三角函数的导数

一．三角函数

二．常用求导公式

三．常用积分公式

第一部分三角函数

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:商的关系：平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1

sinα/cosα＝tanα

＝cα/cscα

cosα/sinα＝cotα

＝cscα/cα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝c2α

1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sin

α

cos（－α）＝cos

α

tan（－α）＝－

tanα

cot（－α）＝－

cotα

sin（π/2－α）

＝cosα

cos（π/2－α）

＝sinα

tan（π/2－α）

＝cotα

cot（π/2－α）

＝tanα

sin（π/2＋α）

＝cosα

cos（π/2＋α）

＝－sinα

tan（π/2＋α）

＝－cotα

cot（π/2＋α）

＝－tanα

sin（π－α）

＝sinα

cos（π－α）

＝－cosα

tan（π－α）

＝－tanα

cot（π－α）

＝－cotα

sin（π＋α）

＝－sinα

cos（π＋α）

＝－cosα

tan（π＋α）

＝tanα

cot（π＋α）

＝cotα

sin（3π/2－

α）＝－cosα

cos（3π/2

－α）＝－sinα

tan（3π/2

－α）＝cotα

cot（3π/2

－α）＝tanα

sin（3π/2＋

α）＝－cosα

cos（3π/2

＋α）＝sinα

tan（3π/2

＋α）＝－cot

α

cot（3π/2

＋α）＝－tan

α

sin（2π－

α）＝－sinα

cos（2π－

α）＝cosα

tan（2π－

α）＝－tanα

cot（2π－

α）＝－cotα

sin（2kπ＋

α）＝sinα

cos（2kπ＋

α）＝cosα

tan（2kπ＋

α）＝tanα

cot（2kπ＋

α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cos

αsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cos

αsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sin

αsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sin

αsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α

－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

1

sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－

—

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－

—

22

＋sin（α－β）]

2

1

cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）

－sin（α－β）]

2

1

cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）

＋cos（α－β）]

2

1

sinα·sinβ＝－-[cos（α＋β）

－cos（α－β）]

2

化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函

数的公式)

第二部分求导公式

1．基本求导公式

⑴0)(



C（C为常数）⑵1)(

nnnxx；一般地，1)(

xx。

特别地：1)(



x，xx2)(2

，

2

1

)

1

(

x

x



，

x

x

2

1

)(

。

⑶xxee



)(；一般地，)1,0(ln)(



aaaaaxx。

⑷

x

x

1

)(ln

；一般地，)1,0(

ln

1

)(log



aa

ax

x

a

。

2．求导法则⑴四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf











；

（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf









，特别)())((xfCxCf





（C为常数）；

（Ⅲ）)0)((,

)(

)()()()(

)

)(

)(

(

2













xg

xg

xgxfxgxf

xg

xf

，特别

2

1()

()

()

()

gx

gx

gx





。

3．微分函数()yfx在点x处的微分：()dyydxfxdx





第三部分积分公式

1.常用的不定积分公式

（1）













c

x

dxx

x

dxxc

x

xdxcxdxCxdxx

4

3

,

2

,),1(

1

1

4

3

3

2

2

1





；

（2）Cxdx

x

||ln

1

；Cedxexx；)1,0(

ln

aaC

a

a

dxa

x

x；

（3）dxxfkdxxkf)()(（k为常数）

2.定积分

()()|()()b

b

a

a

fxdxFxFbFa

⑴b

a

b

a

b

a

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([

2121

⑵分部积分法

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数)(),(xvxu

，则

b

a

b

a

b

a

xduxvxvxuxdvxu)()()()()()(