行列式的定义

⾏列式的意义

三、⾏列式的⼏何意义：

⾏列式的定义：

⾏列式是由⼀些数据排列成的⽅阵经过规定的计算⽅法⽽得到的⼀个数。当然，如果⾏列式中含有未知数，那么⾏列式就是⼀个多项式。它

本质上代表⼀个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵只是⼀个数表，⾏列式还要对这个数表按照规则进⼀步计算,最终得到⼀个实数、复数或

者多项式。

⼀阶⾏列式

（注意不是绝对值）

⼆阶⾏列式

三阶⾏列式

N阶⾏列式

⾏列式的⼏何意义是什么呢？

概括说来有两个解释：

⼀个解释是⾏列式就是⾏列式中的⾏或列向量所构成的超平⾏多⾯体的有向⾯积或有向体积；

另⼀个解释是矩阵A的⾏列式detA就是线性变换A下的图形⾯积或体积的伸缩因⼦。

这两个⼏何解释⼀个是静态的体积概念，⼀个是动态的变换⽐例概念。但具有相同的⼏何本质，因为矩阵A表⽰的（矩阵向量所构成的）⼏

何图形相对于单位矩阵E的所表⽰的单位⾯积或体积（即正⽅形或正⽅体或超⽴⽅体的容积等于1）的⼏何图形⽽⾔，伸缩因⼦本⾝就是矩

阵矩阵A表⽰的⼏何图形的⾯积或体积，也就是矩阵A的⾏列式。

⼆阶⾏列式的⼏何意义：

⼆阶⾏列式的⼏何意义是xoy平⾯上以⾏向量为邻边的平⾏四边形的有向⾯积。

⼆阶⾏列式的⼏何意义就是由⾏列式的向量所张成的平⾏四边形的⾯积。另外，两个向量的叉积也是这个公式。

⼆阶⾏列式的另⼀个意义就是是两个⾏向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在⼆维平⾯上，z轴的正向想象为指向读者的⽅向）

的叉积分量。如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么

⼆阶⾏列式就与两个向量的叉积完全等价了。

⼆阶⾏列式性质的⼏何解释：

两向量在同⼀条直线上，显然围成的四边形的⾯积为零，因此⾏列式为零

这个性质由⾏列式的叉积特性得到，交换⾏列式的两⾏，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此⾏列式换号。

把⾏列式的⼀⾏的k倍加到另⼀⾏，则⾏列式值不变，即

矩阵的⾏列式等于其转置矩阵的⾏列式（根据⾏列式的定义可证）

总结：

（1）⽤⼀个数k乘以向量a,b中之⼀的a，则平⾏四边形的⾯积就相应地增⼤了k倍；

（2）把向量a,b中的⼀个乘以数k之后加到另⼀个上，则平⾏四边形的⾯积不变；

（3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平⾏四边形(即单位正⽅形)的⾯积为1。

三阶⾏列式的⼏何意义：

⼀个3×3阶的⾏列式是其⾏向量或列向量所张成的平⾏六⾯体的有向体积。

⼀个⾏列式可以通过拆分某⼀个列向量得到两个⾏列式的和

⾏列式的有两⾏或者两列元素相同，它对应的空间平⾏六⾯体的两条邻边重合，相当于三维空间中六⾯体被压成了⾼度为零的⼆维平⾯，显

然，这个平⾯的三维体积为零。

⼀个⾏列式对应着⼀个数值，这个数值是对⾏列式中的元素经过运算得到的。这个运算是与元素的位置有关系的，因此你改变了⾏列式中列

向量或⾏向量的位置当然会改变⾏列式的结果。幸⽽只改变结果的符号。⼀般地，⼀个⾏列式的值对应矩阵A的列向量的⼀个固定顺序。当

detA为负值时，它确定原象的⼀个反射。所以，这种变换改变了原象的定向。

这就是说，平⾏六⾯体的体积的k倍等于六⾯体的三条棱中⼀条棱长的k倍。这是显然的。因为⽴⽅体的体积增⼤可以沿着⽴⽅体某⼀棱⽅向

增⼤相同的倍数。

此性质表述了以为底⾯积的平⾏六⾯体在a⽅向上进⾏了切向变换，变换的后的六⾯体因为底⾯积不变，⾼也不变，因此体积不变。

矩阵A的⾏列式等于矩阵A转置的⾏列式

⾏列式化为对⾓形的⼏何解释：

⼀个⾏列式的第i⾏加上j⾏的K倍，可以使第i⾏的某⼀个元素变为0，⽽这个⾏列式的值不变。这个性质在化简⾏列式时⾮常有⽤。

⼀个⼆阶⾏列式所表⽰的平⾏四边形被变成了⼀个对⾓⾏列式所表⽰的正（长）⽅形。

三阶⾏列式有类似的变换情形，对⾓化的过程会把⼀个平⾏六⾯体变化为⼀个等体积的⽴⽅体或长⽅体。

那么n阶⾏列式我们亦不怀疑的认为也可以被表⽰成⼀个n维的长⽅体的⼏何图形。

⼆阶⾏列式乘积项的⼏何意义：

对于⼆阶⾏列式⽽⾔，既然⼆阶⾏列式的⼏何图形是⼀个有⽅向的⾯积，那么从⼆阶⾏列式公理化定义−看，⼜是如何构

成这个⾯积的呢？显然，式中项和项的和构成了这个⾯积。（⾯积⽅向的确定：叉积的右⼿定则）

三阶⾏列式乘积项的⼏何意义：

与⼆阶⾏列式的乘积项的⼏何解释类似，三阶⾏列式的乘积项，可以看成具有有⽅向的⼩长⽅体的体积。也就是说，在三阶⽅阵张成的三维

平⾏六⾯体可以分解为⼀个个由各座标分量混合积构成的⼩长⽅体。这些⼩长⽅体共有六块，其体积具有⽅向。

n阶⾏列式乘积项的⼏何意义：

N阶⾏列式的超平⾏多⾯体的⼏何图形是由⾏(或列)向量张成的，⽽且这个n维超平⾏多⾯体与⼀个n维超长⽅体等体积。

⽐如⼀个⼆阶⾏列式可以分拆成两个这样的⼆阶对⾓⾏列式：

⼀个三阶⾏列式可以拆分成六个（其余的⾏列式值等于零）三阶对⾓⾏列式：

⼀个⾏列式的整体⼏何意义是有向线段（⼀阶⾏列式）或有向⾯积（⼆阶⾏列式）或有向体积（三阶⾏列式及以上）。

因此，⾏列式最基本的⼏何意义是由各个坐标轴上的有向线段所围起来的所有有向⾯积或有向体积的累加和。这个累加要注意每个⾯积或体

积的⽅向或符号，⽅向相同的要加，⽅向相反的要减，因⽽，这个累加的和是代数和。

克莱姆法则的⼏何意义：

1750年，瑞⼠的克莱姆发现了⽤⾏列式求解现⾏⽅程组的克莱姆（Cramer）法则。这个法则在表述上简洁⾃然，思想深刻，包含了对多

重⾏列式的计算，是对⾏列式与线性⽅程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从⼏何上解释这个法则，就不可能领会向量、⾏列式和线性

⽅程组之间的真正关系。

⼆阶克莱姆法则的⼏何解释：

⼆阶线性⽅程组：

其克莱姆法则的解：

三阶克莱姆法则的⼏何解释：

三阶线性⽅程组如下：

其克莱姆法则的解：

过程与⼆阶类似，参考⼆阶的推导过程。

克莱姆法则的意义是可以⽤⽅程组的系数和常数项的⾏列式把⽅程组的解简洁的表达出来。但在实际⼯程应⽤中由于计算量较⼤，常常采⽤

⾼斯消元法来解⼤型的线性⽅程组。