自然对数e的值

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自然对数底数e的由来

自然对数底数e的由来2012-10-1915:25758人阅读评

论(0)收藏举报文档语言工具Word文档在这里公元前500

年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯

(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其

一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长

不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”

(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、

恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因

此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。毕

氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明

它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴

上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而

这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古

希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻

底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的?这就要从古早

时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到

这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积

分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很

可能的解释是，这个数和计算利息有关。我们都知道复利

计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是

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本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年

只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月

一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。

有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分

钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会

发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它

的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该

极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用

现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那

时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来

的，而不是用严谨的证明得到的。包罗万象的e读者恐怕

已经在想，光是计算利息，应该不至於能讲一整本书吧？当

然不，利息只是极小的一部分。令人惊讶的是，这个与计算

复利关系密切的数，居然和数学领域不同分支中的许多问题

都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上

还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同

归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲

线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什么关系，不

管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不

对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举

了一个例子而已，这本书里提到得更多。如果整本书光是

在讲数学，还说成是说故事，就未免太不好意思了。事实上

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是，作者在探讨数学的同时，穿插了许多有趣的相关故事。

比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗？是纳皮尔（John

Napier）。没有听说过？这很正常，我也是读到这本书才认识

他的。重要的是要下一个问题。你知道纳皮尔花了多少时间

来建构整个对数表吗？请注意这是发生在十六世纪末、十七

世纪初的事情，别说电脑和计算机了，根本是什么计算工具

也没有，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，而

又还不能利用对数来化乘除为加减，好简化计算。因此纳皮

尔整整花了二十年的时间建立他的对数表，简直是匪夷所思

吧！试著想像一下二十年之间，每天都在重复做同类型的繁

琐计算，这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的。但纳皮尔

熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的

欢迎，许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用，连纳皮尔也

得到了来自世界各地的赞誉。最早使用对数的人当中，包括

了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒，他利用对数，简化了行星轨

道的繁复计算。在《毛起来说e》中，还有许多我们在一般

数学课本里读不到的有趣事实。比如第一本微积分教科书是

谁写的呢？（假如你曾受微积分课程之苦，也会想知道谁是

「始作俑者」吧？」）是罗必达先生。对啦，就是罗必达法

则（L'Hospital'sRule）的那位罗必达。但是罗必达法则反倒

是约翰．伯努利先发现的。不过这无关乎剽窃的问题，他们

之间是有协议的。说到伯努利可就有故事说了，这个家族

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实在不得了，别的家族出一位天才就可以偷笑了，而他们家

族的天才是用「量产」形容。伯努利们前前后后在数学领域

中活跃了一百年，他们的诸多成就（不仅止於数学领域），

就算随便列一列，也有一本书这么厚。不过这个家族另外擅

长的一件事就不太敢恭维了，那就是吵架。自家人吵不够，

也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）。连爸爸与儿子合得

一个大奖，爸爸还非常不满意，觉得应该由自己独得，居然

气得把儿子赶出家门；和现代的许多「孝子」们比起来，这

位爸爸真该感到惭愧。e的「影响力」其实还不限於数学领

域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现

螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音

阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它

呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与

计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和

e有关，岂不奇妙？数学其实没那么难！我们每个人的成

长过程中都读过不少数学，但是在很多人心目中，数学似乎

是门无趣甚至可怕的科目。尤其到了大学的微积分，到处都

是定义、定理、公式，令人望之生畏。我们会害怕一个学科

的原因之一，是有距离感，那些微积分里的东西，好像不知

是从哪儿冒出来的，对它毫无感觉，也觉得和我毫无关系。

如果我们知道微积分是怎么演变、由谁发明的，而发明之时

还发生了些什么事（微积分是谁发明的这件事，争论了许多

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年，对数学发展产生重大的影响），发明者又是什么样的人

等等，这种距离感就应该会减少甚至消失，微积分就不再是

「陌生人」了。这是小数点后面两千位：e=2.7182818284

5947572479

6696762772459457664274

2746639292

952623286279434907531

9525841675

6847744424

371928386

838265632

274437472368190255151

4257854499

699679468644549892361

78257635825

2886939849646503625094

4306832823

764648287825017567173

6938885193

458894228792284998922

7964875619

786232353463140934317

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3883964243

781495157

4778739696552570350354

8802351930

3322474543

297253555762560798826

52466526775

3985589448969785695638

5164459486

3637243783

379985926226483262779

3338656648449982893150

5663532442586982946959

34639644791

8629849679479854667757

573229455

669842953764520304024

32256644396625322498506

54995886234281899783928

345588977727547111151

368354847287595841166

66693836450

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