毛细管现象

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第二章毛细现象

要求：了解表面张力和表面自由能的定义，产生机理，它们之间的关系；理解

《表面物理化学》四大定律之一的Young-Laplaceformula的含义，掌握其应

用；掌握毛细现象产生机理及其重要意义；了解液体表面张力的测定方法

§2.1表面自由能和表面张力

§2.1.1表面自由能

1、定义

系统增加单位表面积时所需做的可逆功，也可以说是单位表面积的表面

相分子与本体相分子相比，所具有的额外的势能，这种势能只有分子处于表

面时才有，所以叫表面自由能，单位为：J/m2。

2、表面自由能产生的机理

由于表面或界面的分子或原子与本体相的分子或原子相比，其所受到的

键力不平衡，从而存在着表面或界面不饱和键力。表面不饱键力的存在是表

面自由能产生的根本原因。

图2-1不饱和键力示意图

物质结构不一样，不饱和键力大小不一样，离子键物质不饱和键力>原子

键物质>分子键物质。

根据热力学原理，有不饱和键力的表面，是热力学上不稳定的体系，一有

机会就要想法补偿：

（1）在真空中，则表面不饱和键力能得不到任何补偿；

（2）在空气中，由于氧、氮分子密度低，又是非极性分子，所以表面不

饱和键力能得到的补偿很小；

（3）在水中，由于水是强偶极分子，则固体表面不饱和键力能得到部分

补偿。

SiOSiOSi

OOO

SiOSiOSi

－－－O－－－－

－－－－－－－－－－

－－－－－－－－－－－

－－O－－－－－－－

－－－－－－－－－

++

H105°3'H

O

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3、表面或界面越大的体系，表面能越大，这些体系都是不稳定体系

（1）微细颗粒体系是不稳定体系，容易聚团；

（2）油水混合体系是不稳定体系，容易分层；

（3）材料中的裂缝体系，热力学上也不稳定，存在着很强的作用力；

4、表面能：SGAG

§2.1.2表面张力

定义：沿液体表面切线方向，单位长度上所受到的，使液体表面收缩的

力，叫表面张力，其是纯粹物质表面层分子间实际存在的力，单位：N/m,

dyne/cm。

§2.1.3表面张力与比表面自由能的关系

图2-2皂膜的拉伸

如图2-2所示的皂膜拉伸示意图。液体的表面张力σ为：

L

F

2



图2-2中，在F力的作用下金属丝移动了dx的距离，则所作的功为：

dxLFdxdW2

但2Ldx等于液膜的面积增量dA,所以

dAdW

将上式改写成如下形式：

SGdAdW

从上式可知：液体的表面张力实际上在数值上等于表面自由能。

量纲分析：[σ]=[N/m]=[Nm/m2]=[J/m2]=[Gs]。由此可知，表面张力与

表面自由能量纲一致。

F

dA

L

Xdx

皂膜

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问题：

§2.2毛细现象及Young-Laplace公式

§2.2.1毛细现象的含义

根据毛细管中的液体与毛细管壁的相互作用性质不同，其中液面可能是

凹月面，或平面，或凸月面，从而导致毛细管中的液体或者上升，或者与外液

面平行，或者下降。毛细管中的液面上升或下降的现象叫做毛细现象，如图

2-3所示。

图2-3毛细现象示意图

§2.2.2Young-Laplace公式

图2-4所示为皂膜的收缩。

图2－4泡膜收缩示意图

R

dR

（1）为什么纯粹液体表面张力与表面自由能数值相等？

（2）固体的表面张力和表面自由能数值上是否相等？

（3）非纯粹液体表面张力与表面自由能数值上是否相等？

非纯粹液体表面

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设皂泡为球体，半径为R。液体的表面张力为σ，则总表面自由能为

4πR2σ。假设半径减少dR，表面自由能的变化为8πRσdR。由于皂膜收缩使

表面自由能减少，要使收缩的趋势得到平衡，则皂膜内的压力P1必须大于皂

膜外的压力P2，即跨过皂膜存在着一个压力差。当半径收缩dR时，压差所作

的功为：

dRRPW24

达到平衡时，W一定的等于表面自由能的减少。

dRRdRRP842

或者：

R

P

2



（2-1）

对于任意非球面曲面，其相互垂直的两个曲率半径为：R

1

和R

2

,则该曲

面产生的附加压力为：

)

11

21

RR

P（

（2-2）

式（2-2）即为Young-Laplace公式，而式（2-1）为曲面是球面的特殊情

况。

Young-Laplace公式的意义：跨过任意一个曲面，都必须做功，即任意液

体曲面都要产生附加压力，曲面半径越小，附加压力越大。

问题：

§2.3毛细上升的处理（毛细管法测液体表面张力）

规律:假如液体润湿毛细管壁，则毛细管中的液体会强制上升，液面呈凹

当将下列图中两气泡之间连通，两气

泡将如何变化？

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月面，其半径为正；假如液体不能润湿毛细管壁，则毛细管中的液体会强制下

降，液面呈凸月面，其半径为负。

毛细管中液面一般有如下三种情况。

§2.3.1毛细管中液面为半球面

如图2-5所示，毛细管中液面为半球面的情况。弯曲液面附加压力此时

等于：

r

P

2



并且，弯曲液面的附加压力必定等于毛细管内液柱的静压强

gh

，即：

gh

r

P





2

上式可写成：

rh

g

a







2

2

将a叫做毛细常数，它是反应一个毛细管的特征系数。可以通过上式测定液体

表面张力。

图2-5毛细管上升（弯曲面为半球面）

r

h

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§2.3.2毛细管中液面为球面，但不是半球面

如图2-6所示，毛细管中液面为球面，但不是半球面的情况。

图2-6毛细管上升（弯曲面为球面，但非半球面）

弯月面的半径为R,毛细管半径为r¸液体与毛细管壁接触角为θ，则：

cosrR

所以有：

gh

rR

P





cos22

由上式，从毛细管中液体上升高度和与管壁的接触角可计算液体表

面张力。

§2.3.3毛细管中液面为旋成曲面

假设液体曲面不是球面，而是一个旋成面，其任意点上的曲率半径不相等，

同时也不等于毛细管半径，即：

rRR

21

关于这部分，同学自己看书上的推导。

§2.3.4毛细管上升现象的精确处理

上述推到方法存在如下问题：

只有在凹月面的最低一点毛细管高度才是h，在其他各点上，毛细上升高

度都大于h。如图2-7所示，若用y表示凹月面上某点离开液面的距离，则有：

R

r

θ

h

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gyP

。因此上述处理仅为近似处理。

精确处理：凹月面为球面,但不是半球面的精确处理

图2-7对月牙部分的修正

毛细管中带弯月面的液体（图中阴影部分的液体）重量可按下式计算：

rgydxxW

0

2

附加压力ΔP应等于毛细管中上升的所有液体重量除以毛细管断面积，

则：

2

0

2

2

r

gydxx

r

W

P

r



















只要是球面，附加压力就满足下式：

R

P

2



由图2-6可知：2/122)(xRly，将y代入则有：

2

0

2/122)([2

2

r

gdxxRlx

R

P

r















y

R

dxx

(x,y)

θ

l

h

0x

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由上式可得：





rdxxRxxl

r

R

g

a

0

2/122

2

2])([

22





由于

hRl

，则积分上式可得：

]

33

)(

2

)(

[

2232/3222

2

RrRhRr

r

R

g

a

















式中：

cos

r

R

。

由上式可知：只要测得接触角，通过测定毛细管的r和h，就可测定液体

表面张力。

但是，接触角很难测定准确。

修正方法

(1)级数近似法

对于接近球面的弯月面，当r<

)/1312.0/1288.03/(2322hrhrrhra

（2）Suden数值逼近法

Sudan编制了r/b和r/a表（见表2.1和2.2），其中b为凹月面最低点的曲

率半径，只有此点，无论什么情况下，两个曲率半径才都相等。

①由毛细管升高测得r和h；

②由rha2

1

,求出毛细一级近似值2

1

a；

③求

1

/ar，查表得

br/

，从而得到b值；

④bha2

2

，求出毛细常数的二级近似值

2

a；

⑤重复上述过程，直至a值恒定；

⑥由

g

a









2

2,求出



。

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表2.1对应于各种不同r/a值时r/b的计算值（θ＝0）

r/a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.001.00000.99990.99980.99970.99950.99920.99880.99830.99790.9974

0.100.99680.99600.99520.99440.99350.99250.99150.99040.98930.9881

0.200.98690.98560.98420.98270.98120.97960.97800.97630.97460.9728

0.300.97100.96910.96720.96520.96310.961095890.95670.95450.9522

0.400.94980.94740.94490.94240.93980.93720.93460.93200.92930.9265

0.500.92360.92080.91790.91500.91200.90900.90600.90300.89990.8968

0.600.89360.89050.88730.88400.88070.87740.87410.87080.86740.8640

0.700.86060.85710.85360.85010.84660.84300.83940.83580.83220.8286

0.800.82490.82120.81750.81380.81010.80640.80260.79880.79500.7913

0.900.78750.78370.77980.77590.77210.76830.76440.76060.75680.7529

1.000.74900.74510.74120.73730.73340.72950.72550.72160.71770.7137

1.100.70980.70590.70200.69800.69410.69010.68620.68230.67830.6744

1.200.67040.66650.66250.65850.65470.65080.64690.64310.63930.6354

1.300.63150.62760.62370.61980.61600.61220.60830.60450.60060.5968

1.400.59290.58900.58910.58120.57740.57360.56970.56590.56210.5583

1.500.55450.55080.54710.54350.53980.53620.53260.52890.52520.5216

1.600.51790.51420.51060.50700.50340.49980.49630.49270.48920.4857

1.700.48220.47870.47530.47190.46860.46520.46180.45840.45490.4514

1.800.44800.44460.44130.43800.43470.43150.42830.42500.42170.4184

1.900.41520.41200.40890.40580.40270.39960.39650.39340.39030.3873

2.000.38430.38130.37830.37530.37230.36830.36630.36330.36030.3574

2.100.35460.35170.34890.34610.34320.34030.33750.33480.33210.3294

2.200.32670.32400.32130.31860.31600.31340.31080.30820.30560.3030

表2.2r/a>2.00时r/b的计算值（θ＝0）

r/a0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

2.00.3840.3550.3270.3010.2760.2520.2290.2060.1850.166

3.00.1490.1330.1190.1070.0970.0880.0810.0740.0670.061

4.00.0560.0510.0470.0430.0390.0350.0310.0280.0250.022

5.00.0200.0180.0170.0150.0140.0120.0100.0090.0080.007

6.00.0060.060.0050.0040.0040.0030.0030.0030.0020.002

举例：用毛细管上升测定苯的表面张力

已知毛细管半径为0.0550cm，20度时苯的密度为0.8785g/cm3，空气密度

0.0014g／cm3，因此，

＝0.8111,毛细管上升高度h为1.201cm。

计算：由a2=rh得到毛细常数a，再达到r/a，查表2.1得到r/b，则可得到b，

即：a

1

2=1.201×0.0550=0.0660

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.

因此r/a

1

=0.0550/0.2569=0.2142

查表2.1得r/b等于0.9850，所以

b=0.0550/0.9850=0.05584

b为凹月面底端的曲率半径，此时R

1

＝R

2

，所以得到

a

22

=bh=0.05584×1.201=0.06706

由a

2

可计算苯的表面张力σ：

由：

g

a









2

2

2

，得：

cmdyn

g

a/88.28

2

2

2











§2.4液体表面张力的其他测定方法

最大泡压法、圆环法、吊板法、悬滴法及滴重法等。

§2.5Young-Laplace公式与材料相关的应用例子

§2.5.1平板玻璃间的毛细吸力作用

如图2-7所示，在二平板玻璃间置一液滴，如果液体多玻璃的接触角小

于90度，液滴为一园盘形，液面为环状弯月面，求一定体积的液体，由于毛

细作用，给两板之间施加的垂直吸力F。

液体表面张力σ，接触角θ。其他情况如图2-7所示。

图2-7平板玻璃之间的毛细吸力现象

解：①由A点受力平衡可知：

PPPP

atm



内

外

由Young-Laplace可知：

)

2/

1

2/

1

(cos

Dx

P

F

σ

ΘAΔP

P外

P

内

D

这部分内容简单，同学

自己看。

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若D>>x，则有：

x

P

cos2



因此：

x

PP

cos2



内

外

②两平板之间的吸力F(N):





2)

2

(

cos2D

x

APF

若设液滴体积为V,则

x

V

A

，故：

2

cos2

X

V

F





(N)

讨论：

§2.5.2混凝土等材料中的毛细管干燥收缩

混凝土体内毛细管中水蒸发，使毛细管内水形成凹形弯月面，由于弯月面

所产生的附加压力的作用，使毛细管内缩，从而导致混凝土宏观体积收缩，叫

混凝土的干燥收缩。

如图2-8所示，混凝土内一毛细管半径r，凹液面的曲率半径R，液体的

表面张力σ，与毛细管壁的接触角θ。由于弯月面所产生的毛细管内缩力为

F((N)。

图2-8混凝土毛细管干燥收缩示意图

P内

△P

θ

P外

LFF

r

R

相当于液体内部压强（力）与外部

相比较，减少了

x

cos2，也即相

当于大气压向液体施加了

x

cos2的压强（力）。

表面张力、接触角大小及平板间距离与吸力之间的

关系？

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解：

PPP

内

外

若曲液面为球面，则有：

r

P

cos2



因此，有：

r

PP

cos2



内

外

则毛细管的收缩力（内缩力）F（N）为:





cos42

cos2

LLr

r

APF

若用凹液面曲率半径表示，则有：

R

Lr

Lr

R

APF









4

2

2

问题：

讨论：防止混凝土由于毛细管部分是水导致干燥收缩裂缝的措施。

相当于液体内部压强（力）

与外部相比减少了

r

cos2

（N/m2）。

（1）液体表面张力与毛细管收缩之间有什么关系？

（2）液体对混凝土的润湿性与毛细管收缩之间的关系？

（3）按上式可知，毛细管半径r越小，由弯液面引起的毛细管收缩力应该

越小，但是，实际上，毛细管小到一定程度后，收缩力反而会增大，

为什么？

（1）凡是能降低液体表面张力的物质，均有助于减少毛细管失水引起的收缩。理

解减缩剂的作用机理？减缩剂的负面影响是什么？

（2）加强保湿养护，特别是早期保湿养护，是防止早期干缩裂缝的有效措施，为

什么？

（3）改善混凝土的孔结构，形成大量微小的、封闭的圆孔有利于减少毛细管部分

失水引起的收缩，为什么？