线面垂直

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直

线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直



判定

性质

线面垂直



判定

性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，

可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同

学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中

蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111

ABCABC

的侧面11

BCCB

是菱形，

11

BCAB

证明：平面

1

ABC平面

11

ABC

3、如图所示，在长方体

1111

ABCDABCD中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

4、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ

为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是

A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得

AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论

6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.

7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

证明:AB⊥平面VAD

8、如图，平行四边形ABCD中，60DAB，2,4ABAD,将CBD沿BD折

起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD.

求证：ABDE

V

DC

B

A

S

A

B

9、如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、

F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD

10、如图，在三棱锥

ABCS

中，平面

SAB

平面

SBC

,ABASBCAB,.过

A

作

SBAF

，垂足为

F

,点GE,分别是棱SCSA,的中点。

求证：（1）平面

EFG

//平面

ABC

（2）

SABC

11、如图，在三棱锥

ABCP

中，FED,,分别是棱ABACPC,,的中点，已知

5,8,6,DFBCPAACPA.

求证：（1）直线

//PA

平面

DEF

;

（2）平面

BDE

平面

ABC

12、如图，在正方形

ABCD

中，,1,2BCABE

是

CD

的中点，

F

是

AE

的中

点。现在沿

AE

将

ADE

向上折起，在折起的图形中解答下列问题：

（1）在线段

AB

上是否存在一点K，使得

//BC

平面

DFK

?若存在，请正明你的

结论；若不存在，请说明理由。

（2）若平面

ADE

平面

ABCE

,求证：平面

BDE

平面

ADE

13、如图，在四棱锥

ABCDP

中，CDABPAABACAB//,,,

CDAB2

,

NMGFE,,,,分别是PCPDBCABPB,,,,的中点。

（1）求证：

//CE

平面

PAD

；

（2）求证：平面

EFG

平面

EMN

14、如图，直四棱柱

1111

DCBAABCD中，2,,//ABABADCDAB,AD=2，

3

1

AA，

E

为

CD

上一点，3,1ECDE

（1）证明：

BE

平面

11

CCBB;

（2）求点

1

B到平面

11

CEA的距离。