lnx的定义域

第四章导数专练

16

—导数小题（

1

）

一、单选题

1

．已知函数2

1

()2(2021)20212

2

fxxxflnx

，则

(2021)(f)

A

．

20022B

．

2021C

．

2020D

．

2019

解：由题意可知

2021

()2(2021)fxxf

x



，

令2021x，

(2021)20212(2021)1ff

，

(2021)2020f

，

故选：C．

2

．若2

1

()(2)

2

fxxblnx

在

(1,)

上是减函数，则b的取值范围是

()

A

．

(3,)

B

．

[3

，

)

C

．

(

，

3]

D

．

(,3)

解：根据题意，2

1

()(2)((1,))

2

fxxblnxx

，

()((1,))

2

b

fxxx

x







，

因为函数

()fx

在

(1,)

上是减函数，

所以

()0fx



在

(1,)

上恒成立，即

0

2

b

x

x





在

(1,)

上恒成立，

即得

(2)bxx

，令2()(2)(1)1gxxxx

，

((1,))x

，

根据二次函数性质可得，当

(1,)x

时，

()gx

单调递增，

故有

()gxg

（

1

）3在

(1,)

上恒成立，

故有

3b

．

故选：C．

3

．已知函数2()21xfxlnxxe

．若存在

0

0x

，使

0

()fxax

，则

a

的最大值为

()

A

．

0B

．1

C

．1eD

．21e

解：令

()1xhxex

，则

()1xhxe

，

则当

(,0)x

时，

()0hx

，

()hx

单调递减，

当

(0,)x

时，

()0hx

，

()hx

单调递增，

()(0)0

min

hxh

，则

()(0)0hxh

，即1xex．

令22()()2121xlnxxgxfxaxlnxxeaxlnxeax

2211(1)lnxlnxxaxax

，

若存在

0

0x

，使

0

()fxax

，则

()0

max

gx

，

即

(1)0ax

对任意0x都成立，即

(1)0a

，得

1a

．

a

的最大值为1．

故选：B．

4

．已知函数

1

()

lnx

fx

x





，则

()

A

．

1

()

2

ff

（

1

）

3

()

2

f

B

．

3

()

2

ff

（

1

）

1

()

2

f

C

．

13

()()

22

fff

（

1

）

D

．

31

()()

22

fff

（

1

）

解：根据题意，函数

1

()

lnx

fx

x





的定义域为

(0,)x

，

22

1

(1)

()

xlnx

lnx

x

fx

xx









，

令

()01fxx





，

()0001fxlnxx





；

()001fxlnxx





；

即得函数

()fx

在

(0,1)

上单调递增，在

(1,)

上单调递减，

所以可得

3

()(1)

2

ff

，

又因为

11

()2(1)2(12)

22

flnln

，

3232

()(1)(132)

2323

flnlnln

，

13222111

()()2232(1223)(129)(118)0

22333333

fflnlnlnlnlnlnlnln

，



13

()()

22

ff

，

即得

13

()()

22

fff

（

1

）．

故选：C．

5

．已知

(0,)x

，不等式xaxelnxx恒成立，则实数

a

的最小值为

()

A

．

1

e

B

．

2

e

C

．

0D

．

1

解：不等式xaxelnxx等价于不等式xaxelnelnxx，

令函数

()fxlnxx

，原问题等价于

()()axgegx

在

(0,)

恒成立．

1

()10gx

x



，



函数

()gx

单调递增，

故只需axex在

(0,)

恒成立即可．

即

lnx

axlnxa

x



，

令

()(0)

lnx

fxx

x



，则

2

1

()

lnx

fx

x





，

可得函数

()fx

在

(0,)e

递增，在

(,)e

递减，

()fx

的最大值为

f

（

e

）

1

e



，



1

a

e

，

故选：A．

6

．已知函数2

1

()()

2

xfxexxm

（是自然对数的底数）在0x处的切线与直线

210xy

垂直，若函数

()()gxfxk

恰有一个零点，则实数k的取值范围是

()

A

．

2

3

(,)

e



B

．

2

3

[,)

e



C

．2

2

3

(,)e

e



D

．2

2

3

(,)(,)e

e



解：函数2

1

()()

2

xfxexxm

的导数为2

1

()(1)

2

xfxexm

，

可得

()fx

在0x处的切线的斜率为1m，

由在0x处的切线与直线

210xy

垂直，可得12m，

解得1m，

则2

1

()(1)

2

xfxexx

，

函数

()()gxfxk

恰有一个零点，即为

()fxk

只有一个实根．

由

()fx

的导数为2

1

()(2)

2

xfxex

，

当22x时，

()0fx

，

()fx

递减；当2x或2x时，

()0fx

，

()fx

递增．

则2x处，

()fx

取得极大值23e，2x处，

()fx

取得极小值2e

，

则k的取值范围是22{}(3ee，

)

．

故选：C．

7

．已知关于

x

的不等式

(1)0xemxlnxlnm

在

(0,)

恒成立，则

m

的取值范围是

(

)

A

．

(1

，

1]e

B

．

(1

，

1]

C

．

(1e

，

1]

D

．

(1

，

]e

解：由

(1)0xemxlnxlnm

得

[(1)]xemxlnmx

，即

[(1)][(1)](1)[(1)]xlnmxexlnmxmxelnmx

，

构造函数

()xfxex

，则

()([(1)])fxflnmx

，

又函数

()fx

为增函数，

[(1)]xlnmx

，即

(1)xemx

，



1

xe

m

x

对任意

(0,)x

都成立，

令()1,0

xe

gxx

x

，则

2

(1)

()

xex

gx

x





，



当

(0,1)x

时，

()0gx

，

()gx

单减，当

(1,)x

时，

()0gx

，

()gx

单增，

()gxg

（

1

）1e，

1me

，

又10m，

11me

．

故选：A．

8

．若正实数

a

，b满足

2

222

2

b

lnalnba，则

()

A

．

1

22

4

ab

B

．

1

222

2

ab

C

．2ab

D

．240ba

解：根据题意，设

()1fxxlnx

，其定义域为

(0,)

，

其导数

11

()1

x

fx

xx





，

在区间

(0,1)

上，

()0fx

，

()fx

为减函数，

在区间

(1,)

上，

()0fx

，

()fx

为增函数，

则

()

min

fxf

（

1

）0，则

1xlnx

，即

1xlnx

，

又由

22

22222

22

bb

aaab

，当且仅当24ba

时等号成立，

而222

1

1()1

2

ablnablnalnb

，

变形可得：

2

222

2

b

alnalnb，即

2

222

2

b

lnalnba，

又由

2

222

2

b

lnalnba，

必有

2

2

4

1

ba

ab











，解可得

1

2

2

a

b















，

分析选项可得B正确，

故选：B．

二、多选题

9

．已知函数2()(2)xfxxxe

，则

()

A

．函数

()fx

在原点处的切线方程为

2yx

B

．函数

()fx

的极小值点为

2x

C

．函数

()fx

在

(,2)

上有一个零点

D

．函数

()fx

在R上有两个零点

解：函数2()(2)xfxxxe

，

22()(22)(2)(2)xxxfxxexxexe

，

(0)2f

，



函数

()fx

在原点处的切线方程为

2yx

，故A正确，

令

()0fx

，解得

2x

，

当

2x

或

2x

时，

()0fx

，函数

()fx

单调递增，

当

22x

时，

()0fx

，函数

()fx

单调递减，



函数的极小值点为

2x

时，极大值点为

2x

，故B错误，

令2()(2)0xfxxxe

，解得0x或2x，



函数

()fx

在

(,2)

上没有零点，故C错误，D正确．

故选：AD．

10

．关于函数

2

()fxalnx

x



，下列判断正确的是

()

A

．函数

()fx

的图象在点1x处的切线方程为

(2)40axya

B

．

2

x

a



是函数

()fx

的一个极值点

C

．当1a时，

()21fxln

D

．当1a时，不等式

(21)()0fxfx

的解集为

1

(,1)

2

解：

()fx

的定义域是

(0,)

，

2

2

()

a

fx

xx



，

对于:1Ax时，

f

（

1

）2，

f

（

1

）2a，

故过

(1,2)

，2ka的直线方程是：

2(2)(1)yax

，即

(2)40axya

，

故A正确；

对于

22

22

:()

aax

Bfx

xxx





，

0a

时，

()0fx

，

()fx

在

(0,)

递减，

故B错误；

对于:1Ca时，

2

()fxlnx

x



，

2

2

()

x

fx

x





，

令

()0fx

，解得：2x，令

()0fx

，解得：02x，

故

()fx

在

(0,2)

递减，在

(2,)

递增，

故

()fxf

（

2

）21ln，

故C正确；

对于:1Da时，

2

()fxlnx

x



，

2

2

()0

x

fx

x





，

()fx

在

(0,)

递减，

不等式

(21)()0fxfx

，即

(21)()fxfx

，

故

210

0

21

x

x

xx

















，解得：

1

1

2

x

，

故D正确；

故选：ACD

11

．已知函数

()fx

的定义域为

(0,)

，导函数为

()fx

，

()()xfxfxxlnx

，且

11

()f

ee



，

则

()

A

．

1

()0f

e



B

．

()fx

在

1

x

e



处取得极大值

C

．

0f

（

1

）1

D

．

()fx

在

(0,)

单调递增

解：令

()

()

fx

gx

x



，则

22

()()

()

xfxfxxlnxlnx

gx

xxx





，

2

1

()

2

gxlnxc

，即2

()1

2

fx

lnxc

x



，

则2()

2

x

fxlnxcx

．

又

111

()

2

c

f

eeee



，

1

2

c

．

则2()(1)

2

x

fxlnx

．

22

111

()(1)0

222

fxlnxlnxlnx

，

则

1

()0f

e



，故A正确；

()fx

在

(0,)

单调递增，故B错误，D正确；

f

（

1

）

1

(0,1)

2



，故C正确．

故选：ACD．

12

．已知函数

()2xfxex

的零点为

a

，函数

()2gxlnxx

的零点为b，则下列不等

式中成立的是

()

A

．

2aelnb

B

．

2aelnb

C

．223ab

D

．1ab

解：由

()0fx

，

()0gx

得

2xex

，2lnxx，函数xye

与

ylnx

互为反函数，

在同一坐标系中分别作出函数xye

，

ylnx

，

2yx

的图象，

如图所示，则

(,)aAae

，

(,)Bblnb

，

由反函数性质知A，B关于

(1,1)

对称，则2ab，

2aelnb

，

2()

1

4

ab

ab



，

A、B错误，D正确．

()10xfxe





．

()fx

在R上单调递增，且

(0)10f

，

13

()0

22

fe

，



1

0

2

a

．点

(,)aAae

在直线

2yx

上，即

2aeab

，

2222

1

3

4

aabaee

．C正确．

故选：CD．

．

三、填空题

13

．若函数32

11

()23

32

fxxxx

在区间

(1,1)kk

上不是单调函数，则实数k的取值范

围是．

解：32

11

()23

32

fxxxx

，

2()2(2)(1)fxxxxx

，

令

()0fx

，解得：1x或2x，

令

()0fx

，解得：21x，

故

()fx

在

(,2)

递增，在

(2,1)

递减，在

(1,)

递增，

若

()fx

在

(1,1)kk

不单调，

则121kk或111kk，

解得：31k或02k，

故k的取值范围是

(3

，

1)(0，

2)

，

故答案为：

(3

，

1)(0，

2)

．

14

．函数

2

()sin(

x

xx

e

fxxe

ee





为自然对数的底数）在区间

[1

，

1]

上的最大值和最小值之

和等于．

解：

2

()sin()1sin

xxx

xxxx

eee

fxxfxx

eeee











，

设

()()1hxfx

，

[1x

，

1]

，

则()sin()sin()

xxxx

xxxx

eeee

hxxxhx

eeee











，所以

()hx

为奇函数，

2

22

4

()()cos0

(1)

x

x

e

hxfxx

e





，

因此函数

()hx

在

[1x

，

1]

上单调递增．

()hx

的最大值和最小值之和h（

1

）

(1)0h

，

故

()fx

在区间

[1

，

1]

上的最大值和最小值之和为

2

．

故答案为：

2

．

15

．已知函数

()gx

满足

()gxg

（

1

）12

1

(0)

2

xegxx

，且存在正实数

0

x

使得不等式

0

21()mgx

成立，则

m

的取值范围为．

解：

()gxg

（

1

）12

1

(0)

2

xegxx

，

()gxg

（

1

）1(0)xegx

，

令1x，则

g

（

1

）

g

（

1

）

(0)1g

，解得

(0)1g

．

1(0)gg

（

1

）1e，解得

g

（

1

）

e

．

2

1

()

2

xgxexx

，

()1xgxex

，

可得

()gx

在

(0,)

上单调递增，

()(0)0gxg

，



函数

()gx

在

(0,)

上单调递增，

()(0)1gxg

．

存在正实数

0

x

使得不等式

0

21()mgx

成立，

21()

min

mgx

，

211m，解得

1m

．

m

的取值范围为

[1

，

)

．

故答案为：

[1

，

)

．

16

．已知函数

()fx

是定义在

(0,)

上的连续单调函数，若

1

[()2]20ffxlnx

x



，则

不等式

1

2()efx

e



的解集为．

解：令

1

()2(0)tfxlnxt

x



，

则

()20ft

，即

()2ft

；①

又

1

()2fxlnxt

x



，②

由①②，得

1

()22ftlntt

t



，即

1

0(0)lnttt

t



．

令

1

()(gtlnttylnt

t



，

yt

，

1

y

t



在

(0,)

上均为增函数），

则

1

()gtlntt

t



在

(0,)

上为增函数，且

g

（

1

）1110ln，

所以1t，

所以

11

()21()1fxlnxtfxlnx

xx



，

又

11

()12flnee

ee



，

f

（

e

）

11

1lne

ee



，

()fx

在

(0,)

上为增函数，

因此，不等式

11

2()()()efxffxf

ee



（

e

），

所以

1

xe

e

，即不等式

1

2()efx

e



的解集为

1

[

e

，

]e

，

故答案为：

1

[

e

，

]e

．