求矩阵的秩

第五节：矩阵的秩及其求法之青柳念文创作

一、矩阵秩的概念

1.k阶子式

定义1设在A中任取k行k列交叉处元

素按原相对位置组成的

阶行列式，称为A的一个k阶子式.

例如共有个二阶子式，有个三阶子式

矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的

二阶子式为而

为A的一个三阶子式.显然，矩阵A共有个

k阶子式.

2.矩阵的秩

定义2设有r阶子式不为0，任何

r+1阶子式(如果存在的话)全为0,称r为矩阵A的秩，记

作R(A)或秩(A).

规定：零矩阵的秩为0.

注意：(1)如R(A)=r，则A中至少有一个r阶子

式所有r+1阶子式为0，且更高阶子式

均为0，r是A中不为零的子式的最高阶数，是唯

一的.

(2)有行列式的性质，

(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.



nm

ij

aA





),min1(nmkk

43

3

3

4

CC

101

564

321

3



D

nm



nm

ij

aA





0,

r

D

()().TRARA

(4)如果An×n,且则R(A)=n.反之，如

R(A)=n,则

因此，方阵A可逆的充分需要条件是R(A)=n.

二、矩阵秩的求法

1、子式辨别法(定义).

例1设为门路形矩阵，求

R(B).

解

由于存在一个二阶子式不为0，而任何三

阶子式全为0，则R(B)=2.

结论：门路形矩阵的秩=台阶数.

例如

一般地，行门路形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行

的行数.

例2设如果求a.

解

或

例3

则

2、用初等变换法求矩阵的秩

定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩.

即则

0,A0.A

0

20

21

























0100

1010

0321

A























00

10

21

B























100

010

011

C

125

034

000

D













21235

08153

00072

00000

E





































a

a

a

A

11

11

11

,3AR

3AR

1a2a

3AR

K3

BA)()(BRAR

注：只改变子行列式的符号.

是A中对应子式的k倍.

是行列式运算的性质.

求矩阵A的秩方法：

1）操纵初等行变换化矩阵A为门路形矩阵B

2）数门路形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩.

例4求

解

R(A)=2

例5

三、满秩矩阵

定义3A为n阶方阵时，

称A是满秩阵，（非奇异矩阵）

称A是降秩阵，（奇异矩阵）

可见：

对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据

初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一

个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.

定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵

使得

对于满秩矩阵A，它的行最简形是n阶单位阵E.

例如

ji

rr.1

i

rk.2

ji

krr.3

.AR





,2,

635

213

2111

，求）（且设

























ARA

,nAR

,nAR

0AnAR

EAPPPP

ss



121

,

A为满秩方阵.

关于矩阵的秩的一些重要结论：

定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}

设A是矩阵，B是矩阵，

性质1

性质2如果AB=0则

性质3如果R(A)=n,如果AB=0则B=

0.

性质4设A,B均为矩阵，则

例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n

证：∵（A+E）+（E-A）=2E

∴R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）=n

而R（E-A）=R（A-E）

∴R（A+E）+R（A-E）≥n



nm

tn

).()()(ABRnBRAR

.)()(nBRAR

nm

).()()(BRARBAR