显而易见的意思

拓扑是什么意思

拓扑是什么意思1是我们常常会听见一个数学名词，乍听起

来，它好像是一个很“玄”的东西，但实际上它并不神秘，拓

扑是什么意思1已经成为一种再基本不过的数学结构和数学

语言，没有这样的基本结构，就不可能有今天的数学。那么，

拓扑是什么意思1到底是一种怎样的数学概念呢？

拓扑结构

从定义上来说，拓扑是赋予在集合上的数学结构，在满足规定

的三条公理后，这个集合连同这个结构就成为一个拓扑空间，

这个结构就被称为拓扑是什么意思1。也就是说，拓扑是什么

意思1是人为规定出来的一种结构，它的基本组成元素是所

谓的“开集”。可以看到，这样原始的拓扑是非常宽松的，它

并没有给集合太强的约束，在这种情况下，集合上的拓扑结构

往往非常多，其中最简单的拓扑由两个元素组成，也就是空集

和集合本身，这种拓扑称为“最粗”的拓扑，相对的，就有

“最细”的拓扑，它由集合的所有子集组成。显而易见的是，

这两种拓扑都是满足拓扑公理的。

欧式空间是我们非常熟悉的一个空间，它有一个普通的欧式距

离结构，也就是我们平时接触到的空间距离。欧洲空间这么重

要的空间，显然应该成为拓扑空间，那么它的拓扑结构是什么

呢？就距离空间而言，它具有由距离诱导的拓扑结构。以一维

欧式空间中的一条直线为例，它的开集是开区间，它的闭集是

闭区间。这种拓扑对于距离空间来说是非常自然的，通常被称

为距离拓扑。

对于一个集合，如果它没有任何额外的结构，就很难对它进

行数学运算，因为这样的集合太松散了，无法讨论。所以我们

需要给集合赋予结构，也就是加上一些约束，让它成为数学活

动的舞台，而拓扑学就是这样一个基本结构。当然除了拓扑

学，还有很多其他重要的数学结构，比如群结构。集合运算

后，其元素满足某些条件，就成了群。

给定一个拓扑空间后，我们就要研究它的性质，因而有了紧

集，稠密性，连通性等概念。而仅仅研究一个拓扑空间显然是

不够的，有了不同的拓扑空间之后，首先关心的问题是它们有

什么区别。拓扑学这门学科所关注的是空间在连续变化下保持

不变的性质，也就是所谓的拓扑不变量，在这种情况下，我们

不再关心空间的具体形状，如果一个空间可以由另一个空间连

续变化而来，那么应该将它们视为同一个东西，这也就是“同

胚”的概念，典型的例子就是咖啡杯可以连续变化为类似于甜

甜圈的圆环。而著名的庞加莱猜想就是单连通闭三维流形的同

胚分类问题。

在学习微积分时，我们都知道函数的连续性是由“δ-ε”语

言所严格定义的，但实际上，它完全被包含在了拓扑范围内。

两个拓扑空间之间映射的连续性被定义为：如果开集的原像为

开集，那么映射连续。可以看到，“δ-ε”语言完全就是这

种拓扑语言的特例，而微积分所关心的不过是欧式空间而已。

有了拓扑之后，我们所能研究的空间范围就大大地扩展了，例

如函数本身也能构成拓扑空间，这些空间就成为了泛函分析的

研究对象。

说了这么多，拓扑是什么意思1可能看起来还是很抽象，但

从本质来看，拓扑是什么意思1的本质仍然在几何的范畴之

内，但与传统的几何不同，拓扑是什么意思1将空间实体抽

象成为了没有形状和大小的“点”，从而极大地拓展了“空

间”这个概念。

拓扑学

最后我们再来看看“拓扑学”这门数学学科。拓扑是

Topology的音译，它原本的意思是地形地貌，后来被赋予了

“位置分析”的内涵。最早提出“位置分析”这种数学思想的

是莱布尼茨，而拓扑学的真正起源恐怕要追溯到欧拉关于著名

的“七桥问题”的研究。

今天，拓扑学已经形成了两个分支:点集拓扑学和代数拓扑

学。前者也称为一般拓扑学，来自康托尔在集合论方面的工

作。在弗雷歇和豪斯多夫给出许多严格定义的概念后，公理化

的一般拓扑学正式发展起来。这种数学思想在波兰学派关于泛

函分析的工作和苏联学派关于函数空间的工作中得到了发扬。

后来法国布尔巴基学派进一步拓展了这一领域的内容，基本形

成了今天的点集。

而代数拓扑学的创始人则是伟大的庞加莱，他创造性地将代数

学的方法引进了拓扑学的研究中。来自拓扑本身的方法是非常

稀少的，所以利用强有力的代数方法来研究拓扑是势在必行

的。庞加莱定义了如今被称为同调群和基本群的基本代数拓扑

不变量，而后随着数学发展，代数拓扑逐渐分成了“同伦论”

和“同调论”两大分支。简单来说，拓扑空间之间的映射是同

伦的当且仅当其中一个可以连续变化为另一个，更进一步，映

射的同伦关系实际上是等价关系，这些映射于是就被分为了不

同的等价类。研究拓扑空间和映射的同伦分类就是同伦论的基

本内容，它的基本代数工具是同伦群，而例如著名的庞加莱猜

想，它本质上就是同伦论中的一个难题。

从目的上来说，同调理论也想构造拓扑不变量，但同调所描

述的关系在几何直观上不如同伦强，但好处是摆脱了太多的几

何直观后，代数方法可以用得更完全。而且从今天的研究来

看，同源论几乎占据了主导地位。原因之一可能是一般情况下

同调群比同伦群更容易计算，所以更容易得到拓扑空间的性

质。

最后说一下微分拓扑，有些时候它被称为是拓扑学的第三个分

支，但从本质来说，它的方法并没有超出同伦论和同调论的范

围，只不过它的研究对象更加特殊。拓扑空间本身非常一般，

所以为了更好地适用于某些情况，还要加上一些限制，微分结

构就是其中一种，加上这种结构后，拓扑空间就成为了“微分

流形”，这就是微分拓扑的研究对象，同样地，微分拓扑的目

的仍然是寻找拓扑不变量，不过这里是在微分同胚下的不变

量。例如黎曼几何，它研究的就是黎曼流形，也即带有黎曼度

量的微分流形，这实际上就是传统的欧式几何的推广，在欧式

几何里，那个流形就是欧式空间，度量就是普通的欧式度量。

以上大概就是拓扑学和拓扑学的大概意思。当然，这里是一

个非常简单的概述。拓扑是什么意思？1这个词背后的含义其

实是非常丰富深刻的。