劳格数

一．解答题（共19小题）之蔡仲巾千创作

1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义

可知：10b=n与b=d（n）所暗示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=，d（10﹣2）=；

（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），

d（）=d（m）﹣d（n）．

根据运算性质，填空：=（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）

=，d（5）=，d（0.08）=；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误

的劳格数，说明理由并改正．

x356891227

d（x）3a﹣b+c2a﹣b

a+c

1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b

2．（2012•安庆一模）先阅读下列资料，再解答后面的问题．

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为

logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381

（即log381=4）．

（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、

log264之间又满足怎样的关系式；

（3）猜测一般性的结论：logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根

据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜测．

3．（2012•沈阳模拟）认真阅读资料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开

式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）

=a3+3a2b+3ab2+b3，…

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时

可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用

你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述资料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系

数之和为S，（结果用含字母n的代数式暗示）．

4．（2009•佛山）阅读资料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）

配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆

写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．

例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种分歧形

式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部

分）．

请根据阅读资料解决下列问题：（1）对比上面的例子，写出x2﹣4x+2三种分

歧形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2

﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；

19×21；20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写

出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积依照从小到大的顺序排列起来；

（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn暗示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，

b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不

要求证明）

6．（2006•浙江）如果一个正整数能暗示为两个连续偶数的平方差，那么称这

个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，

20都是“神秘数”

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶

数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？

8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC

上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的

位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说

明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件

时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF

的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD

的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，

BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．

11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE

拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC

（图2），证明：MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连

接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的

MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

12．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．

求证：EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边

BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成

立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

13．（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中

点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），

找出图中与BE相等的线段，并证明．

14．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第

（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分

6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN

于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等

量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．

15．（2012•淮安）阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿

∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分

线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，

∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰

三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，

沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线

A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填

“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（无

妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜测：若经过n次折叠∠BAC

是△ABC的好角，则∠B与∠C（无妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和

105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度

数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

16．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜测线段BP、PC、

AP之间的数量关系，并证明你的猜测；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞

BD．

17．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，

AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改

变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的

数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结

论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明

或说明理由．

18．（2006•西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角

△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过

程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个弥补或更

换已知条件，完成你的证明．

①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；

②∠BAC=90°（如图）

附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和

△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．

19．（2006•大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，

且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线

NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过

程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程

之后，可以从下列①、②中选取一个弥补或者更换已知条件，完成你的证明．

1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；

2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．

附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断

△DEF的形状，并说明理由．

2016年06月26日842051969的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共19小题）

1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义

可知：10b=n与b=d（n）所暗示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；

（2）劳格数有如下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．

根据运算性质，填空：

=3（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）=0.6020，d

（5）=0.6990，d（0.08）=﹣1.0970；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误

的劳格数，说明理由并改正．

x356891227

d（x）3a﹣b+c2a﹣b

a+c

1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b

【考点】整式的混合运算；反证法．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即

可求解；

（2）根据d（a3）=d（a•a•a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的

值；

（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假

设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判

断．

【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；

故答案为：1，﹣2；

（2）==3；

故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，

d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，

d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970；

（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，

d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，

从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，

∴d（3）=2a﹣b，

若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，

∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，

d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，

表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．

∴d（5）=a+c．

∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：

d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，

d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．

【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．

2．（2012•安庆一模）先阅读下列资料，再解答后面的问题．

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为

logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381

（即log381=4）．

（1）计算以下各对数的值：log24=2，log216=4，log264=6．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、

log264之间又满足怎样的关系式；

（3）猜测一般性的结论：logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞

0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜测．

【考点】同底数幂的乘法．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】（1）根据资料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；

（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；

（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别暗示出MN及b1+b2的值，即

可得出猜测．

【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；

（2）log24+log216=log264；

（3）猜测logaM+logaN=loga（MN）．

证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，

故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），

即logaM+logaN=loga（MN）．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以资

料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．

3．（2012•沈阳模拟）认真阅读资料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开

式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）

=a3+3a2b+3ab2+b3，…

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时

可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用

你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述资料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系

数之和为S，（结果用含字母n的代数式暗示）．

【考点】完全平方公式．

【专题】压轴题；阅读型；规律型．

【分析】（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开

式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；

（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之

和，即可求得答案；

（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项

系数之和．

【解答】解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此

时第三项的系数为：0=，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：

1=，

当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：

3=，

当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：

6=，

…

∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：

；

（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；

（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，

当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，

当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，

当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，

…

∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．

【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳

方法的应用是解此题的关键．

4．（2009•佛山）阅读资料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）

配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆

写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．

例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种分歧形

式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部

分）．

请根据阅读资料解决下列问题：

（1）对比上面的例子，写出x2﹣4x+2三种分歧形式的配方；

（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；

（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

【考点】完全平方公式．

【专题】压轴题；阅读型．

【分析】（1）（2）本题考核对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的

已知资料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三

种分歧形式；

（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．

【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：

x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，

x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；

（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，

a2+ab+b2=（a+b）2+b2；

（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，

=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），

=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），

=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，

从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，

即a=1，b=2，c=1，

∴a+b+c=4．

【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能

力．

5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写

出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积依照从小到大的顺序排列起来；

（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn暗示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，

b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求

证明）

【考点】平方差公式．

【专题】压轴题．

【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；

可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣

92，同理思考其它的．

【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；

14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；

17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；

20×20=202﹣02．（4分）

例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，

因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；

所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．

解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（5分）

（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5分）

（2）这10个乘积依照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜

14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）

（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分）

②若a+b=40，则ab≤202=400．（8分）

③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤．（9分）

④若a+b=m，则ab≤．（9分）

⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且

|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，

则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）

⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且

|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，

则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）

说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2

分）；

给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．

【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的

积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．

6．（2006•浙江）如果一个正整数能暗示为两个连续偶数的平方差，那么称这

个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，

20都是“神秘数”

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶

数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？

【考点】平方差公式．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神

秘数；

（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）

2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的

平方差得到，

则x2﹣（x﹣2）2=28，

解得：x=8，∴x﹣2=6，

即28=82﹣62，

设2012是y和y﹣2两数的平方差得到，

则y2﹣（y﹣2）2=2012，

解得：y=504，

y﹣2=502，

即2012=5042﹣5022，

所以28，2012都是神秘数．

（2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，

则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，

即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数

为4的奇数倍这一条件．

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是

平方差公式的灵活应用．

7．（2007•淄博）根据以下10个乘积，回答问题：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写

出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积依照从小到大的顺序排列起来；

（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

【考点】整式的混合运算；绝对值．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．

（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．

（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．

【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；

14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；

17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；

20×20=202﹣02…（4分）

例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，

因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；

所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．

解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．

（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92

（2）这10个乘积依照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜

14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20

（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤202=400．

②若a+b=40，则ab≤202=400．…（8分）

③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤．

④若a+b=m，则ab≤．

⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为．

⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且

|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，

则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．…（10分）

⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且

|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，

则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．

⑧若a+b=m，

a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．

说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2

分）；

给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．

【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．

8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC

上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的

位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说

明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件

时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】压轴题；开放型．

【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的

性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，

AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则

∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．

即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，

则∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．

【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全

等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已

知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什

么条件，再去证什么条件．

9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF

的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD

的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得

出FD=DC，即可判断三角形的形状；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC

全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出

∠FCD=∠APD=45°．

【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD与△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴FD=DC，

∴△CDF是等腰三角形，

∵△FAD≌△DBC，

∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，

∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD与△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴FD=DC，

∴△CDF是等腰三角形，

∵△FAD≌△DBC，

∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，

∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴∠FCD=45°，

∵AF∥CE，且AF=CE，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AE∥CF，

∴∠APD=∠FCD=45°．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性

质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关

键．

10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，

BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题；压轴题．

【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得

△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得

∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．

【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，

∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，

∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABQ和△ACF中，

∴△ABQ≌△ACF（SAS），

∴∠F=∠BAQ，

∵∠F+∠FAE=90°，

∴∠BAQ+∠FAE═90°，

∴AF⊥AQ．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的

判定方法，以及全等三角形的性质定理．

11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE

拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC

（图2），证明：MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连

接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的

MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题；几何综合题；压轴题．

【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全

等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得

到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角

形对应边相等即可得证；

（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一

的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求

出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出

∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；

（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，

∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形

对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证

明即可．

【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，

∵MD=ME，

∴∠MAD=∠MAE，

∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，

即∠BAM=∠CAM，

在△ABM和△ACM中，，

∴△ABM≌△ACM（SAS），

∴MB=MC；

（2）MB=MC．

理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，

∴BD=BE′，CE=CF，

∵M是ED的中点，B是DE′的中点，

∴MB∥AE′，

∴∠MBC=∠CAE，

同理：MC∥AD，

∴∠BCM=∠BAD，

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠MBC=∠BCM，

∴MB=MC；

（3）MB=MC还成立．

如图4，延长BM交CE于F，

∵CE∥BD，

∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，

又∵M是DE的中点，

∴MD=ME，

在△MDB和△MEF中，，

∴△MDB≌△MEF（AAS），

∴MB=MF，

∵∠ACE=90°，

∴∠BCF=90°，

∴MB=MC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，

等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三

角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或

全等三角形是解题的关键．

12．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．

求证：EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边

BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成

立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题；压轴题；探究型．

【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使

BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成

GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角

形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实

现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形

全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就

构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．

（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF

全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此

与（1）的结果完全一样．

（3）依照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就

应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出

DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件

下是不成立的．

【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．

（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．

证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF．

∵AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF

∵EG=BE﹣BG

∴EF=BE﹣FD．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现

线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与

已知和所求条件相关联全等三角形．

13．（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中

点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），

找出图中与BE相等的线段，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出

∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，

（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据

AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．

【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，

∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，