单位向量

向量及向量的基本运算

一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算

法则，理解向量共线的充要条件.

2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数

形结合的思想方法解题的自觉意识.

二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．

三、教学过程：

（一）主要知识：

1）向量的有关概念

①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用cba







,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，

如：AB。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|。

②零向量：长度为0的向量，记为0



，其方向是任意的，0



与任意向量平行。<注意与0的区别>

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：

我们把与向量a



长度相等，方向相反的向量叫做a



的相反向量。记作-a



。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为ba





。

2）向量加法

①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设bBCaAB





,，则a



+b



=

BCAB

=

AC

。向量加法有“三角形

法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）aaa









00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

3)向量的减法

①相反向量：与a



长度相等、方向相反的向量，叫做a



的相反向量。记作a



,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）)(a



=a



；(ii)a



+(a



)=(a



)+a



=0



；

(iii)若a



、b



是互为相反向量，则a



=b



,b



=a



,a



+b



=0



。

②向量减法：向量a



加上b



的相反向量叫做a



与b



的差，记作：

)(baba









。求两个向量差的运算，

叫做向量的减法。

ba





的作图法：ba





可以表示为从b



的终点指向a



的终点的向量（a



、b



有共同起点）。

注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对

角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这

些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积

①实数λ与向量a



的积是一个向量，记作λa



，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa



；

（Ⅱ）当0时，λa



的方向与a



的方向相同；当0时，λa



的方向与a



的方向相反；当0时，0





a，

方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则

①λ(μa



)=(λμ)a



②(λ+μ)a



=λa



+μa



③λ(a



+b)=λa



+λb

5)两个向量共线定理

向量b



与非零向量a



共线有且只有一个实数，使得b



=

a





。

6)平面向量的基本定理

如果

21

,ee



是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a



，有且只有一对实数

21

,使：

2211

eea



其中不共线的向量

21

,ee



叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

7)特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

（二）主要方法：

1．充分理解向量的概念和向量的表示；

2．数形结合的方法的应用；

3．用基底向量表示任一向量唯一性；

4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全．

（三）例题分析：

例1、判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向(2)若

baba则,

(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ba





，cb





，则ca



；

(7)若ba





//，cb





//，则ca



//(8)若四边形ABCD是平行四边形,则DABCCDB,A

(9)已知A（3，7），B（5，2），将AB按向量

a

=（1，2）平移后得到的向量BA



的坐标为（3，－3）

(10）ba





的充要条件是

||||ba







且ba





//；

解：(1)不正确，零向量方向任意,(2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很

多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若

0b

，

则不共线的向量ca,也有

0//a



，

c//0

。(8)不正确,如图DABCCDB,A（9）不正确，∵

a

=

（1，2），∴平移公式是















2

1

yy

xx

，将A（3，7），B（5，2）分别代入可求得)4,6(),9,4(BA



，故BA



=（6,4）

－（4,9）=（2,－5）。

（10）不正确，当ba





//，且方向相反时，即使||||ba





，也不能得到ba





；

[点评]正确理解向量的有关概念

例2、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满

足CD＝3CN,设MNONOMbabOBaOA,,,,,表示试用

解：baOBOABABMBABCBM

6

1

6

1

6

1

,

6

1

3

1



baBMOBOM

6

5

6

1

.ODCDONCDCN

3

2

3

4

,

3

1



[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示

练习:△ABC中,.,//,

3

2

NDEBCAMEACBCDEABAD于边上中线交是于交,,bACaAB设

用ANAMDNDEBCAEba,,,,,,分别表示向量.如图

解：abDNabDEabBCbAE

3

1

,

3

2

,,

3

2

例3、一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向

划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速．

解：设AB表示垂直于对岸的速度,

BC

表示水流速度,则

AC

为实际速度

航行时间为4km÷2km/h=2h

在△ABC中

3242BCACAB

所以,河水的流速为

hkm/32

[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运

用平行四边形和三角形法则

例4、在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，用向量的方法证明：

DE平行且等于0.5BC

分析:要证明DE平行且等于0.5BC,只要BCDE

2

1



解：如图ABAcBCADAEDE,

又D,E为中点

即BCABACADAEDE

2

1

2

1



所以DE平行且等于

2

1

0.5BC

[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了

练习:已知G是△ABC的重心，求证：

0



GCGBGA

证明：以向量GCGB,为邻边作平行四边形GBEC，则

GDGEGCGB2

，又由G为△ABC的重心知

GDAG2

，从而

GDGA2

，∴

022



GDGDGCGBGA

。

例5、设

21

,ee是不共线的向量,已知向量

212121

2,3,2eeCDeeCBekeAB,若A,B,D三点共线,求

k的值

分析:使

BDAB

解：

21

4eeCBCDBD,使BDAB)4(2

2121

eeeke

得84,2kk

[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决

例3．经过OAB重心G的直线与

,OAOB

分别交于点P，

Q

，

设,OPmOAOQnOB，

,mnR

，求

11

nm



的值。

解：设,OAaOBb，则

1

()

3

OGab

，PQnbma

由

,,PGQ

共线，得

存在实数，使得PQPG，即

11

()

33

nbmamab

从而

1

()

3

1

3

mm

n























，消去得：

11

3

nm



（四）巩固练习：

1．已知梯形ABCD中，

||2||ABDC

，M，N分别是DC、AB的中点，若AB1e，

2ADe，用

1e，

2e

表示

DC

、BC、MN．

解：（1）1

1

22

e

DCAB

（2）

21

11

22

BCBAACABACADDCABADABee

（3）

12

1111

4244

MNMDDAANABADABABADee

2．（1）设两个非零向量

1

e

、

2

e

不共线，如果

121212

23,623,48ABeeBCeeCDee,求证：,,ABD

三点共线.

（2）设

1

e

、

2

e

是两个不共线的向量，已知

121212

2,3,2ABekeCBeeCDee

,若,,ABD三点

共线，求k的值.

（1）证明：因为

1212

623,48BCeeCDee

所以

12

1015BDee

又因为

12

23ABee

得5BDAB

即//BDAB

又因为公共点B

A

所以,,ABD三点共线；

（2）解：

121221

324DBCBCDeeeeee

因为,,ABD共线

所以//ABDB

设DBAB

所以

2

1

2

k















即

1

2

k；

四、小结：

1）向量的有关概念:①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量

2）向量加法减法:

3)实数与向量的积

4)两个向量共线定理

5)平面向量的基本定理,基底

五、作业：