相量

1

第九章相量法

第一节复数的概念

一、虚数单位

参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个

复数平面上定义虚数单位为

1j

即

j2=1，j3=j，j4=1

虚数单位j又叫做90旋转因子。

二、复数的表达式

一个复数Z有以下四种表达式。

1．直角坐标式(代数式)

序号内容学时

1第一节复数的概念1

2第二节复数的四则运算1

3第三节正弦量的复数表示法1

4第四节复数形式的欧姆定律2

5第五节复阻抗的连接2

6本章小结与习题1

7本章总学时8

图9-1在复平面上表示复数

1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数

的四则运算。

2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的

欧姆定律。

3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流

电路。

1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转

换。

2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。

2

Z=a+jb

式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。

在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫

做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A=3+j2在复

平面上的表示如图9-1所示。

2．三角函数式

在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为，因此可以写成

Z=a+jb=|Z|(cosjsin)

式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即

22|Z|bar

叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出































)00(arctan

)00(arctan

)0(arctan

ba

a

b

ba

a

b

a

a

b

，

，

复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。

3．指数式

利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即

Z=|Z|(cosjsin)=|Z|ej

4．极坐标式(相量式)

复数的指数式还可以改写成极坐标式，即

Z=|Z|/

以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式

子。

解：利用关系式Z=a+jb=|Z|/，|Z|=22ba，=arctan

a

b

，计算如下：

(1)Z

1

=2=2/0

(2)Z

2

=j5=5/90(j代表90旋转因子，即将“5”作反时针旋转90)

(3)Z

3

=j9=9/90(－j代表－90旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90)

(4)Z

4

=10=10/180或10/180(“”号代表180)

(5)Z

5

=3+j4=5/53.1

(6)Z

6

=8j6=10/36.9

(7)Z

7

=6+j8=(6j8)=(10/53.1)=10/18053.1=10/126.9

(8)Z

8

=8j6=(8+j6)=(10/36.9)=10/180+36.9=10/143.1。

【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：

(1)Z

1

=2；(2)Z

2

=j5；(3)Z

3

=j9；(4)Z

4

=10；(5)Z

5

=

3j4；(6)Z

6

=8j6；(7)Z

7

=6j8；(8)Z

8

=8j6。

3

解：利用关系式Z=|Z|/=|Z|(cos+jsin)=a+jb计算：

(1)Z

1

=20/53.1=20(cos53.1+jsin53.1)=20(0.6+j0.8)=12+j16

(2)Z

2

=10/36.9=10(cos36.9jsin36.9)=10(0.8j0.6)=8j6

(3)Z

3

=50/120=50(cos120+jsin120)=50(0.5+j0.866)=25+j43.3

(4)Z

4

=8/120=8(cos120jsin120)=8(0.5j0.866)=4j6.928

第二节复数的四则运算

设Z

1

=a+jb=|Z

1

|/，Z

2

=c+jd=|Z

2

|/，复数的运算规则为

1．加减法Z

1

Z

2

=(ac)+j(bd)

2．乘法Z

1

·Z

2

=|Z

1

|·|Z

2

|/+

3．除法

2

1

2

1

Z

Z

Z

Z

/

4．乘方n

nZZ

11

/n

解：(1)Z

1

+Z

2

=(8j6)+(3+j4)=11j2=11.18/10.3

(2)Z

1

Z

2

=(8j6)(3j4)=5j10=11.18/63.4

(3)Z

1

·Z

2

=(10/36.9)(5/53.1)=50/16.2

(4)Z

1

/Z

2

=(10/36.9)(5/53.1)=2/90

第三节正弦量的复数表示法

正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效

值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为

复数相量的辐角。

正弦电流i=I

m

sin(ti

)的相量表达式为

i

I

Ij

me

2



I/i

正弦电压u=U

m

sin(tu

)的相量表达式为

i

U

Uj

me

2





=U/u

【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)：

(1)Z

1

=20/53.1；(2)Z

2

=10/36.9；(3)Z

3

=50/120；

(4)Z

4

=8/120。

【例9-3】已知Z

1

=8j6，Z

2

=3j4。试求：(1)Z

1



Z

2

；(2)Z

1

Z

2

；(3)Z

1

·Z

2

；(4)Z

1

/Z

2

。

4

解：(1)正弦电压u的有效值为U=0.7071311=220V，初相

u

=30，

所以它的相量为

U



U/u

=220/30V

(2)正弦电流i的有效值为I=0.70714.24=3A，初相

i

=45，所以它的

相量为

I=I/i

=3/45A

解:u=2120sin(t37)V，i=52sin(t+60)A。

解:首先用复数相量表示正弦量i

1

、i

2

，即



1

I



3/30A=3(cos30+jsin30)=2.598j1.5A



2

I



4/60A=4(cos60jsin60)=2j3.464A

然后作复数加法：

21

II



4.598j1.964=5/23.1A

最后将结果还原成正弦量：i

1

i

2

=25sin(t23.1)A

第四节复数形式的欧姆定律

一、复数形式的欧姆定律

定义复阻抗为



I

U

Z





|Z|/

其中

I

U

Z为阻抗大小，=u

i

为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则

复数形式的欧姆定律为

IZU

Z

U

I







或

图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。

二、电阻、电感和电容的复阻抗

1．电阻R的复阻抗

图9-2复数形式的欧姆定律

【例9-4】把正弦量u=311sin(314t30)V，

i=4.24sin(314t45)A用相量表示。

【例9-5】把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表

达式表示，设角频率均为：

(1)

U



120/37V；(2)

I



5/60A。

【例9-6】已知i

1

=23sin(t30)A，

i

2

=24sin(t60)A。试求：i

1

i

2

。

5

Z

R

=R=R/0

RR

IRU





2．电感L的复阻抗

Z

L

=X

L/90=jX

L

=jL

LLLLLL

ILIXIZU



jj

3．电容C的复阻抗

Z

C

=X

C/90=jX

C

=

C

1

j

CCCCCC

I

C

IXIZU





1

jj

第五节复阻抗的连接

一、阻抗的串联

如图9-3所示阻抗串联电路。

n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗

Z=Z

1

Z

2

…Z

n

例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z，根据Z

R

=R，

Z

L

=jX

L

，Z

C

=jX

C

，则







jej

)

1

(j)(j

ZXR

C

LRXXRZZZZ

CLCLR





即Z=|Z|/

其中电抗X=X

L

X

C

，阻抗大小为

2222)(

CL

XXRXRZ

为阻抗角，代表路端电压u与电流i的相位差，即

R

X

iu

arctan

解:等效复阻抗Z=Z

R

+Z

L

=R+jX

L

=R+jL=3+j4=5/53.1，其中X

L

=

4，

正弦交流电压u的相量为U



220/30V，

电路中电流相量为

5

220



Z

U

I





/30－53.1=44/23.1A

电阻上的电压相量和瞬时值分别为

图9-3阻抗串联电路

【例9-7】在R-L串联电路中，已知：R=3，

L=12.7mH，设外加工频电压2220usin(314t30)V。

试求：电阻和电感上的电压瞬时值u

R

、u

L

。

6

IRU

R



132/23.1V，

2132

R

usin(314t23.1)V

电感上的电压相量和瞬时值分别为

IXIZU

LLL



j176/9023.1=176/66.9V，

2176

L

usin(314t+66.9)V

二、阻抗的并联

阻抗并联电路如图9-4所示。

n只阻抗Z

1

、Z

2

、…、Z

n

并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即

n

ZZZZ

1111

21



即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。

为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，

即

Z

Y

1



导纳Y的单位为西门子(S)。于是有

Y=Y

1

+Y

2

+…+Y

n

即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和。

欧姆定律的相量形式为

UYIIZU



或

解:由Z

1

=(10+j20)可得

4.63

10

20

arctan36.222010

1

22

1

，Z

由Z

2

=(10j10)可得

45

10

10

arctan14.141010

2

22

2

，Z

即Z

1

=10+j20=22.36/63.4，Z

2

=10j10=14.14/45

由

21

111

ZZZ

可得并联后的等效复阻抗为

图9-4阻抗并联电路

【例9-8】两个复阻抗分别是Z

1

=(10j20)，Z

2

=

(10j10)，并联后接在V)sin(2220tu的交流电源

上，试求：电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i。

7























2.814.14

6.2636.22

4.1817.316

)10j10()20j10(

)4514.14()4.6336.22(

21

21

ZZ

ZZ

Z

于是总电流的相量

A2.86.15

2.814.14

0220

















Z

U

I

即I=15.6A。总电流瞬时值表达式为

A)2.8sin(26.15ti

本章小结

本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法

分析计算阻抗串联与并联电路。

一、复数及其运算法则

1．复数的表达式

(1)直角坐标式(代数式)：Z=a+jb

(2)三角函数式：)0(arctan)sinj(cos22a

a

b

baZZZ，，

(3)指数式：Z=|Z|ej

(4)极坐标式(相量式)：Z=|Z|/

2．复数的运算法则

设Z

1

=a+jb=|Z

1

|/，Z

2

=c+jd=|Z

1

|/

(1)加减法：Z

1

Z

2

=(ac)j(bd)

(2)乘法：Z

1

·Z

2

=|Z

1

|/·|Z

2

|/=|Z

1

|·|Z

2

|/

(3)除法：

2

1

2

1

Z

Z

Z

Z

/

(4)乘方：n

nZZ

11

/n

二、正弦量的复数表示法

正弦交流电流i=I

m

sin(ti

)的相量表达式为

I



I/i

正弦交流电压u=U

m

sin(tu

)的相量表达式为

U



U/u

三、欧姆定律与复阻抗

1．复数形式的欧姆定律IZU

Z

U

I







或

2.电阻R的复阻抗Z

R

=R=R/0

3.电感L的复阻抗Z

L

=X

L/90=jX

L

=jL

4.电容C的复阻抗Z

C

=X

C/90=jX

C

=

CCj

11

j

5.阻抗的串联

8

n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗

Z=Z

1

+Z

2

+…+Z

n

6.阻抗的并联

n只阻抗Z

1

、Z

2

、…、Z

n

并联可以等效为一只复阻抗Z

n

ZZZZ

1111

21



定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即

Z

Y

1



，于是

Y=Y

1

+Y

2

+…+Y

n