对称矩阵的特征值

定理1：k重特征值不会有超过k个线性无关的特征向量。

定理2：实对称矩阵必与对角线相似。如果对角阵是由

特征值组成，且矩阵P的列向量与特征值一一对应，则有

P逆*A*P=对角阵。由于K重特征值要与P中k个特征向

量一一对应，则这k个特征向量必须要线性无关，否则P

就不可逆了。

实对称矩阵的主要性质：1、实对称矩阵A的不同特征

值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征

值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩

阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本

身特征值。4、若λ0具有k重特征值必有k个线性

无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E

为单位矩阵。特征向量简介特征值是线性代数中的

一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有

着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零

n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特

征值（characteristicvalue)或本征值（eigenvalue)。

特征向量基本定义设A为n阶矩阵，若存在常数入及n

维非零向量x,使得Ax=λx,则称入是矩阵A的特征值，x

是A属于特征值λ的特征向量。A的所有特征值的全体，

叫作A的谱，记为λ(A)。求矩阵的全部特征值和特征

向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二

步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三

步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基

础解系，则的于特征值的全部特征向是(其中是不全为零

的任意实数)。