xiayi

近世代数

一、单项选择题

1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则

BA

=（）

A、{1，2，3，4}B、{2，3，6，7}

C、{2，3}D、{1，2，3，5，6，7}

答案：C

2、循环群与交换群关系正确的是（）

A、循环群是交换群B、交换群是循环群

C、循环群不一定是交换群D、以上都不对

答案：A

3、下列命题正确的是（）

A、n次对换群n

S

的阶为

!n

B、整环一定是域

C、交换环一定是域D、以上都不对

答案：A

4、关于陪集的命题中正确的是（）设H是G的子群，那么

A、对于

,,bHaH

有

bHaH

或

bHaH

B、

HaHaH

C、

HbabHaH1

D、以上都对

答案：D

5、设A=R（实数域），B=R+（正实数域）f:a→10aaA则f

是从A到B的（）

A、单射B、满射

C、一一映射D、既非单射也非满射

答案：D

6、有限群中的每一个元素的阶都（）

A、有限B、无限

C、为零D、为1

答案：A

7、整环（域）的特征为（）

A、素数B、无限

C、有限D、或素数或无限

答案：D

8、若S是半群,则()

A、任意

,,,Scba

都有a(bc)=(ab)cB、任意

,,Sba

都有ab=ba

C、必有单位元D、任何元素必存在逆元

答案：A

9、在整环Z中，6的真因子是（）

A、

1,6

B、

2,3

C、

1,2

D、

3,6

答案：B

10、偶数环的单位元个数为（）

A、0个B、1个

C、2个D、无数个

答案：A

11、设

n

AAA,,,

21

和D都是非空集合，而

f

是

n

AAA

21

到D的一个映射，

那么（）

A、集合DAAA

n

,,,,

21

中两两都不相同；

B、

n

AAA,,,

21

的次序不能调换；

C、

n

AAA

21

中不同的元对应的象必不相同；

D、一个元

n

aaa,,,

21

的象可以不唯一。

答案：B

12、指出下列那些运算是二元运算（）

A、在整数集Z上，

ab

ba

ba





；

B、在有理数集

Q

上，

abba

；

C、在正实数集R

上，

babaln

；

D、在集合0nZn上，baba。

答案：D

13、设



是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大

者），那么



在Z中（）

A、不适合交换律；B、不适合结合律；

C、存在单位元；D、每个元都有逆元。

答案：C

14、设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固

定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）

A、0和x；B、1和0；C、k和kx2；D、k和

)2(kx

。

答案：D

15、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）

A、11abc；B、11ac；C、11bca；D、cab1。

答案：A

16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果6，那么G的

阶G（）

A、6；B、24；C、10；D、12。

答案：B

17、设

21

:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）

A、

f

的同态核是

1

G的不变子群；

B、

2

G的不变子群的逆象是

1

G的不变子群；

C、

1

G的子群的象是

2

G的子群；

D、

1

G的不变子群的象是

2

G的不变子群。

答案：D

18、设

21

:RRf是环同态满射，

baf)(

，那么下列错误的结论为（）

A、若a是零元，则

b

是零元；B、若a是单位元，则

b

是单位元；

C、若a不是零因子，则

b

不是零因子；D、若

2

R是不交换的，则

1

R不交换。

答案：C

19、下列正确的命题是（）

A、欧氏环一定是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏环；

C、唯一分解环必是主理想环；D、唯一分解环必是欧氏环。

答案：A

20、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）

A、FIIEIE:::；B、IEFIEF:::；

C、IFFEFI:::；D、FIIEFE:::

答案：D

二、填空题

1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（）。

答案：传递性

2、设A,B都为有限集，且

,,nBmA

则

BA

（）.

答：mn

3．设

R

是集合A＝｛平面上所有直线｝上的关系：

121

lRll

∥2

l

或21

ll

（

All

21

,

），则

R

（）等价关系。

答：是

4、设群G中的元素

a

的阶为m，则

ean

的充要条件是（）。

答：

nm

5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（）。

答：

,,Hba

有

Hab1

6、

n

次对称群n

S

的阶是（）。

答：

!n

7、设

G

是有限群，

H

是

G

的子群，且

H

在

G

中的指数为

n

，则

G

（）。

答：

Hn

8、设G是一个群,e是G的单位元，若

,Ga

且a=a,则（）

答：a=e

9、最小的数域是（）。

答：有理数域

10、设集合A=｛1,2｝,则A×A=（）,2A＝（）。

答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝

11、设

f

是A的一个变换，

AS

，则

Sff1

（）

Sff1

。

答：



12、设21

,RR

是集合A上的等价关系，21

RR

（）等价关系。

答：是

13、若群G中每一个元素

x

都适合方程

exn

，则

G

是（）群。

答：交换群

14、

n

阶群

G

是循环群的充要条件是（）。

答：

G

中存在

n

阶的元素

15、设1

,GG

是有限循环群，

,,

1

nGmG

则1

G

是

G

的同态象的充要条件是

（

mn

）。

答：

mn

16、如果环R的乘法满足交换律，即

,abR

，有

abba

，则称R为（）环

答：交换环

17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。

答：数环

18、设有限域F的阶为81，则的特征p（）。

答：3

19、已知群

G

中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于（）。

答：25

20、一个有单位元的无零因子（）称为整环。

答：交换环

21、如果710002601a是一个国际标准书号，那么a（）。

答：6

22.剩余类加群Z

12

有（）个生成元.

答：6

23、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是（）

答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数）

24、6阶循环群有（）个子群.

答：3

26、模8的剩余类环Z

8

的子环有（）个.

答：6

27、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB（）。

答：1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1

28、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1（）。

答：

a

29、设集合A有一个分类，其中

i

A与

j

A是A的两个类，如果

ji

AA，那么



ji

AA（）。

答：

31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。

答：变换群

32、给出一个5-循环置换

)31425(，那么

1（）。

答：13524

33、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为

（）。

答：Ryxayx

iiii

,,

34、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么

I

R

是一个域当且

仅当I是（）。

答：一个最大理想

35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（）。

答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子

36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）。

答：E的每一个元都是F上的一个代数元

三、判断题

1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（×）

2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（×）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。

（√）

4、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（√）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（×）

6、群

G

的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（√）

7、如果环R的阶2，那么R的单位元

01

。（√）

8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（√）

9、

)(xF

中满足条件

0)(p

的多项式叫做元



在域F上的极小多项式。

（×）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与p

Z

同构的子域，这里Z是整

数环，p是由素数p生成的主理想。（×）

四、解答题

1、A={数学系的全体学生}，规定关系R：

同在一个班级与baaRbAba,,

，证明R是A的一个等价关系。

答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级

对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级

传递性：若a与b同在一个班级,b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班

级.

2、在R中的代数运算



是否满足结合率和交换率？

（等式右边指的是普通数的运算）

答：因为对于

Rcba,,

，有

cabbacba

cabbacabba

abcbcaccabba

，

bccbacbabccbabccba

abcbcaccabba

根据实数的加法与乘法的运算率得

cbacba

。

又

abbaababbaba

。

abbaba

所以，R的代数运算



既满足结合率，又满足交换率。

3、设集合

,,,,,,AabcdBcde

，求

,,,()()ABABABABBA

。

答案：

,,,,,,,ABcdABabcde

,,()(),,ABabABBAabe

4、设

132,123,23,13,12,1

3

SG

，

12,1H

，求

G

关于子群

H

的

左陪集分解。

答：

HHH)12(1

，

123,13)123(13HH

，

132,23)132(23HH

。

因而，

G

关于子群

H

的左陪集分解为

HHHG)23(13

。

5、设半群

,S

既有左单位元

e

，又有右单位元

f

，证明

fe

，而且是

S

的唯一

单位元。

答：证明

eef

（因

f

是右单位元），

fef

（因

e

是左单位元），得

fe

；

若

S

还有单位元1

e

，则11

eeee

，故

e

是

S

的唯一单位元。

6、对于下面给出的Z到Z的映射

,,fgh

:3,

:31,

:32;

fxx

gxx

hxx





计算

,,,,fggfghhgfgh

。

答案：

:93,:91,

:97;:95,

:2721.

fgxxgfxx

ghxxhgxx

fghxx







7、设

H

是

G

的不变子群，则

Ga

，有

HaHa1。

答：因

H

是

G

的不变子群，故对于

Ga

，有

HaaH

，于是

HHeaaHaHaaaHaHa1111

。

8、设0是环

R

的零元，则对于

Ra

，

000aa

。

答：因为

Ra

，有

aaaa00)00(0

，

由于R关于加法作成群，即R对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去

a0

，

得

00a

。同理可得

00a

。

9、如果半群

G

有一个左单位元

e

，并且对于

Ga

，存在左逆元

Ga1，使得

eaa1，则

G

是一个群。

答：

Ga

，由条件知，有左逆元

Ga1，使得

eaa1，而对于1a

在

G

中也

存在左逆元'a

，使得

eaa1'，则有

eaaeaaaaaaaaaaaaeaa1'1'11'11'11))((

所以，

a

的左逆元1a

也是

a

的右逆元，即

a

在

G

中有逆元1a

，

又由于

aeaaaaaaaae11

，知

e

是

G

的单位元。故

G

是一个群。

10、证明

R

为无零因子环的充分必要条件是在环

R

中关于乘法左消去律成立。

答：设环

R

没有左零因子，如果有

acab

，则有

0)(cbaacab

，

当

0a

时，由于

R

没有左零因子，得

0cb

，即

cb

，

R

中关于乘法左消去

律成立。

反之，若在

R

中关于乘法左消去律成立，如果

0a

，有

0ab

，即

00aba

，左消去

a

得

0b

，即

R

中非零元均不是左零因子，故

R

为

无零因子。

11、若21

,II

是

R

的两个理想，则



22112121

,IxIxxxII

也是

R

的一个理想。

答：

RrIIyx,,

21，则有

2121

,yyyxxx

，

),;,(

222111

IyxIyx

，从而

212211

)()(IIyxyxyx

；

212121

)(IIrxrxxxrrx

；

212121

)(IIrxrxrxxxr

。

所以，21

II

是

R

的一个理想。

12、设

)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(

3

SG

,

)}12(),1{(H

,则H是G的一个子

群，写出G关于H的所有左陪集的分解.

答案：

HHH)12()1(

,

HH)123()}123(),13{()13(

,

HH)132()}132(),23{()23(

,

因而，G关于H的左陪集的分解为.

HHHG)23()13(

13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率？

2bba

答：取

,3,2,1cba

则

933232122

，

8193132122

又

1112,422122

。

所以，Q的代数运算



既不满足结合率，又不满足交换率。

14、设

132,123,23,13,12,1

3

SG

，

12,1H

，求

G

关于子群

H

的

右陪集分解。

答：

12,1)12(1HH

，

132,13)132(13HH

，

123,23)123(23HH

。

因而，

G

关于子群

H

的右陪集分解为

)23(13HHHG

。

15、设

S

是有单位元

e

的半群，

Sa

，若

a

有左逆元1

a

，又有右逆元2

a

，则

a

是

可逆元，且21

aa

是

a

的唯一的逆元。

答：证明由条件知，

,,

21

eaaeaa

则有

,

11212122

aeaaaaaaaeaa

若

cb,

都是

a

的逆元，同理有

ceccbaacbbeb

故

a

有唯一的逆元。

16、设

R

是环，则

Rba,

，有

)()()(abbaba

。

答：由

00)()(bbaaabba

，得

baab)()(

，

同理，由

00)()(abbaabba

，得

)()(baab

。

17、设

H

是

G

的子群，若对于

Ga

，

Hh

，有

Haha1，则

H

是

G

的不

变子群。

答：任取定

Ga

，对于

aHah

，由于

Haha1，则存在

Hh

1，使得

HaaHHaahahhaha

11

1

；

Haha

，由于

Hahaaha1111)(

，故存在

Hh

2，使得

aHHaaHahhahhaa

22

1

。

因此，对于

Ga

，有

HaaH

。故

H

是

G

的不变子群。

18、如果

G

是半群，则

G

是群的充分必要条件是：

Gba,

，方程

bax

和

bya

在

G

中有解。

答：必要性。因

G

是群，则

Ga

在

G

中有逆元1a

，则

Gbaba11,

，分别代

入方程

bax

和

bya

，有

bebbaabaa11

，

bbeaababa11

，

即

11,baba

分别为方程

bax

和

bya

的解。

充分性。因

G

是半群，则是非空集合，取定

Ga

，则方程

aya

在

G

中有解

e

，

即存在

G

中的元素

e

，使得

aea

。

下证

e

是

G

的左单位元。

Gba,

，方程

bax

和在

G

中有解

c

，即

bac

，

于是

bacceaaceeb

，则

e

是

G

的一个左单位元。

又

Ga

，方程

eya

在

G

中有解'a

，即

eaa'，得'a

是

a

的一个左逆元。从而

得

G

中的每一个元素

a

都有左逆元。故

G

是群。

19、证明

R

为无零因子环的充分必要条件是在环

R

中关于乘法右消去律成立。

答：设环

R

没有左零因子，则也无右左零因子。于是由

caba

，得

acbcaba)(

，

当

0a

时，由于

R

没有右零因子，得

0cb

，即

cb

，

R

中关于乘法右消去

律成立。

反之，若在

R

中关于乘法右消去律成立，如果

0a

，有

0ba

，即

aab00

，右消去

a

得

0b

，即

R

中非零元均不是右零因子，故

R

为

无零因子。

20、设

R

为交换环，

Ra

，

0axRxI

a，证明：a

I

是

R

的理想。

答：（1）a

Iba,

，则

0,0bxax

，从而

0bxax

，

0)(xba

即a

Iba

。

（2）

RrIa

a

,

，有

0ax

，由于

R

为交换环，从而

000raxrrrax

，

即a

Iraar,

。

因此a

I

是

R

的理想。

21、

G

=（z，+），对

G

规定结合法“”

2abab

证明

(,)G

是一个群。

证明：

""

为G的一个二元运算显然，设

,,abc

是G中任意三个元，

()(2)(2)2abcabcabc

=

(2)2(2)()abcabcabc

。G中结合法

""

满足结合律。

又，易知2是

(,)G

的单位元。

aG

，直接验算得

4a

是

a

在

(,)G

中的逆元。

所以

(,)G

是一个群。

22、设G是非Abel群，证明存在非单位元a,b，a≠b使ab=ba。

证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）

不等。由于G是非Abel群，必有阶数大于2的元素a，因而a≠a-1，取b=a-1，

则ab=ba。

23、设H≤G，a,b∈G，证明以下命题等价：

（1）a-1b∈H,(2)b∈aH,(3)aH=bH,(4)aH∩bH≠Ø。

证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。

（1）=>（2）：a-1b∈H=>a-1b=h=>b=ah=>b∈aH。

（2）=>（3）：b∈aH=>bh∈aH=>bH属于aH，另一方面，

b∈aH=>b=ah=>a=bh-1=>aH属于bH，综上得aH=bH。

（3）=>（4）：aH=bH显然有aH∩bH≠Ø。

（4）=>（1）：aH∩bH≠Ø=>存在h

1

,h

2

∈H使ah

1

=bh

2

=>a-1b=h

1

h

2

-1=>a-1b

∈H。

24、叙述群的定义。

答：封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。

25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。

答：加群Zn与Z。

26、整数环的商域（分式域）是什么域？

答：有理数域。

27、证明有理数域不包含真子域。

答案：有理数域Q的任何子域F一定含单位元1，因此F包含整数环Z，而一个

域含整数环Z则必含Z的分式域Q，因此F=Q