拉普拉斯分布

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程(Laplaceequation)

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称

为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的

直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的

圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个

平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出

液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就

会不同，在液面两边就会产生压力差?P=P1-P2，其数值与液面曲率大小有关，可

表示为:

在数理方程中，拉普拉斯方程为:?u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中?为拉普拉

斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由

下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数

φ:

上面的方程常常简写作:

或

其中div表示矢量场的散度(结果是一个标量场)，grad表示标量场的梯度(结

果是一个矢量场)，或者简写作:

其中Δ称为拉普拉斯算子.

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f(x,y,z)，即:

则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微

分方程。偏微分算子或Δ(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算

子，英文是Laplaceoperator或简称作Laplacian。

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使

得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的

其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上

各点位置坐标的函数)，直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布

场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本

身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢

量场的势分布在区域边界处的已知效果(对热传导问题而言，这种效果便是边界热

流密度)。

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任

意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程(或任意线性微分方程)，这两个函数之

和(或任意形式的线性组合)同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原

理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通

解。二维拉普拉斯方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式:

解析函数

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z=x+iy，并

且

那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程:

上述方程继续求导就得到

所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。

反之，给定一个由解析函数(或至少在某点及其邻域内解析的函数)f(z)的

实部确定的调和函数，若写成下列形式:

则等式

成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的

微增量表达式:

φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件:

所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积

分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复

变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调

和函数。这种构造解的方法只在局部(复变函数f(z))的解析域内)有效，或者

说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,

θ)上定义函数

那么相应的解析函数为

在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。

拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶

可导(这是解析函数的一个性质)，因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点

的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一

些的可微分阶数是很小的。

幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f在复平面上

以原点为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即

将每一项系数适当地分离出实部和虚部

那么

这便是f的傅里叶级数。

在流场中的应用

设u、v分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x和y方

向分量(这里仅考虑二维流场)，那么不可压缩条件为:

无旋条件为:

若定义一个标量函数ψ，使其微分满足:

那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函

数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为:

无旋条件即令ψ满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。柯西-

黎曼方程要求

所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数

的实部为速度势函数，虚部为流函数。