已知三角形三边求面积

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已知三角形三点坐标,求三角形的面积

先介绍一下三维中的两点之间距离之式，和二维的几乎一样：d=sqrt((x0-x1)^2

+(y0-y1)^2+(z0-z1)^2)

再介绍叉乘，中心内容！叉乘在定义上有：两个向量进行叉乘得到的是一个向量，

方向垂直于这两个向量构成的平面，大小等于这两个向量组成的平行四边形的面

积。

在直角座标系[O;i,j,k]中，i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量。

设P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。因为是从原点出发，所以向量P0P1

可简记为P1，向量P0P2可简记为P2。依定义有：

|ijk|

P1×P2=|x1y1z1|

|x2y2z2|

展开，得到：

上式=iy1z2+jz1x2+kx1y2-ky1x2-jx1z2-iz1y2

=(y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k

按规定，有：单位向量的模为1。可得叉积的模为：

|P1×P2|=y1z2-y2z1+x2z1-x1z2+x1y2-x2y1

=(y1z2+x2z1+x1y2)-(y2z1+x1z2+x2y1)

开始正式内容。我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，

C(x2,y2,z2)。我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。然后，我们以A为

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原点，进行坐标平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量

C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。

①在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模为：

|B×C|=((y1-y0)*(z2-z0)+(z1-z0)*(x2-x0)+(x1-x0)*(y2-y0))-

((y2-y0)*(z1-z0)+(z2-z0)*(x1-x0)+(x2-x0)*(y1-y0))

|111|

=|x1-x0y1-y0z1-z0|

|x2-x0y2-y0z2-z0|

它的一半即为所要求的三角形面积S。

还有一种比较简单的写法。将向量AB和AC平移至原点后，设向量B为

(x1,y1,z1)，向量C为(x2,y2,z2)，则他们的叉乘所得向量P为(x,y,z)，其中：

|y1z1||z1x1||x1y1|

x=||y=||z=||

|y2z2||z2x2||x2y2|

然后用三维中的两点之间距离公式，求出(x,y,z)与(0,0,0)的距离，即为向量P

的模，它的一半就是所要求的面积了。

以上公式都很好记：x分量由y，z分量组成，y分量由z，x分量组成，z分量

由x，y分量组成，恰好是循环的。坐标平移一下就好了。

②在二维的情况下，我们可以取z=0这个平面，即令z1=z2=0，且

|P1×P2|=x1y2-x2y1

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|x1y1|

=||

|x2y2|

所以：

|B×C|=(x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)

|x1-x0y1-y0|

=||

|x2-x0y2-y0|

它的一半即为所要求的三角形的面积S。

注意，用行列式求出来的面积是带符号的。如果A，B，C是按顺时针方向给出，

则S为负；按逆时针方向给出，则S为正。

以二维的情况为例，三维亦同：

A(0,0)B(0,1)C(1,0)(A，B，C按顺时针方向给出)

S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-0)*(0-0)-(1-0)*(1-0))/2

=

A(1,0)B(0,1)C(0,0)(A，B，C按逆时针方向给出)

S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-1)*(0-0)-(0-1)*(1-0))/2

=

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如果你不需要符号的话，再求一下绝对值就好了。这样也不用去管给出的点的顺

序了。

以上是利用叉乘。其实还有一招，那就是海伦公式：

利用两点之间距离公式，求出三角形的三边长a，b，c后，令p=(a+b+c)/2。

再套入以下公式就可以求出三角形的面积S:

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

看起来好像比上面的都要简单……各位看客不要打我！

推荐：在二维的时候使用叉乘公式，三维的时候使用海伦公式～～～不过如果是

需要符号的情况时，就只能使用行列式的计算公式了。