重言式

重言式与矛盾式的主析取范式与主合取范式。

1、先看下列简单的问题：

命题公式P→（Q→P）的主合取范式为。

解：根据蕴涵词的意义，当P为假时，P→（Q→P）为真；

当P为真时，Q→P为真，因而P→（Q→P）为真，所以P→（Q→P）永远为

真，即P→（Q→P）是一个重言式。P→（Q→P）中总共有两个命题变元P和Q，

因而对应有个不同的极大项，每个极大项对应着使得P→（Q→P）为假的

一种赋值。现在P→（Q→P）不可能为假，所以P→（Q→P）的主合取范式中不

能含有极大项，因而其主合取范式只能是一个不含极大项的空范式。我们约定：

用1表示重言式的主合取范式。所以命题公式P→（Q→P）的主合取范式为1。

2、一般地，如果一个命题公式G中共有n个命题变元。每个变元有真和假

两种不同的赋值。因而G总共有2n种不同的赋值。对应着每一种赋值，都有一

个极小项和极大项，极小项在对应的赋值下为真，极大项在对应的赋值下为假。

如果G正好在m种赋值下为真，在另外的种赋值下为假，那么

使得G为真的m种赋值所对应的m个极小项的析取就是G的主析取范式，

使得G为假的其他种赋值所对应的个极大项的合取就是G的主合

取范式。

如果G是重言式，全部2n种赋值都使得G为真，因而所有的2n个极小项的

析取是G的主析取范式。重言式G的主合取范式不含极大项，是空范式，就用

1表示。

如果G是矛盾式，全部2n种赋值都使得G为假，因而所有的2n个极大项的

合取是G的主合取范式。矛盾式G的主析取范式不含极小项，是空范式，就用

0表示。

3、P→（Q→P）的主析取范式为

由P→（Q→P）对应的所有4个极小项的析取得到。

4、重言式和矛盾式的主析取范式和主合取范式，在教材中没有讲清楚，因

而在做有关练习和考试题时，同学们感到茫然。现在，大家应该清楚了。这里也

进一步明确了用真值表方法求主合取范式和主析取范式的依据和步骤。