奇偶函数的加减乘除

函数

一、函数的定义：

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数

x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函

数．记作：y=f(x)，x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域

（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、

离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)

的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，

反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：

1）加左减右——————只对x

2）上减下加——————只对y

3）函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

4）函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5）函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

6）函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=|f(x)|

7）函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

二、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应

法则，二是要求出函数的定义域.

（2）、求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4)拼凑法：

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组

成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）②定义域一致(两点必须同时备)

n

g

at

a

t

i

m

e

a

n

d

Al

l

t

hi

n

g

s

i

n

t

h

ei

r

b

ei

n

g

a

r

e

g

o

o

d

f

o

r

s

o

m

et

hi

n

4、区间的概念：

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、值域（先考虑其定义域）

（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似

求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。

(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素

x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作

“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一

定的函数

8、函数的单调性(局部性质)及最值

（1）、增减函数

（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x

1

，x

2

，当

x

1

2

时，都有f(x

1

)

2

)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x

1

，x

2

，当x

1

2

时，都有f(x

1

)＞f(x

2

)，那么就说f(x)在

这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

（2）、图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单

调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）、函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

任取x

1

，x

2

∈D，且x

1

2

；

○1

作差f(x

1

)－f(x

2

)；

○2

变形（通常是因式分解和配方）；

○3

定号（即判断差f(x

1

)－f(x

2

)的正负）；

○4

下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

○5

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

9：函数的奇偶性（整体性质）

（1）、偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则

进行下面判断；

b、确定f(－x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不

对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

(1)再根据定义判定;

(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

10、函数最值及性质的应用

（1）、函数的最值

a利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

b利用图象求函数的最大（小）值

c利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（2）、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比

较。

（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函

数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。

三、基本初等函数

指数函数

n

g

at

a

t

i

m

e

a

n

d

Al

l

t

hi

n

g

s

i

n

t

h

ei

r

b

ei

n

g

a

r

e

g

o

o

d

f

o

r

s

o

m

et

hi

n

（一）指数

1、指数与指数幂的运算：

复习初中整数指数幂的运算性质：

am*an=am+n

(am)n=amn

(a*b)n=anbn

2、根式的概念：一般地，若，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．axn

xannn

N

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号

表示。

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号表示，

负的n的次方根用符号表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成（a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。00n

当是奇数时，，当是偶数时，n

aan

n

n















)0(

)0(

||

a

a

a

a

aan

n

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。na

3、分数指数幂

正数的分数指数幂的

，)1,,,0(*nNnmaaan

m

n

m

)1,,,0(

11

*nNnma

a

a

a

n

m

n

m

n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

4、有理数指数米的运算性质

（1）·；

rasrraa

),,0(Rsra

（2）；

rssraa)(

),,0(Rsra

（3）．

srraaab)(

),,0(Rsra

5、无理数指数幂

一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数

指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为)1,0(aaayx且

R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？

2、指数函数的图象和性质

a>10

n

g

at

a

t

i

m

e

a

n

d

Al

l

t

hi

n

g

s

i

n

t

h

ei

r

b

ei

n

g

a

r

e

g

o

o

d

f

o

r

s

o

m

et

hi

n

0

0

定义域R定义域R

值域y＞0值域y＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；)]b(f),a(f[)]a(f),b(f[

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；0x

1)x(f)x(fRx

（3）对于指数函数，总有；)1a0a(a)x(fx且a)1(f

（4）当a>1时，若X

1

2

,则有f(X

1

)

2

)。

对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（Nax)1,0(aa

xa

NNx

a

log

—底数，—真数，—对数式）a

N

N

a

log

说明：注意底数的限制，且；

○10a1a

；

○2xNNa

a

xlog

注意对数的书写格式：

N

a

log

○3

两个重要对数：

常用对数：以10为底的对数；

○1Nlg

自然对数：以无理数为底的对数的对数．

○271828.2eNln

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：0a1a0M0N

·＋；

○1M

a

(log)NM

a

log

N

a

log

－；

○2

N

M

a

logM

a

log

N

a

log

．

○3n

a

MlognM

a

log)(Rn

注意：换底公式

（，且；，且；）．

a

b

b

c

c

alog

log

log0a1a0c1c0b

n

g

at

a

t

i

m

e

a

n

d

Al

l

t

hi

n

g

s

i

n

t

h

ei

r

b

ei

n

g

a

r

e

g

o

o

d

f

o

r

s

o

m

et

hi

n

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．b

m

n

b

a

n

amloglog

a

b

b

alog

1

log

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是0(logaxy

a

)1a

x

（0，+∞）．

注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是

○1xy

2

log2

5

log

5

x

y

对数函数，而只能称其为对数型函数．

对数函数对底数的限制：，且．

○20(a)1a

2、对数函数的性质：

a>10

0

1

1

0

1

1

定义域x＞0定义域x＞0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）

幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

xy

)(Ra

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象0),0[

1

下凸；当时，幂函数的图象上凸；10

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴0),0(

x

y

右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．y

x



xx

四、函数的应用

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函

数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．

3、函数零点的求法：

（1）（代数法）求方程的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

（1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶

零点．

（3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．