正三棱锥的性质

棱锥

一.知识回顾:

棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以

棱柱棱柱

3VShV.

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：'Ch

2

1

S（底面周长为C，斜高为'h）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：

cos

底

侧

S

S（侧面与底面成的二面角为



）

附：以知c⊥

l

，bacos，



为二面角

bla

.

则laS

2

1

1

①，blS

2

1

2

②，

bacos

③①②③得

cos

底

侧

S

S.

注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.

⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的

斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的

射影也组成一个直角三角形.

⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形

不知是否全等）

ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.

简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令bACcADaAB,,

得cacbADBCcADabABACBC,，已知





0,0cabbca

0cbca则0ADBC.

iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点

'O

，则







ACACOBACoo,平面



FGHBOACBOO90°易知EFGH为平行四

边形EFGH为长方形.若对角线等，则

EFGHFGEF

为正方形.

二.基础训练:

1．给出下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

l

a

b

c

BC

D

A

a

b

c

F

E

H

G

B

C

D

A

O'

G

F

E

D

C

1

B

1

A

1

C

B

A

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是(A)

()A0()B1()C2()D3

2．如果三棱锥

SABC

的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点

S

在底面的射

影

O

在

ABC

内，那么

O

是

ABC

的(D)

()A

垂心

()B

重心

()C

外心

()D

内心

3．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且3ABAC，2BC，则以BC为棱，以面BCD

与面BCA为面的二面角的大小是(C)

()A

4



()B

3



()C

2



()D

3

2

4、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积

)(aF

取得最大值时a的值为（）

A、1B、

2

3

C、

2

5

D、

2

6

三.例题分析:

例1．正四棱锥

SABCD

中，高26SO，两相邻侧面所成角为，

23

tan

23



,

(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1）作

CFSB

于F，连结AF，则

CFBABF

且

AFSB

，故

AFC

是相邻侧面所成二面角

的平面角，连结OF，则AFC，

2

OFC





，在RtOFC与RtOBF中，

tan

2



＝

OF

OC

＝

sin

1



OF

OB

(其中

SBO

为

SB

与底面所成的角，设为



)故

3

sin,60

2

。

（2）在RtSOB中，侧棱

sin

SO

SB

a



=

42

，cotOBSO22，

∴边长

24BCOB

；取BC的中点E，连结SE，则SE是正四棱锥的斜高，

在RtSEB中，斜高222SESBSE7；

例2．如图正三棱锥

111

ABCABC中，底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，若经过对角线

1

AB且与对角线

1

BC

平行的平面交上底面于

1

DB。（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；（2）求平面

1

ABD与侧面

1

AB所

成的角及平面

1

ABD与底面所成的角；（3）求

1

A

到平面

1

ABD的距离。

解：（1）D为

11

AC的中点。连结

1

AB与

1

AB交于E，则E为

1

AB的中点，DE为平面

1

ABD

与平面

11

ABC的交线，∵

1

BC//平面

1

ABD

∴

1

BC//DE，∴D为

11

AC的中点。

（2）过D作

11

DFAB于F，由正三棱锥的性质，

1

,AADFDF平面

1

AB，连结

DG

，则

DGF

为

平面

1

ABD与侧面

1

AB所成的角的平面角，可求得

3

4

DFa，

由

111

BFGBAA，得

3

4

FGa，∴

4

DGF





∵D为

11

AC的中点，∴

111

BDAC，由正三棱锥的性质，

11

AABD，∴

1

BD平面

1

AC

∴

1

BDAD，∴

1

ADA是平面

1

ABD与上底面所成的角的平面角，可求得

1

tan2ADA，∴

1

ADAarctan2

（3）过

1

A作

1

AMAD，∵

1

BD平面

1

AC，∴

1

BD

1

AM，∴

1

AM平面

1

ABD

即

1

AM是

1

A

到平面

1

ABD的距离，

3

2

ADa，∴

1

AM

6

6

a

例3．如图，已知三棱锥

PABC

的侧面

PAC

是底角为045的等腰三角形，

PAPC

，且该侧面垂直

于底面，90ACB，

10,6ABBC

，

11

3BC，

(1)求证：二面角APBC是直二面角；

(2)求二面角PABC的正切值；

(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体

111

ABCABC，求几何

体

111

ABCABC的侧面积．

证(1)如图，在三棱锥PABC中，取AC的中点D．

由题设知PAC是等腰直角三角形，且PAPC．∴PDAC．

∵平面

11

AACC平面ABC，∴PD平面ABC，

∵ACBC∴PABC，∴PA平面PBC，

∵PA平面PAB，∴平面PAB平面PBC，

即二面角APBC是直二面角．

解(2)作DEAB，E为垂足，则PEAB．∴PED是二面角PABC的平面角．在RtABC

中，10,6ABBC，则8,4ACPD

由RtADERtABC，得

图31—3

P

C

1

C

B

A

A

1

B

1

图31－31

P

C

1

C

B

A

E

A

1

B

1

D

BCAD

DE

AB





＝

10

46

＝

5

12

，

∴所求正切为

tan

PD

PED

DE



＝

3

5

．

(3)∵

1

1

3

2

BCBC

∴

111

,,ABC分别是

,,PAPBPC

的中点．

∴

1

8416

2PAC

S





，

1

642122

2PBC

S





．

∵22PEPDDE＝

25

144

16＝34

5

4

，

14

1034

25PAB

S



344．

∴S

棱锥侧

43412216

PABPBCPCA

SSS



，∴几何体

111

ABCABC的侧面积

3

S3349212

4

S

几何体棱锥侧

四、作业同步练习棱锥

1．给出下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是()

()A0()B1()C2()D3

2．如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC

内，那么O是ABC的()

()A垂心()B重心()C外心()D内心

3．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且3ABAC，2BC，则以BC为棱，以面BCD与面BCA

为面的二面角的大小是()

()A

4



()B

3



()C

2



()D

3

2

4、若P是正四面体内一点，P到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（）

A、正四面体的棱长B、正四面体的斜高

C、正四面体相对棱间的距离D、正四面体的高

5、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积)(aF取得最大值时

a

的值为（）

A、1B、

2

3

C、

2

5

D、

2

6

6、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为

（）

A、1：3B、1：2C、1：

3

D、1：13

7、正三棱锥的高是3，侧棱长是7，那么侧面和底面所成的二面角的大小是.

8、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为1cm,2cm,3cm，则此棱锥的体积为。

9、已知三棱锥A-BCD的体积为V，棱BC的长为a，面ABC和面DBC的面积分别为S

1

和S

2

，设面ABC和面DBC

所成二面角为，则sin＝.

10、三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，则该三棱锥表面积S的取值范围是；体积V的取值范围

是.

11．如图，已知三棱锥PABC的侧面PAC是底角为045的等腰三角形，PAPC，且该侧面垂直于底面，

90ACB，10,6ABBC，

11

3BC，

(1)求证：二面角APBC是直二面角；

(2)求二面角PABC的正切值；

(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体

111

ABCABC，求几何体

111

ABCABC的侧面积．

12、已知在四面体ABCD中，PA=a，PB=b，

PC

=c，G∈平面ABC．

（1）若G为△ABC的重心，试证明

3

1

PG(a+b+c)；

（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．

P

C

1

C

B

A

A

1

B

1

A

B

C

D

G

P

参考答案

ADCDDD

7、608、1cm39、

21

2

3

ss

va10、22)1

2

3

(

2

3

aSa3

8

1

0aV

11、证(1)如图，在三棱锥PABC中，取AC的中点D．

由题设知PAC是等腰直角三角形，且PAPC．∴PDAC．

∵平面

11

AACC平面ABC，∴PD平面ABC，

∵ACBC∴PABC，∴PA平面PBC，

∵PA平面PAB，∴平面PAB平面PBC，

即二面角APBC是直二面角．

解(2)作DEAB，E为垂足，则PEAB．∴PED是二面角PABC的平面角．在RtABC中，

10,6ABBC，则8,4ACPD

由RtADERtABC，得

BCAD

DE

AB



＝

10

46

＝

5

12

，

∴所求正切为tan

PD

PED

DE

＝

3

5

．

(3)∵

1

1

3

2

BCBC∴

111

,,ABC分别是,,PAPBPC的中点．

∴

1

8416

2PAC

S



，

1

642122

2PBC

S



．

图31－31

P

C

1

C

B

A

E

A

1

B

1

D

∵22PEPDDE

＝

25

144

16＝34

5

4

，

14

1034

25PAB

S



344

．

∴

S

棱锥侧

43412216

PABPBCPCA

SSS



，∴几何体

111

ABCABC的侧面积

3

S3349212

4

S

几何体棱锥侧

12、解：（1）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分AD所成的比为2∶1，从而

ADAGPAPG

3

2

a，

)2(

2

1

)]()[(

2

1

)(

2

1

acbPAPCPAPBACABAD，

故)(

3

1

)2(

3

1

cbaacbaPG．

（2）逆命题成立，证明如下：

设D分

BC

所成的比为p，G分AD所成的比为q．

则

)(

11

PBPC

p

p

BC

p

p

BD









，

)(

11

PAPD

q

q

AD

q

q

AG









PC

p

p

PB

p

PBPC

p

p

PBBDPBPD













11

1

)(

1

，

于是，

)

11

1

(

1

PAPC

p

p

PB

pq

q

PAAGPAPG









=

PC

pq

pq

PB

pq

q

PA

q)1)(1()1)(1(1

1











因

3

1

PG(a+b+c)，故

3

1

)1)(1()1)(1(1

1











pq

pq

pq

q

q

，

解得q=2，p=1，于是G为△ABC的重心．