对数换底公式

对数的换底公式及其推论

一、复习引入：对数的运算法则

如果a>0，a1，M>0，N>0有：

)(

)(

)(

3R)M(nnlogMlog

2NlogMlog

N

M

log

1NlogMlog(MN)log

a

n

a

aaa

aaa







二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N

N

m

m

alog

log

log(a>0,a1，m>0,m1,N>0)

证明：设

a

logN=x,则xa=N

两边取以m为底的对数：NaxNa

mmm

x

m

loglogloglog

从而得：

a

N

x

m

m

log

log

∴

a

N

N

m

m

alog

log

log

2.两个常用的推论:

①1loglogab

ba

，1logloglogacb

cba

②b

m

n

b

a

n

amloglog（a,b>0且均不为1）

证：①1

lg

lg

lg

lg

loglog

b

a

a

b

ab

ba

②b

m

n

am

bn

a

b

b

a

m

n

n

amlog

lg

lg

lg

lg

log

三、讲解X例：

例1已知

2

log3=a，

3

log7=b,用a,b表示

42

log56

解：因为

2

log3=a，则2log

1

3



a

,又∵

3

log7=b,

∴

1

3

12log7log

2log37log

42log

56log

56log

33

33

3

3

42











bab

ab

例2计算：①

3log1

2.05

②4

2

194

32log2log3log

解：①原式=

15

3

1

5

5

5

5

5

3

1

log

3log

5

2.0



②原式=

2

3

4

5

4

1

2log

4

5

2log

2

1

3log

2

1

232



例3设),0(,,zyx且zyx643

1求证

zyx

1

2

11

；2比较zyx6,4,3的大小

证明1：设kzyx643∵),0(,,zyx∴1k

取对数得：

3lg

lgk

x，

4lg

lgk

y，

6lg

lgk

z

∴

zkkkkkyx

1

lg

6lg

lg2

2lg23lg2

lg2

4lg3lg2

lg2

4lg

lg

3lg

2

11











2kyxlg)

4lg

4

3lg

3

(430

4lg3lg

81

64

lglg

lg

4lg3lg

81lg64lg







k

k

∴yx43

又：kzylg)

6lg

6

4lg

4

(640

6lg2lg

16

9

lglg

lg

6lg2lg

64lg36lg











k

k

∴zy64

∴zyx643

例4已知

a

logx=

a

logc+b，求x

分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为

两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将

a

logc移到等式左端，

或者将b变为对数形式

解法一：

由对数定义可知：bc

aaxlog

b

caaalog

bac

解法二：

由已知移项可得bcx

aa

loglog，即b

c

x

a

log

由对数定义知：ba

c

x

bacx

解法三：

b

a

ablogb

aaa

acxlogloglogb

a

aclogbacx

四、课堂练习：

①已知

18

log9=a,b18=5,用a,b表示

36

log45

解：∵

18

log9=a∴a2log1

2

18

log

1818

∴

18

log2=1a

∵b18=5∴

18

log5=b

∴

a

ba













22log1

5log9log

36log

45log

45log

18

1818

18

18

36

②若

8

log3=p,

3

log5=q,求lg5

解：∵

8

log3=p∴3log32

＝pp33log

2



p3

1

2log

3



又∵

q5log

3

∴

5log2log

5log

10log

5log

5lg

33

3

3

3





pq

pq

31

3





三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

四、课后作业：

1．证明：

b

x

x

a

ab

alog1

log

log



证法1：设px

a

log，qx

ab

log，rb

a

log

则：paxqqqbaabx)(rab

∴)1()(rqqpaaba从而)1(rqp

∵0q∴r

q

p

1即：b

x

x

a

ab

alog1

log

log

（获证）

证法2：由换底公式左边＝bab

a

ab

x

x

aa

x

x

ab

alog1log

log

log

log

log

＝右边

2．已知

naaa

bbb

n

logloglog

21

21



求证：)(log

21

21

naaa

bbb

n





证明：由换底公式

n

n

a

b

a

b

a

b

lg

lg

lg

lg

lg

lg

2

2

1

1由等比定理得：







n

n

aaa

bbb

lglglg

lglglg

21

21





∴

)lg(

)lg(

21

21

n

n

aaa

bbb





∴

)lg(

)lg(

)(log

21

21

21

21

n

n

naaaaaa

bbb

bbb

n





