二面角的平面角

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O

A

B

O

A

B

l

寻找二面角的平面角的方法

二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们

并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．

我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．

1.1二面角的相关概念

新教材]1[在二面角中给出的定义如下：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的

平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：

二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平

面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角.

2.二面角的求解方法

对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角

形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：

一、“找”：找出图形中二面角，假设不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角

二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角

三、“算”：计算出该平面角

由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结

论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介

绍.

2.1定位二面角的平面角，求解二面角

二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定

位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展

平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.

一、根据平面角的定义找出二面角的平面角

例1在60

的二面角

--a

的两个面内，分别有

A

和

B

两点．已知

A

和

B

到棱的距离分别为2和4，且

线段

10AB

，试求：

〔1〕直线

AB

与棱

a

所构成的角的正弦值；

〔2〕直线

AB

与平面



所构成的角的正弦值．

分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60

角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也

就解决了一半．

根据题意，在平面



内作

aAD

；在平面



内作

BE

，

EBCD//

，连结

BC

、

AC

．可以证明

aCD

，则由二面角的平面角的定义，可知

ADC

为二面角

--a





图1

第2页共15页

的平面角．以下求解略．

例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为.

例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC

中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：

EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起

到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连

接A1B、A1P.

(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值

tan∠COC

1

=2

分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称

和谐性.假设取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△

PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A

1

Q=A

1

F.作FM⊥A

1

P于M，连接QH、QF，则易得△A

1

QP≌△A

1

FP，

△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A

1

P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设

正三角形的边长为3，依次可求得A

1

P=5，QM=FM=

5

52

，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=

8

7

。

2011广东高考理18.(本小题总分值13分)

如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，

且∠DAB=60



，

2PAPD

,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：AD



平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.

解：(2)由〔1〕知PGB为二面角PADB的平面角，

在RtPGA中，

2

22

17

2()

24

PG；在RtBGA中，

222

13

1()

24

BG；

在PGB中，

22221

cos

27

PGBGPB

PGB

PGBG







.

例2在如图3所示的三棱锥P-ABC中，

AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面角P-BC-A的大小.

解：作BC中点D，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,

又有面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.P-BC-A的平面角.而

AB=2,BC=22,易知AD=PD=2,在RT∆PAD中，

2

1

2

cos

222









ADPD

PAADPD

PDA

所以二面角P-BC-A的大小为60.

M

A

F

A1

Q

P

B

C

E

C

B

P

E

F

图2(2)

图2(1)

Q

G

P

A

Ｓ

B

Ｓ

C

Ｓ

D

Ｓ

F

E

P

B

A

D

C

图3

第3页共15页

图4

B1

A





A1

B

l

E

F

二、根据三垂线定理找出二面角的平面角

此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角

l

，过面



内一点P作PA⊥



于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB

⊥l，则∠PBA为二面角

l

的平面角，故称此法为三垂线法.

例2如图，在平面



内有一条直线

AC

与平面



成30

，

AC

与棱

BD

成45

，求平面



与平面



的二

面角的大小．

分析：找二面角的平面角，可过

A

作

BDAF

；

AE

平面



，连结

FE

．由三垂

线定理可证

EFBD

，则

AFE

为二面角的平面角．

总结：〔1〕如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连

结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．

〔2〕在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作

BDAF

”、“连结

EF

”、

“证明

BDEF

”．

例3(2006年陕西试题)如图4，平面



⊥平面，



∩=l，A∈



，B∈，点A在

直线l上的射影为A

1

，点B在l的射影为B

1

，已知AB=2，AA

1

=1，BB

1

=2，求：

(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A

1

－AB－B

1

的大小.

分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察

能力反映的是思维的深刻性.

作A

1

E⊥AB

1

于AB

1

于E，则可证A

1

E⊥平面AB

1

B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A

1

F，则得A

1

F⊥AB，

∴∠A

1

FE就是所求二面角的平面角.

依次可求得AB

1

=B

1

B=2，A

1

B=3，A

1

E=

2

2

，A

1

F=

2

3

，则在Rt△A

1

EF中，sin∠A

1

FE=

A

1

E

A

1

F

=

6

3

例2．(2009山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA

1

=2,E、E

1

、F分别是棱AD、AA

1

、AB的中点。

（1）证明：直线EE

1

//平面FCC

1

；

（2）求二面角B-FC

1

-C的余弦值。

证〔1〕略

解〔2〕因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,

△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱

ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,CC

1

⊥平面ABCD,所以CC

1

⊥BO,所以OB⊥平

面CC

1

F,过O在平面CC

1

F内作OP⊥C

1

F,垂足为P,连接BP,则∠OPB

A

图3





P

B

l

E

AB

C

F

E

1

A

1B

1

C

1

D

1

D

F

1

O

P

E

AB

C

F

E

1

A

1B

1

C

1

D

1

D

第4页共15页

为二面角B-FC

1

-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中,3OB,在Rt△CC

1

F中,△OPF∽△CC

1

F,∵

11

OPOF

CCCF

∴

22

12

2

2

22

OP



,在Rt△OPF

中,22

114

3

22

BPOPOB

,

2

7

2

cos

7

14

2

OP

OPB

BP

,所以二

面角B-FC

1

-C的余弦值为

7

7

.

练习2〔2008天津〕如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形．

已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．

〔Ⅰ〕证明AD平面PAB；

〔Ⅱ〕求异面直线PC与AD所成的角的大小；

〔Ⅲ〕求二面角ABDP的大小．

分析：此题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，

点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成

三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。〔答案：二面角ABDP的大小为

4

39

arctan〕

例3在正方体

1111

DCBAABCD中，

1

O为面

1111

DCBA中心，求二面角

111

DACO的大小.

解：在正方体

1111

DCBAABCD中

1111

CADB,且

1111

DBCA,

11

DB

面

1111

DCBA,故

11

DB

1

AC，

1111

CADB

又

111

,ACCA面

11

AAC,可知

11

DB

11

AAC

过

1

D作

11

ACMD于M，连接MO

1

则由三垂线〔逆〕定理可知

11

MOD为二面角

111

DACO的平面角.不妨令2

1

AA，

于是，有6

3

2

1

MD,2

1

OO,

3

6

1

MO，可得

2

1

cos

1

1

11



MD

MO

MOD

所以二面角

111

DACO的大小为60

三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的

两条交线所构成的角，即为二面角的平面角

1

A

1

D

1

C

1

B

A

D

C

B

1

O

M

图5

第5页共15页

例3如图1，已知

P

为

--CD

内的一点，

PA

于

A

点，

PB

于

B

点，如果nAPB

，试

求二面角

--CD

的平面角．分析：







CD

CDPBPB

CDPAPA





平面

PAB

．

因此只要把平面

PAB

与平面



、



的交线画出来即可．证明

AEB

为

--CD

的平面角，

nAEB180

〔如图2〕．

注意：这种类型的题，如果过

A

作

CDAE

，垂足为

E

，连结

EB

，我们还必须证明

CDEB

，及

AEBP

为

平面图形，这样做起来比较麻烦．

例4已知斜三棱柱111

-CBAABC

中，平面1

AB

与平面1

AC

构成的二面角的平面角为30

，平面1

AB

与平

面1

BC

构成的二面角为70

．试求平面1

AC

与平面1

BC

构成的二面角的大小．

分析：作三棱柱的直截面，可得△

DEF

，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两

两构成的二面角的平面角．

总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别

为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．

例4空间的点P到二面角l的面



、及棱l的距离分别

为4、3、

3

392

，求二面角l的大小.

分析与略解：如图5，分别作PA⊥



于A，PB⊥于B，则易知

l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.

分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=

3

392

，PA=4，PB=3，则AC=

3

32

，BC=

3

35

.

因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角l的大小为.

分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，

则可解得cos=

2

1

，=120o，二面角l的大小为120o.

例5如图7,在正三棱柱

111

CBAABC中,截面ECA

1

侧面

1

AC,假

设

111

BAAA,求平面ECA

1

与平面

111

CBA所成二面角〔锐角〕的大小.

解:设GACCA

11

.因为面GCA

11

与面

1

AC重合,由题意面

P

图5





l

C

B

A

1

A

1

C

1

B

A

C

G

E

B

图7

第6页共15页

GCA

11

面ECA

1

，而

1

A为面ECA

1

与面

111

CBA相交于棱上一点且GCAA

111

面，所以面GCA

11

为所求二面角

的一垂面，

11

CGA为所求二面角的平面角.

在正三棱柱

111

CBAABC中,

111

BAAA,可知45

11

CGA

故所求二面角的大小为45.

四、平移平面法〔无棱的一种〕

例5如图，正方体1111

-DCBAABCD

中，

E

为1

AA

的中点，

H

为1

CC

上的点，且

21

1

：：HCCH

．设

正方体的棱长为

a

，求平面

EHD

1与底面1111

DCBA

构成的锐角的正切．

分析：此题中，仅仅知道二面角棱上的一点1

D

，在这种情况下，寻找二面角

的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果

能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面

角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．

如图，过点

E

作11

//DAEM

与

DD

1相交于

M

点，过

M

点作11

DCMN

，与

HD

1相交于

N

点．可证平面

//EMN

平面1111

DCBA

．这样，求平面

EHD

1与平面1111

DCBA

的二面角的平面角就转化

为求平面

EHD

1与平面

EMN

的二面角的平面角．显然

EN

为这两个平面的交线，过点

M

作

ENMF

，

F

为垂足，连结

FD

1，可证

ENFD

1．则

FMD

1



为此题要寻找的二

面角．

例6〔此题关键在利用平移棱的垂线进行解题〕

在正三棱柱

111

CBAABC中,D是AC的中点，

11

BCAB,求二面角CBCD

1

的大小.

解:作EBCAE于且交BD于F,则AE平面CCBB

11

，

连接EB

1

,BC

1

，并记它们的交点为O连接OF，由

FA

EF

CB

BE

OB

OE



111

，知ABOF

1

//.

由

11

BCAB知OF

1

BC,OE

1

BC，而BEOCBCEBB90

11

,RT∆EBB

1

∼RT∆

1

BCC,

因此

BB

BE

CC

BE

BC

BB

11

1

故有

2

2

2

1

BC

BEBCBB

1

A

1

C

1

B

A

O

C

B

F

D

E

图8

第7页共15页

22

2

22

1

2

14

3

)

2

(

2

BC

BCBC

BEBBEB可得45

1

AEBEOF

故二面角CBCD

1

的大小为45.

例7在棱长为1的正方体

1111

DCBAABCD中，E是BC

的中点，试求面EDB

1

与平面

11

AABB所成二面角的大小.

解:取

11

DA中点F，连FD,FB;

取AD中点K连接A₁K,BK,A₁B.显然,DE₁BF为平行四边形.因为

A₁K//FD,KB//DE,知平面A₁KB//平面DEB₁F。

取A₁B中点O,连接OK,OA,

由A₁K=BK,A₁A=BA知，

OKA₁B,OAA₁B故∠AOK为二面角的平面角.

4

3

,

2

1

22222OBBKOKOBOA

可得

3

6

cosAOK

故平面EDB

1

与平面

11

AABB所成二面角的大小为

3

6

arccos.

五、找垂面，作垂线

例6如图，正方体1111

-DCBAABCD

中，

M

为棱

AD

的中点，求平面

CBCB

11和平面

MBC

1所构成的锐二面角的正切．

分析：平面

AC

与二面角

CBCM--

1的一个面

CB

1垂直，与另一个平面

1

CMB

相交，过

M

点作

BCMP

，垂足为

P

，过

P

作

BCPN

，交1

CB

于

N

点，连结

MN

，由三垂线定理可

证1

BCMN

，则

MNP

为二面角

CBCM--

1的平面角．

总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直

平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．

再如图，要找

--a

所构成的二面角的平面角，可找平面



，且

b

，

l

，过

b

上任何一

点

A

作

lAB

，垂足为

B

，过

B

作

BC

，垂足为

C

，连结

AC

，可证

ACB

为

--a

的平面角．

六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角

1．三线合一

1

A1

D

1

C

1

B

A

D

C

B

K

图9

E

F

O

第8页共15页

例7如图，空间四边形

ABCD

中，

3ADAB

，

4CDBC

，

2BD

，

5AC

．试求

CBDA--

二面角的余弦值．

分析：如图1，

ADAB

，

CDBC

，则△

ABD

和△

BDC

为等腰三角形．过

A

作

BDAE

，垂足为

E

，

连结

CE

．根据三线合一，且

E

为

BD

中点，可证

BDCE

，则

AEC

为二面角

CBDA--

的平面角．

2．全等三角形

例8如图，已知空间四边形

ABCD

，

6BCAB

，

4DCAD

，

8BD

，

6AC

．试求

CBDA--

的余弦值．

分析：过

A

作

BDAE

，垂足为

E

，连结

CE

．根据已知条件，△

AED

和

△

CED

全等，可证

BDCE

，则

AEC

为二面角

CBDA--

的平面角．

3．二面角的棱蜕化成一点

例9如图，四棱锥

BCEDA-

中，

DB

和

EC

与面

ABC

垂直，△

ABC

为正三角形．

〔1〕假设

BDECBC

时，求面

ADE

与面

ABC

的夹角；

〔2〕假设

BDECBC2

时，求面

ADE

与面

ABC

的夹角．

分析：如图，面

ADE

与面

ABC

的交线蜕化成一点，但面

ADE

与面

ABC

与面

DC

相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：〔1〕交线为一点；

〔2〕一条交线；〔3〕三条交线互相平行．在图1中，两条交线

BC

与

DE

互相平行，所以肯定有过

A

且平行于

DE

的一条交线．

可过

A

作

DEAM//

，平面

ADE

与平面

ABC

的交线即为

AM

．过

A

作

DEAN

于

N

，过

A

作

BCAF

于

F

．可证

AMAN

，

AMAF

，则

NAF

为面

ADE

与面

ABC

的夹角．

如图，

DE

与

CB

不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长

ED

、

CB

相交于

G

点，连结

AG

．

AG

即为平面

ADE

与平面

ABC

的交线，通过一些

关系可证

CAE

为平面

ADE

与平面

ABC

的夹角．

通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤

动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问

第9页共15页



D

A

M

图6

E

C

B

C

1

A

1

B1

H

G

题就会迎刃而解．

七、面积法〔不作二面角求法〕

如图1，设二面角C-BD-C

1

的大小为，则在Rt△COC

1

中，cos

BDC

CBD

S

S

BDOC

BDCO

OC

CO

1

1

1

2

1

2

1









，在某些情

况下用此法特别方便.

例5如图6，平面外的△A

1

B

1

C

1

在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA

1

=2，

BB

1

=3，CC

1

=4，求△A

1

B

1

C

1

所在的平面与平面所成锐二面角的大小.

分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB

1

、CC

1

取

BD=CE=AA

1

，

则△A

1

B

1

C

1

≌△A

1

DE，可求得A

1

B=2，A

1

C

1

=5，B

1

C

1

=2，所以等腰△

A

1

B

1

C

1

的面积为

4

15

，又正△ABC的面积为

4

3

.设所求二面角的大小为，则cos=

5

5

例4．〔2008北京理〕如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，

APBPAB，PCAC．

〔Ⅰ〕求证：PCAB；

〔Ⅱ〕求二面角BAPC的大小；

分析：此题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一

对原图形与射影图形并分别求出S原与S射

于是得到下面解法。

解：〔Ⅰ〕证略

〔Ⅱ〕ACBC，APBP，APCBPC△≌△．

又PCAC，PCBC．

又90ACB，即ACBC，且ACPCC，

BC平面PAC．

取AP中点E．连结BECE，．

ABBP，BEAP．

EC是BE在平面PAC内的射影，

CEAP．

∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，

于是可求得：2222CBACAPBPAB，622AEABBE，2ECAE则

122

2

1

2

1

••



CEAESS

ACE

射

，

362

2

1

2

1

••



EBAESS

ABE

原

设二面角BAPC的大小为，则

3

3

3

1

cos

原

射

S

S



A

C

B

E

P

A

1

D

1

B

1

C

1

E

D

B

C

A

图5

第10页共15页

∴二面角BAPC的大小为

3

3

arccos

练习4：如图5，E为正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的棱CC

1

的中点，求平面AB

1

E和底面A

1

B

1

C

1

D

1

所成锐角的

余弦值.

分析平面AB

1

E与底面A

1

B

1

C

1

D

1

交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平

面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB

1

E在平面A

1

B

1

C

1

D

1

上的射影是三角形A

1

B

1

C

1

，从而求得

两个三角形的面积即可求得二面角的大小。

〔答案：所求二面角的余弦值为cosθ=

3

2

〕.

例10求正四面体任意两个面所成二面角的大小.

解:如图13，正四面体S-ABC,由正四面体的对称性,不妨求侧面与底面

所成二面角的大小.易知

SBCSABSABABC

SSSS





而S的射影为

ABC

的中心，所以

COABOCAOB

SSS





于是有

3

1

S

´

cos













SCASBCSAB

ABC

SBC

BOC

SSS

S

S

S

S



故正四面体任意两面所成二面角的大小为

3

1

arccos.

例11如图14,在正方体

1111

DCBAABCD中,E为CC₁中点，F在

BB₁上,且BF=

3

1

BB₁,求平面A₁EF在底面ABCD所成二面角的余弦值.

解:如图14所示，在正方体

1111

DCBAABCD中，

ACBABCDEFA内的射影为在底面

1

.

由射影面积公式知

53

536'

cos

1







EFA

ABC

S

S

S

S

故所求二面角的余弦

值为

53

536

.

八、将无棱二面角转化为有棱二面角

直接作出无棱二面角的棱，将无棱二面角转化为有棱二面角，按有棱二面角来处理，作棱有两种常用的方法：

①作交线，由交点得棱；②作平行线，即为棱.

例3〔2008湖南〕如下图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA

⊥底面ABCD，PA＝2.

〔Ⅰ〕证明：平面PBE⊥平面PAB;

1

A

1

D

1

C

1

B

A

D

C

B

E

图14

F

图13

C

B

A

O

S

第11页共15页

〔Ⅱ〕求平面PAD和平面PBE所成二面角〔锐角〕的大小.

分析：此题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整〔延长AD、BE相交于点F，连结PF.〕

再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。〔Ⅰ〕证略

解:〔Ⅱ〕延长AD、BE相交于点F，连结PF.

过点A作AH⊥PB于H，由〔Ⅰ〕知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.

则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角〔锐

角〕.

在等腰Rt△PAF中，

2

2.

2

AGPA

在Rt△PAB中，

22

225

.

5

5

APABAPAB

AH

PB

APAB





所以，在Rt△AHG中，

25

10

5

sin.

5

2

AH

AGH

AG



故平面PAD和平面PBE所成二面角〔锐角〕的大小是

10

arcsin.

5

练习3已知斜三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，

侧面BCC

1

B

1

⊥底面ABC。

〔1〕求证：AC

1

⊥BC；

〔2〕求平面AB

1

C

1

与平面ABC所成的二面角〔锐角〕的大小。

提示：此题需要补棱，可过A点作CB的平行线L

〔答案：所成的二面角为45O〕

如图11中只现出两个局部半平面的一个公共点P，图中没有给出二面角的棱.

此时,假设在二面角的两个半平面内各存在一条直线且相互平行,则过P分别作这两条直线的垂线PQ和PR,则∠QPR

就是二面角的平面角.

例9如图12,P-ABCD为正四棱锥，边长为

a

,求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.

解:如图，过P点作ABl//,则PABl面.

故在P-ABCD中有CDlABl//,//.

所以,

lPABPCDDl面知面面,PC

.

作AB中点E,CD中点F.连接PE,PF.易知PEAB,PEl,又

PFCD,PFl,可知∠EPF为所求二面角的平面角.

由条件PE=PF=

aEFa,

2

3

，得到

6

1

2

cos

222









PFPE

EFPFPE

EPF

A

B

C

E

D

P

F

G

H

A

C

B

B

1

C

1

A

1

L

l

F

E

图12

D

C

AB

第12页共15页

故平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为

6

1

.

九、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，

用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表

示的向量，进行向量计算解题。

假设二面角l两个半平面,的法向量分别为



21

,nn且知道二面角l为锐角〔钝角〕，则

的平面角二面角其中





















l

nn

nn

nn

nn

为),cos(cos

21

21

21

21.

定理1设二面角l为，

FlBFElAElBBlAA于于，;,,,，则，有











FBEA

FBEA

cos

文]5[给出另一结论：

定理2如图19，空间任一条直线L,A,B是直线L上的两个点，M是空间任一点,MNL于N,则













AB

AB

ABAM

AMNM

2

利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，防止产生

二面角的

平面角与其法向量夹角的误判，同时又防止了对垂足M,N坐标的判断.

例14]5[如图20,已知正方形ABCD和矩形ACEF坐在平面相垂直，

1,2AFAB

,M是线段EF中点，求二面角A-DF-B的大小.

解:如图建立空间直角坐标系

xyzC，则),0,2,0(),0,2,2(BA





l

E

A

F

图18

B

y

A

x

z

L

M

B

图19

y

A

x

z

M

D

C

B

图20

E

F

N

第13页共15页

)1,2,2(),0,0,2(FD.

作AMDF于M,BNDF的延长线于N,则



NBMA与所成的角的大小与二面角A-DF-B的大小相等.

)

3

2

,

3

2

,0(

2















DF

DF

DFDA

DADMDAMA

)

3

2

,

3

2

,2(

2















DF

DF

DFDB

DBDNDBMANB

2

1

cos









NBMA

NBMA



故二面角A-DF-B的大小为60.

例12如图15,在矩形ABCD外存在一点P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.

解:由题意建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,0)P(0,0,1)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)，设面PAC的法向量

为),,(

1111

zyxn



,面PCD的法向量),,(

2222

zyxn



则有由















0

0

1

1

PCn

PBn

)1,0,1(

1





n

及)2,1,0(

0

0

2

2

2















n

PCn

PDn

得

5

10

cos

21

21











nn

nn



注意到B-PC-D为钝角，故B-PC-D的大小为

5

10

arccos.

例4：〔2009天津卷理〕如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，

AF=AB=BC=FE=

1

2

AD

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(II)证明平面AMD平面CDE；

求二面角A-CD-E的余弦值。

现在我们用向量法解答：如下图，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设

，1AB依题意得，，，001B，，，011C，，，020D，，，110E，，，100F

y

A

x

z

P

D

C

B

图15

第14页共15页

.

2

1

1

2

1

M













，，

〔I〕，，，解：101BF，，，110DE

.

2

1

22

100

DEBF

DEBF

DEcos

•





•

，于是BF

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.

〔II〕证明：，，，由















2

1

1

2

1

AM，，，101CE0AMCE020AD•，可得，，，

.CE.0ADCE平面，故又，因此，•

.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而

〔III〕











•

•



.0D

0

)(CDE

Eu

CEu

zyxu

，

，则，，的法向量为解：设平面

.111(1

.0

0

），，，可得令

，

于是











ux

zy

zx

又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，，v

练习5、〔2008湖北〕如图，在直三棱柱

111

ABCABC中，平面ABC侧面

11

AABB.

〔Ⅰ〕求证：ABBC；

〔Ⅱ〕假设直线AC与平面

1

ABC所成的角为,二面角

1

ABCA的大小为，

试判断与的大小关系，并予以证明.

分析：由已知条件可知：平面ABB

1

A

1

⊥平面BCC

1

B

1

⊥平面ABC于是很容易想到

以B点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求

出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

〔答案：

22

arcsin

ca

a





，且

2222

,

aca

bacac

＜〕

总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技

巧，考生可选择使用。

十、其他〔有关二面角的最值问题等〕

求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.

例6二面角



-l-的大小是变量)

2

0(



，点B、C在l

上，A、D分别在面



、内，且AD⊥BC，AD与面成

6



角，假设

△ABC的面积为定值S，求△BCD面积Q的最大值.

图7



E

D

C

B

A

l



第15页共15页

分析与略解：如图9，作AE⊥BC于E，连DE，则由AD⊥BC得

BC⊥平面ADE，则DE⊥BC，∠AED=，∠ADE=

6



.

在△AED中，由正弦定理得

6

sin

)

6

sin(









AE

DE

，所以)

6

sin(2,

6

sin

)

6

sin(















SQ

S

Q

，

则当

3



时，有Q

max

=2S.

△BCD和△ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发

挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.