m的平方怎么打

完全平方公式讲解

第一部分概念导入

1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有

什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；

2．学生计算

3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1

（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+4m+4

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2-2p+1

（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4

4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之

间只差一个符号。

推广：计算（a+b）2=________（a-b）2=________【2】

得到公式，分析公式

（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

（2）公式特征

左边：二项式的平方

右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．

注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，

则2ab的符号为“－”．

（3）公式中字母可代表的含义

公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．

（4）几何解释

图1－5

图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块

面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．

【学习方法指导】

［例1］计算

（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2

点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整

体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．

解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2

注意：（2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”．

［例2］计算

（1）（－m－n）2（2）（－5a－2）（5a＋2）

点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m与－n是同号，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中两个二项

式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计

算．

解：（1）（－m－n）2

＝（－m）2＋2·（－m）（－n）＋（－n）2

＝m2＋2mn＋n2

（2）（－5a－2）（5a＋2）

＝－（5a＋2）（5a＋2）

＝－（5a＋2）2

＝－（25a2＋20a＋4）

＝－25a2－20a－4

小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方

公式进行计算．

［例3］计算

（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）

（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）

点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m－n

与m＋n相乘，再将所得结果m2－n2与中间括号里的m2－n2相乘，可利用完全平方公式．

解：（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）

＝（x2－4xy＋4y2）－（x2－y2）

＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2

＝－4xy＋5y2

（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）

＝（m－n）（m＋n）（m2－n2）

＝（m2－n2）（m2－n2）

＝（m2）2－2·m2·n2＋（n2）2

＝m4－2m2n2＋n4

说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．

［例4］计算：（x＋

2

y

）2－（x－

2

y

）2

点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2－b2＝（a＋b）

（a－b），将此题转化为平方差公式进行计算．

解法一：（x＋

2

y

）2－（x－

2

y

）2

＝（x2＋xy＋

4

2y

）－（x2－xy＋

4

2y

）

＝x2＋xy＋

4

2y

－x2＋xy－

4

2y

＝2xy

解法二：

［例5］计算：（a－2b＋1）（a＋2b－1）

点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在

一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a＋b）（a－b）的形式，利用平方差公式进行简化运算．

关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！

随堂练习

一、选择题

1．下列运算中，正确的是（）

A．3a+2b=5abB．（a－1）2=a2－2a+1C．a6÷a3=a2D．（a4）5=a9

2．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（）

A．（x+y）2=x2+y2B．（x－y）2=x2－y2

C．（－x+y）2=x2－2xy+y2D．（－x－y）2=x2－2xy+y2

3．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是（）

A．（x－y）2B．（－x－y）2C．－（x+y）2D．－（x－y）2

4．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m的值是（）

A．16B．4C．－4D．4或－4

二、填空题

5．（－x－2y）2=_____．

6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，则B=_____．

7．若a－b=3，ab=2，则a2+b2=______．

8．（_____－

1

3

y）2=

9

4

x2－xy+______；（_____）2=

9

16

a2－6ab+_____．

三、解答题

9．利用完全平方公式计算：（1）20082；（2）782．

10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－

1

3

．

11.利用公式计算：1962

12.某正方形边长acm，若把这个正方形的边长减小3cm，则面积减少了多少？

13.已知x+y=1，求

1

2

x2+xy+

1

2

y2的值．

14.已知a+

1

a

=5，分别求a2+

2

1

a

，（a－

1

a

）2的值

15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，•则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的

边长．

16.小明在计算

2

22

20092008

20092

时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用

计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？

17．已知：a＋b＝－5，ab＝－6，求a2＋b2．

18.利用公式计算：992－1

19.计算（1）)1)(1(abab；（2）)32)(32(xx；

（3）102

2

；（4）99

2

.

（5）)1)(1(baba；（6）

2)2(pnm.

20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39

2cm,这个正方形的边长是多少?

21.当

2)2()23)(23(1,1babababa时，求的值

22.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差

22)12()12(nn是8的倍数

23.观察下列等式：

10122，31222，52322，73422，……

请用含自然数n的等式表示这种规律为：________________.

24.已知

2294yMxyx是一个完全平方式,求M的值.

年12月1日是星期四，请问：再过2005

2

天的后一天是星期几?

答案

一、

1．B

2．C点拨：（x+y）2=x2+2xy+y2，所以A不正确；（x－y2=x2－2xy+y2，所以B不正确；（－x+y）2=（－x）2+2（－x）·y+y2=x2－2xy+y2，

所以C正确；

（－x－y）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以D也不正确，故选C．

3．D

4．D点拨：因为（x－4）2=2－8x+16，所以若（x－4）2=x2－8x+m2成立，

则m2=16，从而得m=±4，故选D．

二、

5．x2+4xy+4y2点拨：（－x－2y）2=[－（x+2y）]2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2．

6．48xy点拨：B=（3x+4y）2－（3x－4y）2=9x2+24xy+16y2－（9x2－24xy+16y2）•=•9x2+•24xy+16y2－92+24xy－16y2=48xy．

7．13点拨：因为a－b=3，ab=2，所以a2+b2=（a－b）2+2ab=32+2×2=9+4=13．

8．

3

2

x；

1

9

y2；

3

4

a－4b；16b2

三、

9．解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；

（2）782=（80－2）2=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．

10．解：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2=2x2+4x－x－2－（x2－4x+4）－（x2+4x+4）

=2x2+3x－2－x2+4x－4－x2－4x－4=3x－10．

当x=－

1

3

时，原式=3×（－

1

3

）－10=－1－10=－11．

11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）2，利用完全平方公式计算．

解：1962①

＝（200－4）2②

＝2002－2×200×4＋42

＝40000－1600＋16＝38416

说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．

12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即可得出所求．计

算的关键在完全平方式的展开．

解：原正方形面积：a2

现正方形面积：（a－3）2

面积减少了a2－（a－3）2＝a2－（a2－6a＋9）＝a2－a2＋6a－9＝（6a－9）（cm2）

答：面积减少了（6a－9）cm2．

13.解：因为x+y=1，所以（x+y）2=1，即x2+2xy+y2=1．

所以

1

2

x2+xy+

1

2

y2=

1

2

（x2+2xy+y2）=

1

2

×1=

1

2

．

点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．

14.因为a+

1

a

=5，所以a2+

2

1

a

=（a+

1

a）2－2·a·

1

a

=52－2=23，

所以（a－

1

a）2=a2+

2

1

a

－2·a·

1

a

=23－2=21．

点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab，（a+b）2=（a－b）2+4ab，（a－b）2=（a+b）2

－4ab等等．

15.解：设这个正方形花坛的边长为x米，依题意列方程得，（x+3）2－x2=39，•

即x2+6x+9－x2=39，6x=30，x=5．

答：这个正方形花坛的边长为5米．

点拨：适当引进未知数，•根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．

16．解：知道，做法如下：

2

22

20092008

20092

=

2

22

20092008

(200920081)(200920081)2

=

2

22

20092008

2222009200812

=

2

2

20092008

220092008

=

1

2

．

点拨：由2=（）2，2=（）2，运用完全平方公式化简即可．

17.点拨：同时存在a＋b，ab，a2＋b2的公式为完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可．

注意：Ⅰ．不要分别求出a和b，运算繁琐．

Ⅱ．若已知a＋b（或a－b），ab，a2＋b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．

解：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab

当a＋b＝－5，ab＝－6时

原式＝（－5）2－2×（－6）＝25＋12＝37．

18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．

19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab看成是a，1看成是b来计算.

（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(xx,然后运用平方差公式计算.

（3）可将102

2

改写为

2)2100(,利用两数和的平方公式进行简便运算.

（4）可将99

2

改写为

2)1100(，利用两数差的平方公式进行简便运算.

解：（1）)1)(1(abab=11)(222baab；

（2）)32)(32(xx=)23)(23(xx=

22249)2()3(xx；

（3）102

2

=

2)2100(=1；

（4）99

2

=

2)1100(=98110021002.

【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题

可将)(ba看作是一项.

先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.

解：（5）)1)(1(baba=121)(]1)][(1)[(222bababababa；

（6）

2)2(pnm=

222)2(2)2(])2[(ppnmnmpnm

=

2224244pnpmpnmnm.

【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；

2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数

乘积的2倍，在计算时不要发生：

222)(baba或

222)(baba这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,

要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.

20.【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.

解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22xx

即399622xxx，解得x=5.

答:这个正方形的边长是5cm.

21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a、b的值代入计算出结果.

解：)44(49)2()23)(23(22222babababababa

=

2222228484449bababababa；

当时，1,1ba

222848)2()23)(23(bababababa=8（-1）81)1(42=-4.

22.【点拨】运用完全平方公式将

22)12()12(nn化简，看所得的结果是否是8整数倍.

证明:

22)12()12(nn=)144(14422nnnn

=nnnnn814414422，

又∵n为整数,∴8n也为整数且是8的倍数.

23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案

为:nnnnn且1(12)1(22为整数).

24.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,

22yx与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是

2)32(yx,由完全平方公式就可以求出M.

解：根据

2)32(yx=

229124yxyx得:12M.

∴12M

答:M的值是±12.

25.【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005

2

天的后一天是星期几，可以想办法先求出2005

2

是7的多少倍数还余几天.

解：2005

2

=93)2867(2)2867()32867(22

=277)2866()2867(2.

显然2005年12月1日是星期四，再过2005

2

天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.