线面角

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立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面

ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。

（Ⅰ）证明：PC平面BED；

（Ⅱ）设二面角APBC为90o，求PD与平面PBC所成角的

大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，

PA＝2，PE＝2EC，故

PC＝23，EC＝

23

3

，FC＝2，

从而

PC

FC

＝6，

AC

EC

＝6.

因为

PC

FC

＝

AC

EC

，∠FCE＝∠PCA，所以

△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，

由此知PC⊥EF.

E

C

B

D

A

P

2/7

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.

(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．

因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.

又平面PAB∩平面PBC＝PB，

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是

BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝22.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，AD

两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.

设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝

d

PD

＝

1

2

.

所以PD与平面PBC所成的角为30°.

方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空

间直角坐标系A－xyz.

设C(22，0,0)，D(2，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E













42

3

，0，

2

3

，B(2，

3/7

－b,0)．

于是PC→＝(22，0，－2)，BE→＝













2

3

，b，

2

3

，DE→＝













2

3

，－b，

2

3

，从而PC→

·BE

→

＝0，

PC

→

·DE

→＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.

又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.

(2)AP

→＝(0,0,2)，AB→＝(2，－b,0)．

设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·AP→＝0，·AB→＝0，

即2z＝0且2x－by＝0，

令x＝b，则＝(b，2，0)．

设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则

·PC

→＝0，·BE→＝0，

即22p－2r＝0且

2p

3

＋bq＋

2

3

r＝0，

令p＝1，则r＝2，q＝－

2

b

，＝













1，－

2

b

，2

.

因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－

2

b

＝0，故b＝2，于是＝(1，－1，2)，

DP

→＝(－2，－2，2)，

cos〈，DP

→〉＝

n·DP

→

|n||DP

→

|

＝

1

2

，

〈，DP→〉＝60°.

因为PD与平面PBC所成的角和〈，DP→〉互余，

故PD与平面PBC所成的角为30°.

例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）

如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，

4/7

PC＝23，PD＝CD＝2.

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；

(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

图1－4

【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，

所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成

的角．

在Rt△PDA中，tan∠PAD＝

PD

AD

＝2.

所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD

＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，

故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．

5/7

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.

在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.

在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.

在Rt△PEB中，sin∠PBE＝

PE

PB

＝

39

13

.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为

39

13

.

例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱

柱ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA

1

＝

2，E是DD

1

的中点，F是平面B

1

C

1

E与直线AA

1

的交点．

(1)证明：(i)EF∥A

1

D

1

；

(ii)BA

1

⊥平面B

1

C

1

EF；

(2)求BC

1

与平面B

1

C

1

EF所成的角的正弦值．

图1－5

【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C1

B

1

∥A

1

D

1

，C

1

B

1

⊄平面A

1

D

1

DA，所以C

1

B

1

∥平面A

1

D

1

DA，

又因为平面B1

C

1

EF∩平面A

1

D

1

DA＝EF，

所以C1

B

1

∥EF，

6/7

所以A1

D

1

∥EF.

(ⅱ)因为BB

1

⊥平面A

1

B

1

C

1

D

1

，

所以BB1

⊥B

1

C

1

.

又因为B1

C

1

⊥B

1

A

1

，

所以B1

C

1

⊥平面ABB

1

A

1

，

所以B1

C

1

⊥BA

1

.

在矩形ABB1

A

1

中，F是AA

1

的中点，tan∠A

1

B

1

F＝tan∠AA

1

B＝

2

2

，

即∠A1

B

1

F＝∠AA

1

B，

故BA1

⊥B

1

F，

所以BA1

⊥平面B

1

C

1

EF.

(2)设BA

1

与B

1

F交点为H，连结C

1

H.

由(1)知BA1

⊥平面B

1

C

1

EF，所以∠BC

1

H是BC

1

与面B

1

C

1

EF所成的角．

在矩形AA1

B

1

B中，AB＝2，AA

1

＝2，得BH＝

4

6

.

在直角△BHC1

中，BC

1

＝25，BH＝

4

6

，得

7/7

sin∠BC

1

H＝

BH

BC

1

＝

30

15

，

所以BC1

与平面B

1

C

1

EF所成角的正弦值是

30

15

.