所求幂级数的各项进行细心

的观察。当逐项观察时发现不了什么规律，这时可以隔一项甚至两项、三项再次观察，

也可以把通项稍作变形再观察。如果发现了一题中存在不止一种规律，那么就把符合同

一种规律的各项组合在一起进行分别计算，最终再联列得出所求级数的和函数。这种方

法在对通项进行拆项上技巧性很强，一般可以利用已知和函数的幂级数来进行。

（三）逐项求导与逐项积分法，这一方法使用起来比较简单。遇到一个级数，第一

步将其通项单独拿出来分析。如果开始比较复杂无从下手，可以试着进行逐次求导、逐

次积分、先求导再积分、先积分再求导，经过几次运算以后可以变成比较简单、容易求

和的级数的话，那么先求出新级数的和，接着再做与之前所做的相反的运算就可以得出

原来的级数的和函数。这种方法运用时要熟记常见函数的麦克劳林展开式，此时的展开

式就是常见幂级数的和函数公式，这种求幂级数和函数的方法还可以用来求一些简单的

数项级数的和。

（四）代数方程法，看到所求幂级数时，要仔细观察相邻两项之间是否存在有明显

的关系，比如：前后两项之间只相差一个倍数，前一项乘以自变量、自变量的倍数或自

变量的幂得到后一项。一旦发现这些规律时我们就可以果断的运用代数方程法求此幂级

数的和函数，这样可以节约大量计算时间、带来很大的方便、提高效率。同样对于微分

方程法，所求幂级数的一般项中通常含有阶乘因子，使用之前先对原来的和函数做一定

的变形，求其一阶导数、必要时还要求其二阶导数、三阶导数，将所得结果与原来和函

数联列。如果容易得到一个微分方程，那么就可以转化为求解此微分方程的初值问题解：

容易求出初值解，则此解为要求的幂级数的和函数；若不易求初值解，此法就不再适用。

（五）柯西方法、差分算子求和法，这两种方法的适用条件比较明显。只要所求级

数的通项可以表示为另外两个级数前n项相应乘积之和，且这两个级数的和函数容易

求得，那么就可以使用柯西方法将已求得的两个和函数相乘而得到所求幂级数的和函数。

如果遇到通项系数是以n为自变量的有限次多项式的幂级数，那么就可以尝试使用差

分算子求和法对其进行求解。

上面是对七种求和函数的方法分别介绍的，但不是说对于任何一题只要使用其中的

一种方法就可以得出结果，有时候会碰到稍微复杂的题目，这时可能使用以上任何一种

方法都不能得出结果，而是要综合使用其中的两种、三种甚至四种方法才可以顺利解答。

例10：求幂级数和函数

《

362

2451()25(1)

3!6!(2)!

n

nn

xxx

sxxxxxxnx

n







其中

1,4,7,10,1nx

解：令

123

()()()()sxsxsxsx

其中4

1

(),1,4,7,nsxxxxn

31

x

x





25

2

()25,2,5,8,nsxxxnxn

3583

2

()25,2,5,8,nxsxxxnxn

3225

2

(1)()333,2,5,8,nxsxxxxxn

2

2

3

3

1

x

x

x





*

所以

22

2

323

3

()

(1)1

xx

sx

xx





36

3

(),3,6,9,

3!6!!

nxxx

sxn

n



251

'

3

(),3,6,9,

2!5!(1)!

nxxx

sxn

n







42

''

3

(),3,6,9,

4!(2)!

nxx

sxxn

n







以上三式相加得

'''

333

1

()()()1

!

n

x

n

x

sxsxsxe

n







这是一个满足初始条件'

33

(0)0,(0)0ss

的二阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得

2

3

231

()cos1

323

x

xsxexe

从而

3

22

2

33

2

3231

()cos1

323

11

(1)

x

x

xxx

sxexe

xx

x







)

例11：求

2

1

1

n

n

n

x

n









的和函数

()sx

。

解：易知该幂级数的收敛域为

(1,1)

11

1

()nn

nn

sxnxx

n









令

1

1

1

()n

n

sxnx









1

1

00

11

()

1

xx

nn

nn

x

sxdxnxdxx

x















则1

22

1

1

()()=,=

1

n

n

xx

sxnx

x

xx











，

（1-)（1-)

令

2

1

1

()n

n

sxx

n







1

2

1

1

()

1

n

n

sxx

x











，

2

0

1

()ln(1)

1

xsxdxx

x







所以

11

1

()nn

nn

sxnxx

n









2

ln(1)

(1)

x

x

x





(11)x

这两题分别综合用到了以上七种方法中的三个，这样才得以成功解答。从中我们可

以得到启示，做题时自己的想法不能太单一、闭塞，所谓条条大路通罗马，要敢于尝试，

相信肯定会有一种相对比较适合的方法的。

参考文献：

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