不定积分换元法

【不定积分的第一类换元法】

已知()()fuduFuC

求()(())'()(())()gxdxfxxdxfxdx【凑微分】

()()fuduFuC【做变换，令()ux，再积分】

(())FxC【变量还原，()ux】

【求不定积分()gxdx的第一换元法的具体步骤如下：】

（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dxgxfxxdx

（2）凑微分：()(())((')))(()xgxdxdxdxfxfx

（3）作变量代换()ux得：()(())'()()()()gxdxfxxxxdxfd()ufud

（4）利用基本积分公式()()fuduFuC求出原函数：

()(())'()(())()gxdxfxxdxfxdx()()duuCfuF

（5）将()ux代入上面的结果，回到原来的积分变量

x

得：

()(())'()(())()gxdxfxxdxfxdx()()fuduFuC(())FxC

【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()ux，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

__________________________________________________________________________________________

【第一换元法例题】

1、9999(57)(57)(57

11

(57)(57)

55

)(57)dxdxdxdxxxxx

11009

1

(57)(57)(57)

10

111

(57)

5550

dCxxxxC

【注】

1

(57)'5,(57)5,(57)

5

xdxdxdxdx

2、

1ln

lnlnlndxdx

x

x

dxxx

x



22

1

(l

1

lnln(ln)

2

n)

2

xxxdCxC

【注】

111

(ln)',(ln),(ln)xdxdxdxdx

xxx



3（1）

sin

tan

cosco

si

scoscos

ncoscosxdxdx

xdxdx

xd

xxx

x

x





cos

ln|cos|

c

ln|co

s

|

o

s

x

x

d

CxC

x



【注】(cos)'sin,(cos)sin,sin(cos)xxdxxdxxdxdx

3（2）

coscos

cot

sin

sinsinsin

xdxx

xdxdx

dx

xxx



sin

ln|siln|sin|n|

sin

x

x

d

CxC

x



【注】(sin)'cos,(sin)cos,cos(sin)xxdxxdxxdxdx

4（1）

1

()

11

ddx

axa

x

a

dx

x

a

x







ln|

1

(|)ln||dCaxaxax

ax

C





【注】()'1,(),()axdaxdxdxdax

4（2）

1

()

11

ddx

xax

x

x

da

a

x

a







ln|

1

(|)ln||dCxaxaxa

xa

C





【注】()'1,(),()xadxadxdxdxa

4（3）

2222

1111111

2

1

2xaaxa

dxdx

xaxa

dxdx

aaax

dx

x































11

ln||ln||ln

22

xa

xaxaCC

aaxa







5（1）

2c()ctancctan

ctan

c

ctan

xxxxx

dx

xx

x

xdxdx

xx













tanctanc

c

()()

ln|ctan|

tanctan

dxxxx

xx

d

xxC

xx













5（2）

222

1cos

c

cosc

cossin

oscos1sin

x

xdxdxdx

xx

xdxdx

xx









2

sin

si

1111sin111sin

lnln

1

n

sin2112sin121ssinsinin

dxx

x

xx

x

dCC

xxx















6（1）

2csc()csccotcsccsccot

csccot

csc

csccot

xxxxx

dx

xx

x

xdxdx

xx













()()

ln|csccot|

cscc

cotcsccsccot

cscoottc

ddxxxx

xx

xxC

xx













6（2）

2csc()csccotcsccsccot

csccot

csc

csccot

xxxxx

dx

xx

x

xdxdx

xx











()(cotcsccscco)

ln|csc

t

cscco

cot|

ctsccot

dxxxxd

xxx

xxC

x









7（1）

22

1

arcsin

11

dx

dxxC

xx







7（2）

2222222

1

arcsin

111

d

dxx

dxC

a

a

x

d

dx

a

x

a

x

xax

xx

aa

a

a



































8（1）

22

1

arctan

11

dx

dxxC

xx







8（2）

2

22

2

2

2

2

2

1111

arctan

11

1

d

dxx

dxC

axaxaaa

x

x

x

d

dx

x

a

x

a

a

a

a

a

a













































，（0a）

9（1）352525ssincossincossinicsocnosxdxxdxxxxxxdx

86

2575

coscos

(1cos)coscos(coscos)cos

86

xx

xxdxxxdxC

9（2）353434csincossincossincosossinxxxdxxxxdxdxx

468

322357

sinsinsin

sin(1sin)sin(sin2sinsin)sin

438

xxx

xxdxxxxdxC

10（1）

1

ln

111

llnln

lnlln

n

nln

dx

dxC

xxxx

dxdxx

xx



10（2）

2222

11111

ln

lnlnlnln

n

ln

l

dx

dC

xxxx

dx

x

xxd

xx



11（1）2

4242422

2

2

22()

arctan(

2

1)

222)

1

21122(

xdxd

xC

xxxxx

x

x

xdx

x

dx











11（2）

2

2424

2

2422

121()

252

1

1

1

2252524()

xdxdxxdxd

xxxxxxx

x







2

22

22

22

1

2

1(1)111

arctan()

8442

11

11

22

x

d

dxx

C

xx

























12、

sin

sins

11

22

2

insin

x

dxxxdxdx

x

dx

xx

x

2sin2cos2cosdCxCxxx

13、2222

11

2

22

1

2

2xxxxedxedxdexCe

14、

4

3333co

sin

sincossinsinssini

4

sinsn

x

xxdxxxdCdxxxxdx

15、100(25)xdx100100100

11

(25)(25)

2

(25)(25)(25)

2

dxdxxxxdx

100110011

1

(25)(25)(25)

101

111

(25)

22202

xxxdCxC

16、2222222

111

sinsins

2

insincos

22

xxxxxdxxxdxdxxdC

17、

lnlnln(1ln)1

ln

1ln1ln1ln1ln

1

lndxd

xxxx

dxdx

xxxxx

x

x









31

22

1

1lnlnln

1ln

1

1ln(1ln)(1ln)

1ln

2

(1ln)2(1ln)

3

xdxdx

x

xdxdx

x

xxC















18、

arctan

arctanarctanarcarct

2

tan

2

anarcta

1

1

arct

1

nan

x

xxxx

e

dxeeedeC

x

dxdx

x

x









19、2

2

2

222

(

111

1111

1)

22

x

dx

xxx

xd

x

xddxx





2

2

2

1

1(1)

21

dxx

x

C





20、

333

si

sin11

coscoscos

ncosx

x

dxddx

xxx

x3

22

1

coscos2cosxCxdx

21、

111

()ln(22

222

)

2

x

x

xx

x

x

xxx

edxde

e

dxdeC

ee

e

ee











22、

23

222

lnln

lnl

1

lnlnlnn

3

xx

dxxxxxdC

x

dxdx

x



23、

222

22

(1)1

arcsin

2

122(1)2(1)

(

(2)(1

1

)

)dxdxdxx

C

xxxx

dx

x















24、

2

22

22

1

()

2

177

7

()

1

1

2

1

()()

()

()

2

2

2

42

2

4

dx

dx

xx

xx

x

dx

dx















22

1

()

2221

2

arc

1

tanarctan

7777

()

2

17

22

()

2

dx

x

CC

x

x



















25、计算

2222

sincos

sincos

xx

dx

axbx

，22ab

【分析】因为：22222222(sincos)'2sincos2cos(sin)2()sincosaxbxaxxbxxabxx

所以：222222(sincos)2()sincosdaxbxabxxdx

2222

22

1

sincos(sincos)

2()

xxdxdaxbx

ab





【解答】

2222

22

222222222222

1

sincossinc

sincossincos(si

os2sincos

ncos)xxxxdxda

axbxaxbx

xbx

dx

ab

axbx













2222

2222

2222

2222

sincos

2si

1()1

sincos

ncos

d

a

axbx

axbx

xbxC

abab











【不定积分的第二类换元法】

已知()()ftdtFtC

求()(())()(())'()gxdxgtdtgttdt【做变换，令()xt，再求微分】

()()ftdtFtC【求积分】

1(())FxC【变量还原，1()tx】

__________________________________________________________________________________________

【第二换元法例题】

1、

2

2

sinsinsin

2si2n

xt

xt

xtt

dxtdt

tt

dttdt

x





令

2cos2cos

tx

tCxC





变量还原

2（1）

2

2

1111

221

11

2

11

1

xt

xt

dttd

t

dxdtdt

tttt

x

t



















令

2ln|1|2ln|1|

tx

ttCxxC





变量还原

2（2）

2

2

(1)

(1

1

)2(1)

1111

221

1

xt

xt

d

t

dxdtdt

tt

ttdt

tt

x



















令1+



1

2ln||21ln|1|

tx

ttCxxC





变量还原

3、

3

3

4

34

43

32

3

4332

1

(1)

4

111

1

(1)

(1)

(1)4(1)3

xt

xt

xdxtt

t

x

t

dtttdt











令

74

6312()12

74

tt

ttdtC









33

4

4

4

3

7

1

4(1)(1)

12

74

tx

xx

C





















变量还原

4、

2

222

2

1111

2

(1)(1)1

(1)

2

xt

xt

dttddxdt

ttttt

xx

t















令

2arctan2arctan

tx

tCxC





变量还原

5、

ln

111111

111(1)1

1

ln

x

x

et

xt

dxdtdt

etttttt

tt

t

dd

















令

ln||ln|1|lnln

11x

x

x

te

te

ttCCC

te









变量还原

6、

6

6

3

2

2323

65

22

111

661

(1)(

6

1)11

(1)

xt

xt

dxt

dtdt

ttttt

dttt

xx

d

t

























令

6

666(arctan)6(arctan)

tx

ttCxxC





变量还原

【注】被积函数中出现了两个根式

,mnxx

时，可令

kxt，其中k为,mn的最小公倍数。

7（1）3

3

3

2

2

2

2

33ln|1|

12

12

xt

xt

dxtt

dtttC

t

x



















令

6

3

33

2(2)

32ln|12|

2tx

x

xxC

















变量还原

7（2）

11x

dx

xx





2

1

1

1

2

2

2

222ln|1|ln|1|

1

x

t

x

x

t

t

dttttC

t













令

1

111

22ln|1|ln|1|

x

t

x

xxx

C

xxx









变量还原

【注】被积函数中含有简单根式

naxb或

naxb

cxd



时，可令这个简单根式为

t

，即可消去根式。

8(1)82(1)

dx

xx

8

642

22

8282

2

1

1

1

1111

11

11

11

t

x

t

t

dttttdt

tt

tttt

ddt

tt





























1

令

x

753

753

1

11111

arctanarctan

753753t

x

ttt

ttCC

xxxxx



变量还原

8（2）22

22

1

2

11

1ln1ln

1ln1ln

(ln)

1l

1

n

111

1

1

lnln

t

x

t

xt

tt

dxdt

xx

tt

ddt

tttt

tt

































1

令

x

22

1

111

1ln

1ln1ln

1

11

(1ln)(1ln)

ln

1lnt

x

C

tt

tttt

x

CC

x

tdt

x

x

dtt

x























变量还原

【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。

9、

tan

2

2arctan

22

22

222

2

2

22

11

1sin

11

2121

sin(1cos)

(1)(1)

1

2

2arctan

11

21

1

x

t

xt

t

tt

x

tt

dx

tttt

xx

d

tttt

t

d

t

































令

2

1

2

111

2ln||

242

tan

1

2

tanln|tan|

4222t

x

t

tdtttC

t

x

xx

C

















变量还原

【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。

10（1）

sin||

2

ar

222222

i

2

csn

sinsincos

xatt

x

t

a

axdxaatdatatdt







令，

sin||

2

aracsinrcsi

22222

n

sin

arcsin

sin

xatt

x

t

aa

x

t

dxdatx

dttCC

a

axaat













变量还

令，

原

arcsi

22

2

2

22

n

1cos2sin2

(1cos2)

2222

1

arcsin

22x

t

a

taat

adttdttC

ax

xaxC

a















变量还原

10（2）

tan||

2

arctan

22222

tan

cln|ctan|

tan

xatt

x

t

a

dxdat

tdtttC

axaat











令，

arctan

22

22ln||ln||

x

t

a

xax

CxaxC

aa





变量还原

因为：

2

2222

22

()'2

a

xaxax

ax





所以：

2

2222

22

()'2

a

xaxdxaxdxdx

ax







即：

22222

22

11

()'

2

axdxxaxdxadx

ax













2

2222

1

ln||

22

a

xaxxaxC

10（3）

22

dx

xa

c

22

0

2

2c

cln|ctan|

c

xattdat

tdtttC

ata









令，

s

22

2

c

2

e

ln||ln||

xat

xxa

CxxaC

aa





变量还原

因为：

2

2222

22

()'2

a

xxaxa

xa





所以：

2

2222

22

()'2

a

xxadxxadxdx

xa







即：

22222

22

11

()'

2

xadxxxadxadx

xa













2

2222

1

ln||

22

a

xxaxxaC

【注】当被积函数中出现222222,,axaxxa因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。

_______________________________________________________________________________________________

【附加】【应用题】

已知生产

x

单位的某种产品，边际单位成本是

2

()100

'()()'

Cx

Cx

xx

，产量为1个单位时，成本为102，

又知边际收益为'()120.1Rxx，且(0)0R，

求：（1）利润函数()Lx；

（2）利润最大时的产量；

（3）利润最大时的平均价格。

【解答】

（1）因为：

2

()100

'()()'

Cx

Cx

xx



所以：

1

100

()CxC

x

，由1(1)102C得：

1

2C，

100

()2Cx

x

，()1002Cxx

又已知：'()120.1Rxx，(0)0R，2()120.05Rxxx

于是：2()()()100.05100LxRxCxxx

（2）令'()100.10Lxx得：100x

因为：'(100)0,"(100)0LL，所以当100x时利润最大，

max

(100)400L

（3）利润最大时的平均价格为：

(100)700

7

100100

R

P