年金终值公式

六、年金终值和年金现值的计算

（一）年金的含义

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项。通常记作A。具有两个特点：一是金额

相等；二是时间间隔相等。也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。在现实工作中年

金应用很广泛。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入

等，都属于年金收付形式。

老师手写板：

①AAAAAAA

年金：|

i1~~~~~~~~

②年、月、半年、2年

AAA

1年|2年|3年

100万200万300万

1年

（二）年金的种类年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为四种：普通年金（后付年

金）：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。

预付年金（先付年金、即付年金）：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。与普通年金的区别仅

在于付款时间的不同。

递延年金：从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。永续年金：无限期的普通年金。

注意：各种类型年金之间的关系

（1）普通年金和即付年金

区别：普通年金的款项收付发生在每期期末，即付年金的款项收付发生在每期期初。联系：第一期均

出现款项收付。

【例题1•单选题】2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限3年，每年

12月31日支付租金10万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于（

）

。

（2010年考试真题）

A.普通年金B.即付年金C.递延年金D.永续年金

【答案】A

【解析】每年年末发生等额年金的是普通年金。

（2）递延年金和永续年金

二者都是在普通年金的基础上发展演变起来的，它们都是普通年金的特殊形式。它们与普通年金的共

同点有：它们都是每期期末发生的。区别在于递延年金前面有一个递延期，也就是前面几期没有现金流，永

续年金没有终点。

在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。

【提示】

1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半

年、一个季度或者一个月等。

2.这

里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1

月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【例题2•判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。()

【答案】X

【解析】在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。注意：如果本题改为

“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一

种情况。

(三)年金的计算

1.普通年金终值的计算

普通年金终值是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的

金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。

设每年的支付金额为A,利率为i，期数为n,则按复利计算的年金终值F为：

n-1

F=A+A<(1+i)+…+AX(1+i),(1)

等式两边同乘以(1+i):

F(1+i)=A(1+i)1+A(1+i)2+…+A(1+i)n,(n等均为次方)(2)

(2)与(1)式两边相减可得出公式：

F(1+i)-F=A(1+i)n-A,

普通年金终值的计算公式：

F

i

年金终值系数(F/A,i,n),平时做题可查表得到，考试时，一般会直接给出该系数。

为了使您更好的理解年金系数与复利系数之间的关系，请注意各个系数之间的关系：

年金终值系数=(复利终值系数—1)/i

年金现值系数=(1—复利现值系数)/i

【例11-5】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一

位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级

读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%则小王九年捐款在2003年底相当于多

少钱？

【答案】

F=A[(1+i)n-1]/i=1000X[(1+2%)9-1]/2%=9754.6(元)

F=1000X(F/A,2%9)=1000X9.7546=9754.6(元)

【例11-6】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业

招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司

取得开采权，从获得开采权的第I年开始，每年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到

10年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美

元，在8年后开采结束，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%问应

接受哪个公司的投标？

【答案】

要回答上述问题，主要是要比较甲乙两个公司给A的开采权收入的大小。但由于两个公

司支付开采权费用的时间不同，因此不能直接比较，而应比较这些支出在第10年终值的大

小。

甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款10亿美元的10年年金，其终值计算如下:

F=10X（F/A，15%10）=10X20.304=203.04（亿美元）

乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：

=40X4.0456=161.824（亿美元）

第2笔收款（60亿美元）的终值=60X（1+15%

=60X1.3225=79.35（亿美元）

终值合计161.824+79.35=241.174（亿美元）

因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。

复利现值系数表（P/F表）

n1%2%3%4%5%6%8%10%12%14%15%16%18%

10.990.980.970.9610.9520.9430.9250.9090.8920.8770.8690.8620.847

20.980.9610.9420.9240.9070.8890.8570.8260.7970.7690.7560.7430.718

30.970.9420.9150.8880.8630.8390.7930.7510.7110.6740.6570.640.608

40.960.9230.8880.8540.8220.7920.7350.6830.6350.5920.5710.5520.515

50.9510.9050.8620.8210.7830.7470.680.620.5670.5190.4970.4760.437

60.9420.8870.8370.790.7460.7040.630.5640.5060.4550.4320.410.37

70.9320.870.8130.7590.710.6650.5830.5130.4520.3990.3750.3530.313

80.9230.8530.7890.730.6760.6270.540.4660.4030.350.3260.3050.266

90.9140.8360.7660.7020.6440.5910.50.4240.360.3070.2840.2620.225

100.9050.820.7440.6750.6130.5580.4630.3850.3210.2690.2470.2260.191

110.8960.8040.7220.6490.5840.5260.4280.350.2870.2360.2140.1950.161

120.8870.7880.7010.6240.5560.4960.3970.3180.2560.2070.1860.1680.137

130.8780.7730.680.60.530.4680.3670.2890.2290.1820.1620.1450.116

140.8690.7570.6610.5770.5050.4420.340.2630.2040.1590.1410.1250.098

150.8610.7430.6410.5550.4810.4170.3150.2390.1820.140.1220.1070.083

160.8520.7280.6230.5330.4580.3930.2910.2170.1630.1220.1060.0930.07

170.8440.7140.6050.5130.4360.3710.270.1970.1450.1070.0920.080.059

180.8360.70.5870.4930.4150.350.250.1790.130.0940.080.0690.05

190.8270.6860.570.4740.3950.330.2310.1630.1160.0820.070.0590.043

200.8190.6720.5530.4560.3760.3110.2140.1480.1030.0720.0610.0510.036

第1笔收款（40亿美元）的终值

=40X(1+15%10

复利终值系数表（F/P表）

1%2%3%4%5%6%7%8%9%10%11%

11.0101.0201.0301.0401.0501.0601.0701.0801.0901.1001.110

21.0201.0401.0611.0821.1031.1241.1451.1661.1881.2101.232

31.0301.0611.0931.1251.1581.1911.2251.2601.2951.3311.368

41.0411.0821.1261.1701.2161.2621.3111.3601.4121.4641.518

51.0511.1041.1591.2171.2761.3381.4031.4691.5391.6111.685

61.0621.1261.1941.2651.3401.4191.5011.5871.6771.7721.870

71.0721.1491.2301.3161.4071.5041.6061.7141.8281.9492.076

81.0831.1721.2671.3691.4771.5941.7181.8511.9932.1442.305

91.0941.1951.3051.4231.5511.6891.8381.9992.1722.3582.558

101.1051.2191.3441.4801.6291.7911.9672.1592.3672.5942.839

111.1161.2431.3841.5391.7101.8982.1052.3322.5802.8533.152

121.1271.2681.4261.6011.7962.0122.2522.5182.8133.1383.498

131.1381.2941.4691.6651.8862.1332.4102.7203.0663.4523.883

141.1491.3191.5131.7321.9802.2612.5792.9373.3423.7974.310

151.1611.3461.5581.8012.0792.3972.7593.1723.642

4.仃7

4.785

161.1731.3731.6051.8732.1832.5402.9523.4263.9704.5955.311

171.1841.4001.6531.9482.2922.6933.1593.7004.3285.0545.895

181.1961.4281.7022.0262.4072.8543.3803.9964.7175.5606.544

191.2081.4571.7542.1072.5273.0263.6174.3165.1426.1167.263

201.2201.4861.8062.1912.6533.2073.8704.6615.6046.7278.062

211.2321.5161.8602.2792.7863.4004.1415.0346.1097.4008.949

221.2451.5461.9162.3702.9253.6044.4305.4376.6598.1409.934

231.2571.5771.9742.4653.0723.8204.7415.8717.2588.95411.026

241.2701.6082.0332.5633.2254.0495.0726.3417.9119.85012.239

251.2821.6412.0942.6663.3864.2925.4276.8488.62310.83513.585

年金现值系数表（P/A表）

n1%2%3%4%5%6%8%10%12%

10.990.980.970.9610.9520.9430.9250.9090.892

21.971.9411.9131.8861.8591.8331.7831.7351.69

32.942.8832.8282.7752.7232.6732.5772.4862.401

43.9013.8073.7173.6293.5453.4653.3123.1693.037

54.8534.7134.5794.4514.3294.2123.9923.793.604

65.7955.6015.4175.2425.0754.9174.6224.3554.111

76.7286.4716.236.0025.7865.5825.2064.8684.563

87.6517.3257.0196.7326.4636.2095.7465.3344.967

98.5668.1627.7867.4357.1076.8016.2465.7595.328

109.4718.9828.538.117.7217.366.716.1445.65

1110.3679.7869.2528.768.3067.8867.1386.4955.937

1211.25510.5759.9549.3858.8638.3837.5366.8136.194

1312.13311.34810.6349.9859.3938.8527.9037.1036.423

1413.00312.10611.29610.5639.8989.2948.2447.3666.628

1513.86512.84911.93711.11810.3799.7128.5597.6066.81

1614.71713.57712.56111.65210.83710.1058.8517.8236.973

1715.56214.29113.16612.16511.27410.4779.1218.0217.119

1816.39814.99213.75312.65911.68910.8279.3718.2017.249

1917.22615.67814.32313.13312.08511.1589.6038.3647.365

2018.04516.35114.87713.5912.46211.4699.8188.5137.469

2118.85617.01115.41514.02912.82111.76410.0168.6487.562

2219.6617.65815.93614.45113.16312.04110.28.7717.644

2320.45518.29216.44314.85613.48812.30310.3718.8837.718

2421.24318.91316.93515.24613.79812.5510.5288.9847.784

(F/A5%5)=5.526

年金终值系数表（F/A表）

n1%2%3%4%5%6%7%8%9%10%

11.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000

22.0102.0202.0302.0402.0502.0602.0702.0802.0902.100

33.0303.0603.0913.1223.1533.1843.2153.2463.2783.310

44.0604.1224.1844.2464.3104.3754.4404.5064.5734.641

55.1015.2045.3095.4165.5265.6375.7515.8675.9856.105

66.1526.3086.4686.6336.8026.9757.1537.3367.5237.716

77.2147.4347.6627.8988.1428.3948.6548.9239.2009.487

88.2868.5838.8929.2149.5499.87910.26010.63711.02811.436

99.3699.75510.15910.58311.02711.49111.97812.48813.02113.579

1010.46210.95011.46412.00612.57813.18113.81614.48715.91315.937

1111.56712.16912.80813.48614.20714.97215.78416.64517.56018.531

1212.68313.41214.19215.02616.91716.87017.88818.97720.14121.384

1313.80914.68015.61816.62717.71318.88220.14121.49522.95324.523

1414.94715.97417.08618.29219.59921.01522.55024.21526.01927.975

1516.09717.29318.59920.02421.57923.27625.12927.15229.36131.772

1617.25818.63920.15721.82523.65725.67327.88830.32433.00335.950

1718.43020.01221.76223.69825.84028.21330.84033.75036.97440.545

1819.61521.41223.41425.64528.13230.90633.99937.45041.30145.599

1920.81122.84125.11727.67130.53933.76037.37941.44646.01851.159

2022.01924.29726.87029.77833.06636.78640.99545.76251.16057.275