零向量

2022年12月11日发(作者：虹之间歌词)向量

【1】数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。见图一

【2】定义 数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（vector），不同于物理学中的矢量，只有方向与大小，没有起始点（亦称自由向量）。 数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中常称为标量。例如距离。 注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。α=（a1，a2，…，an） 称为n维向量。其中ai称为向量α的第i个分量。 （"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标，其他类推） 在编程语言中，也存在向量。

【3】表示 1．代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 向量表示

2．几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。） 3．坐标表示： 1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 向量机器模型

i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j,k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z） 向量的坐标表示

，使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, z）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y, z），也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 3) 当然,对于空间多维向量，可以通过类推得到,此略。件图234

【4】 模和数量 向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注： 1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a(x,y)， |a|=根号下（x^2+y^2）。 2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不

映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像，以 L（V，W） 来描述，也是一个F场里的向量空间。当V及W被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构， 我们称这两个空间为同构；他们根本上是然后相同的。一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。

延伸

研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下： 一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。 一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。

子空间及基

一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为V的线性子空间。给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作span（B）。给出一个向量集合B，若它的扩张就是向量空间V， 则称B为V的生成集。一个向量空间V最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0，R1，R2，R3。。。，R∞，。。。中，Rn 的维度就是n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以坐标系统来呈现。

【9】 定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

【10】其他向量共线的条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。 零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

平面向量的分解定理 平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底． 矩阵在三维图形学中的应用 矩阵在3D图形中，常用于描述图形变换，平移，旋转，放缩等。

【11】向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. 三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线 AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值。 [例1]如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面?ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：C1C⊥BD. (2)当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明。 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单。 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系. 技巧与方法：利用a⊥b a·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可。 (1)证明：设 =a, =b, =c,依题意，|a|=|b|， 、 、? 中两两所成夹角为θ，于是 =a－b， =c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由 =(a+b+c)·(a－c)=|a|+a·b－b·c－|c|=|a|－|c|+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD， ∴ =1时，A1C⊥平面C1BD. [例2]如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点。 (1)求 的长 (2)求cos< >的值 (3)求证：A1B⊥C1M. 命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题。 知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标。 错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标. 技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标。 (1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 依题意得：B(0，1，0)，N(1，0

，1) ∴| |= . (2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴ = =(0，1，2) =1×0+(－1)×1+2×2=3 | |= (3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M( ) ∴ ∴A1B⊥C1M. 1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想. 2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中。常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题. 3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？