欧拉恒等式

数学大师欧拉：“他是我们所有！”

近年来，一种名为“数独”的填数游戏风靡全球。这种游戏规则极其简单，玩法却变化多端，

令全世界的男女老少为之痴狂。2004年，英国《泰晤士报》开风气之先，在报上公布“数独”

题目娱乐大众。从那时起，短短几年光景，如今全世界大约有60个国家的350多家报纸几乎

天天刊登“数独”游戏题目。近两年来，中国各地的日报、晚报后起直追，划出专门的版面，

天天报道有关“数独”竞赛的消息，刊载“数独”题目。各国各大城市纷纷举办“数独”竞赛。在

英国，“数独”竞赛上了电视台的黄金档节目。2006年在意大利举行了第一届世界“数独”锦

标赛，获奖者被认为“智商超群”，在全世界备受瞩目。

不少“数独”爱好者都知道，这种游戏的普及多亏了一位名叫戈尔德的新西兰人。此人曾

在香港担任法官15年，1996年退休以后的一次旅行途经日本，在机场偶然发现介绍“数独”

游戏的小册子。戈尔德立刻着迷，从此专注于“数独”游戏的开发推广，他也因此而发了大

财。但鲜为人知的是，“数独”游戏本身虽非数学问题，但是其来源却是一种被称之为“拉丁

方阵”的古老数学问题，最先对它展开研究的是18世纪传奇而又高产的大数学家莱昂纳德·欧

拉。

对于“拉丁方阵”的研究，在欧拉的学术范围内并不占据主要位置。这个问题源自于当年

普鲁士国王腓特烈为他的仪仗队排阵。国王有一支由36名军官组成的仪仗队，军官分别来自

6支部队，每支部队中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求这36名

军官排成6行6列的方阵，每一行，每一列的6名军官必须来自不同的部队，并且军衔各不相

同。问题看似简单，腓特烈绞尽脑汁却怎么也排列不出来，于是向著名的数学家欧拉求教。

欧拉研究之后告诉国王，不必枉费心机，因为这个问题根本无解。欧拉之后，很多数学家开

始研究“拉丁方阵”，并留下很多这方面的定理。

欧拉是一位300年前的人物，可他始终距离我们不远，因为他为人类创造的智慧财富我

们每天都在享用。今天所有的中学生都知道：在几何中用a、b、c与A,B,C分别表示一个三

角形的三条边与三个内角，用π表示圆周率；在三角函数中使用基本的符号，例如sinA表

示A角的正弦函数等等；在代数中用i表示虚数单位，也即是“-1的平方根”，用f(x)表示函

数；在立体几何中揭示多面体的欧拉公式，即顶点数-棱数+面数=2。这些统统都是欧拉的创

造。以欧拉冠名的定理、常数和公式随处可见。此外，欧拉还涉足物理、天文、建筑、音乐

乃至哲学，并且成就辉煌。几乎在每一个数学领域里都可以看到欧拉的名字和影子。仅以数

论为例，欧拉是“解析数论”的奠基人，“哥德巴赫猜想”就是在他与哥德巴赫的通信中产生的。

更为重要的是他证明的“欧拉恒等式”，影响巨大。黎曼所提的、至今未能解决的世界难题“黎

曼猜想”就源自于“数论”中的“欧拉恒等式”，它依然挑战着21世纪的数学家们。

欧拉成就斐然,著作等身，在人类科学发展史上的地位极其特殊，能与他相提并论的科

学家只有阿基米德、牛顿和高斯。这四位先哲不仅创建发展理论，还应用他们的理论，跨越

学科界限，解决了大量天文、物理和力学等方面的问题。因为他们的目光注视的并非是那些

具体问题，而是整个宇宙，毕生致力于揭示宇宙的奥秘。

后世的数学家们无不推崇欧拉。大数学家拉普拉斯谦卑地说：“他是我们所有人的导师”；

有“数学王子”之称的天才数学家高斯崇敬地说“欧拉的研究工作是无可替代的”。

各国人民都以不同的方式纪念这位数学大师。瑞士法郎上就印着欧拉的肖像，目前在流

通的货币上有其肖像的科学家只有两位，另一位是英镑上的牛顿。半个世纪前，民主德国和

西德、前苏联和瑞士都分别发行过纪念邮票，纪念欧拉诞辰250周年。

2007年，适逢欧拉300年诞辰，瑞士再次发行了纪念邮票。中国与瑞士两国政府在北京

共同举办了隆重的纪念活动。这是十分罕见的，也是欧拉当之无愧的。瑞士教育与研究国务

秘书查尔斯·克莱伯致词说：“若是没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样

的生活。”

巴塞尔：数学与神学困难抉择

欧拉于1707年4月15日出生在巴塞尔，一个瑞士西北部与法国和德国毗邻的小城。美丽

的莱茵河蜿蜒穿城而过，瑞士最古老的高等学府巴塞尔大学就在这里。

欧拉的父亲是位专职的传道牧师，但是非常喜爱数学。在这位乡村牧师的书房里，除了

神学书籍之外，就是数学书籍。他给童年的欧拉讲过许多有趣的数学故事。欧拉后来满怀深

情地回忆父亲对他数学的启蒙，永远记得那些令他听得入迷的故事。例如，印度国王舍罕打

算奖赏那发明了象棋的大臣，问大臣想要什么。聪明的大臣请求赏赐一些麦粒，要求的数量

是：在棋盘的第一格里放1粒，第二格里放2粒，第三格里放4粒，第四格里放16粒……依此

类推，把棋盘上的64格都放满。舍罕国王和众人都未曾料到，国库内的麦子都搬光了以后，

棋盘格子的多一半还空着呢！

这个“幂级数求和”问题的故事，深深震撼了欧拉的心灵，使他感到了数字的力量与迷人。

在父亲的书房里，10岁的欧拉自学了德国数学家鲁道夫写的《代数学》，做完书里的全部习

题，毫不吃力。辅导欧拉自学的是学识渊博的数学家约翰·伯克哈特，欧拉没齿不忘的启蒙

恩师。

欧拉渐渐展现出他那过人的智慧，那善于解决实际问题的超级才能。他的牧师父亲不仅

“牧人”也牧羊，羊群是他家的主要生活来源，欧拉则是牧童。当家里的羊群不断增多接近百

只的时候，父亲决定扩大羊圈。他计划建造一个长方形新羊圈，长40米，宽15米，面积正好

600平方米。算一下需要110米的材料做围栏，但他只有100米材料，于是打算缩小羊圈的面

积。这时候，欧拉却告诉父亲，只要改变羊圈桩脚的位置，造一个25米见方的正方形羊圈，

材料足够，面积还会增加到625平方米呢！

牧师认为儿子智力非凡，得让儿子接受优良的教育。他当然知道，良师益友对于一个人

的成长何其重要。牧师年轻时曾在巴塞尔大学读神学，从而结识了那里的数学与物理教授雅

各布·伯努利和约翰·伯努利，这两兄弟都是著名的大数学家。伯努利家族是个数学世家，三

代人出了8个有名的数学家。约翰·伯努利有两个儿子，名叫尼古拉和丹尼尔，兄弟二人像他

们的父亲和伯父一样，酷爱数学，日后也都成了世界著名的大数学家。他们把聪明的欧拉当

成小弟弟，经常给他绘声绘色地讲那些有趣的数学知识，使欧拉受益匪浅。他们同欧拉的友

谊延续了一生。

约翰·伯努利教授很快就发现了欧拉的天分，决定加意培养。他推荐欧拉进入了巴塞尔

大学，那年欧拉仅仅13岁。欧拉主修神学，他花很多时间学习希伯来语和希腊语，为的是能

念懂圣经《旧约全书》和《新约全书》的原文。

巴塞尔大学聚集着一大批欧洲著名的学者，例如大哲学家尼采当年在那里讲授“古典文

献学”，他的代表作《悲剧的诞生》就是在巴塞尔大学任教期间写出来的。

在必修的神学课程之外，少年欧拉也学习令他入迷的数学，成为约翰·伯努利教授的学

生。他在班上年纪最小，但最聪明。他勤奋好学，坐在最前一排，聚精会神地听讲。约翰·伯

努利不愧是大数学家，讲课中尽情挥洒，旁征博引，给学生剖析展现数学的核心思想，还引

导学生们思考当时数学家们所关注的尚未解决的难题。欧拉在大师的课上不仅学到丰富的知

识，还逐渐认识到数学的真谛，对数学的兴趣与日俱增。

欧拉出众的才华得到进一步的展露，他常常成为班上唯一敢于向伯努利教授提出的难题

冲锋，并且提出解决想法的学生。欧拉鹤立鸡群，这令伯努利教授非常惊喜，开始对欧拉因

材施教，单独授课。欧拉在自传中回忆道：“著名的约翰·伯努利教授给了我许多宝贵的指教，

引导我独立地阅读那些艰深的数学著作，研究其中的问题。他每星期六下午与我见面，和蔼

地为我解答问题，严格地规定我必须读通与牢记的那些最重要的数学，指导我一步一步地走

向数学的前沿。伯努利教授知道训练数学家的最好的方法，我受益终生。”欧拉对恩师的感

激之情跃然纸上。顺便说一句，在古代数学家中间，我们对于约翰·伯努利的了解最多，这

多亏了欧拉勤于写作，仔细地记载了许多有关他的恩师的故事。

1722年，15岁的欧拉在巴塞尔大学获得学士学位。次年，欧拉又获得了硕士学位。他是

这所古老大学有史以来最年轻的硕士。

欧拉的父亲是一位虔诚的牧师，自然希望欧拉子承父业，把精力用在钻研神学上，日后

能够成为职业传道人。欧拉笃信基督，愿意“为主做工”，何况这是父亲的强烈愿望。可他同

样钟情数学，实在难以割舍。欧拉陷入两难局面，犹豫彷徨。约翰·伯努利教授也是一位虔

诚的基督徒，既理解牧师，更了解欧拉，他知道该怎么办。这位大学者为此事亲自登门拜望

牧师，坦诚地说：“亲爱的牧师，请相信我的眼力。您的儿子无疑将是瑞士有史以来最伟大

的数学家。百里挑一、才气横溢的青年，我见过不少，但无人能和您的儿子相比。我来府上

是请求您重新考虑您的决定。”欧拉的父亲虽被伯努利教授打动了，但对儿子是否会因埋头

数学而远离基督，不无担心。伯努利教授明白牧师的心思，继续说：“数学不会动摇任何人

虔敬的信仰，您的儿子应该成为数学家中的神学家!”

伯努利教授慧眼识珠，坚信欧拉日后必定是数学天空中一颗最明亮的星辰。16岁的欧拉

成为伯努利教授的研究助理，从此与数学相伴一生。

大师的关键作用就在于此。尽管欧拉天赋过人，但要是没有伯努利教授慧眼独具的赏识、

循循善诱的教育与苦心孤诣的栽培，也许欧拉会如一颗珍珠，永远淹没在大海里。

巴塞尔大学在当年是医药学的研究重镇，兴趣广泛的欧拉又涉猎生物医学，并且运用他

的数学能力去解决生物医学问题。欧拉建立了一个耳膜结构与声波共振的数学模型，使得医

学研究精确化，从而发展了生物医学理论，令巴塞尔的医学教授们惊叹。欧拉因其出色的研

究工作，连续12年获得巴黎科学院的头等大奖。

圣彼得堡：高压下自由驰骋

在欧拉的时代，瑞士和大多数国家一样，不重视理论数学的研究，也不为数学家提供生

存与发展的机会。除去为数不多的大学教职之外，数学家能够赖以谋生并且施展才华的职位

很少。而且18世纪以前的欧洲的大学也不是主要的学术研究机构。那些有才智、有抱负的数

学家只好远离家乡，去法国、德国，甚至俄国寻求发展的空间。这些国家的君王具有远见，

在他们的推动之下，巴黎科学院、柏林科学院和彼得堡科学院相继成立。拿破仑的数学很不

错，自称是位几何学家，并与巴黎的许多数学家交上了朋友。数学史上最活跃的、值得大书

特书的辉煌时期来临了。

俄国彼得大帝时代，国家的安定和君王的雄才大略为科学的发展创造了春天。叶卡捷琳

娜继位后的两年内，完成了彼得大帝的遗愿，在首都圣彼得堡成立了国家科学院，在全国乃

至欧洲网罗招聘人才。各国杰出的科学家们慕名前往。1725年约翰·伯努利教授的两个儿子

丹尼尔·伯努利与尼古拉·伯努利双双应聘来到俄国科学院，担任专职的数学研究员，随后向

女沙皇推荐了他们的年轻朋友，天才数学家欧拉。

1727年，欧拉踌躇满志地来到圣彼得堡。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天，5

月17日，女皇叶卡捷琳娜一世去世了。继任沙皇疯狂地残杀异己，加之贵族纷纷武装起来，

争权夺利，互相讨伐，俄国随之陷入长达20年内战的黑暗岁月。初到圣彼得堡的几年里，欧

拉经常看到的是挂在绞刑架上的“罪犯”，一队队流放到西伯利亚去的“叛逆”。残酷内战中的

俄国人，不仅袍泽之间彼此无情地杀戮，更加仇视外国人。外国人纷纷逃离俄国，科学院风

雨飘摇。欧拉也曾经受到秘密警察的监视，处境十分艰难。“风雨如晦，鸡鸣不已。”那以后

的6年时间里，欧拉埋头于自己的研究，完全沉浸于数学王国，新政权也不再为难他。尼古

拉·贝努利在彼得堡溺水身亡，丹尼尔·贝努利在离开故国8年之后，思乡情切，决定离开俄国，

返回瑞士。1733年，俄国进入了安娜·伊万诺夫娜女皇时代，疯狂的屠戮虽未结束，但局面

略微好转。欧拉接替了丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院的数学教授职位，持续研究数学长

达15年之久。

同年，欧拉与格塞尔小姐结婚。她的父亲是位画师，是彼得大帝游历西欧国家时，把他

从瑞士请来的。两家是同病相怜的异乡异客，欧拉与格塞尔相濡以沫。若干年后，妻子病逝，

欧拉续娶的则是她的同父异母妹妹。两个女人一共生了13个孩子，欧拉常常一边抱着婴儿一

边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏。他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数

几位大科学家之一。

当时彗星轨道的计算问题是一个摆在所有天文学家面前的棘手的难题。为此，法国在

1735年设立了一项天文学的大奖。欧洲数学家们估计，解决这个问题至少要几个月的时间。

没有人想到，欧拉攻克这个难题仅仅用了三天三夜。他提出了一套计算彗星轨道的新方法，

其计算的基本原则沿用至今。但欧拉为此付出了惨痛的代价，他累得病倒了，并从此失去了

右眼的视力，那年他才28岁。

欧拉在这段时间里几乎与世隔绝，没有社交酬酢，没有会议交流，唯有闭门钻研，读书

写作。《欧拉全集》中的一大部分就是他在这个时期的作品。欧拉能如此罕见地笔耕多产，

很大程度上是因为他对数学的极度热爱与眷恋。他说：“数学家与艺术家是一样的充满激情。

米开朗基罗以对上帝无比的眷恋，一笔一笔地在大教堂的天花板上描绘出那美轮美奂的图

画，我则是一笔一笔地描述数学，它是上帝的花园中那些美丽迷人的花卉。”

欧拉虽然在高压与困苦中孤军奋战，但因其学富五车、著作等身，他的书籍和论文传遍

欧洲，而被当世人称为“数学的顶梁柱”。

柏林：冷眼中一往情深

世界科学的发展往往由一个时代的最重要的科学家所引领，他们的名字也因此而成为那

个时代的里程碑。人们说17世纪是牛顿的时代，18世纪无疑属于欧拉，那时欧洲各国数学

家们谈论的都是“欧拉的数学”，他的名声已经传遍欧洲大陆。在伊万诺夫娜女皇退位后，普

鲁士国王腓特烈盛情邀请欧拉到柏林科学院担任数理学院院长，宫廷数学家，并兼任公主安

哈特·蒂苏的老师。

普鲁士王太后对诚恳老实、稳重谦逊、淳朴温和的欧拉颇具好感，喜欢和欧拉聊聊天，

但却谈不起来，因为欧拉非常紧张，只是用“是”与“否”回答王太后。王太后不解，这位举世

闻名的大学者何以如此谨言慎行？欧拉回答说：“我在那样一个国家居住了十几年，那里的

人若是说错了话就会被吊死。”

腓特烈国王年轻时数学读得很费劲，也不喜欢数学家，但非常支持数学研究，也敬重欧

拉，因为他知道数学是一门很难学但很有用的学问，欧拉又是个绝顶聪明的人。腓特烈对哲

学情有独钟，更喜欢结交有名的哲学家。法国启蒙主义思想家伏尔泰曾是腓特烈的座上宾，

有一次欧拉奉命作陪。伏尔泰口若悬河，长袖善舞，取悦腓特烈。他言谈话语中不断夹杂着

欧拉听不懂的名词。欧拉生性谦恭，不善应酬，无法与其周旋。腓特烈却认为欧拉孤陋寡闻，

不能当宫廷科学院的头面人物，并因此萌生了要撤换欧拉数理学院院长的念头，他想到了法

国大数学家达朗贝尔。

达朗贝尔是“偏微分方程”这一学科的创始人，也是世界上第一部影响巨大的百科全书的

副主编，担任数理学院院长当然够格。但是达朗贝尔直率地拒绝了腓特烈国王，并且说：“没

有任何数学家的地位可以在欧拉之上。”

“不要人夸颜色好，只留清气满乾坤。”尽管受到保守的国王的冷眼与排斥，欧拉丝毫不

减他对数学的热忱，执掌了普鲁士数学界长达25年，那也是德国历史上数学最辉煌的时期。

在柏林期间，他的研究领域非常宽泛，尤其在微分方程、曲面微分几何等方向上，进行了开

拓性的探索。此外在物理与力学方面，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学等学科的研

究上，也取得了重大的突破性成就。

欧拉重视数学教育，虽然没有很多机会亲自授课，但写过许多通俗生动的数学读物。他

还特意为青少年写过一本书——《给德国公主的信》，其中谈到对物理、数学乃至所有科学

的思维、语言文字乃至文学、真理、信仰的看法。

欧拉自始至终固守他那来自基督教家庭、自幼就建立起来的信仰。尽管非常不喜欢抛头

露面，又不善言辞，可是一旦遇上那些大牌哲学家鼓吹无神论，欧拉就如勇士一般，冲上前

去，与之辩论。有趣的是，欧拉在辩论中所使用的论据都是取自他最熟悉的数学。

休谟是位英国的哲学家和历史学家，同时也是位外交官，曾出使法国，后来还当上了英

国的副国务大臣。他是经验主义哲学的代表人物，其著作如《人性论》和《自然宗教对话录》

等对后世颇有影响。1765年前后，休谟在担任驻法大使临时代办期间，四处宣讲，批判所谓

“宇宙设计论”，给予基督教沉重的打击。休谟的无神论基本观点是：因为无人能从物质上或

理性上证明上帝的存在，所以上帝根本不存在，那仅仅是某些人信仰的对象罢了。

休谟曾游历普鲁士，不忘宣讲他的无神论。欧拉公开挑战，反驳休谟，颇为有趣：

“你知道什么是-1的平方根(即-1)吗?它既看不见也摸不着，这个数字既不等于0，也不大

于0，也不小于0。按照你的逻辑，你该说：-1的平方根是不存在的物质，所以数学里不该

有它。但是，如果没有负数的开平根，就不可能把12分解成两个数字之和，其乘积等于40。

[注：12=(6+-4)+(6--4)]世界上看不见的，却深深存在于我们意识里的事物太多了，你知道吗？

即使我们无法用物质去证明-1的平方根之存在，它事实上却存在着，否则数学都不存在了。

因此，你所说„无法用物质证明其存在的，其实就是不存在的‟，这是大错特错！让我告诉你：

上帝依然存在，即使无法用物质去证明。”

难怪人们说欧拉像一只鸟，翱翔在天空靠着双翼，一翼是数学，另一翼则是信仰。也许

人们更该惊叹约翰·伯努利教授的先见之明，欧拉真的可以称得上是数学家中的神学家!

虽然欧拉没有成为一位专职传道士，但他笃信基督。那浸润在灵魂深处的信仰，赋予了

欧拉一颗仁爱宽厚之心。欧拉品格高尚，为人谦卑，即使在成为举世瞩目的大数学家后，他

不忘师恩，继承和发扬了大师风范，提携培育新人，以使科学事业薪火相传。他用生动的语

言编写了大量的数学书籍，旨在吸引和培育有才华的青年，引导他们步入数学的殿堂。不仅

如此，欧拉胸怀宽广，亲手提携后起之秀，例如他栽培大数学家拉格朗日成名的故事，即在

数学史上传为美谈。

当时，19岁的法国后起之秀拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”。这个问题属于一类所

谓“广义极值”的问题，它的研究与解决产生了一个新的数学分支“变分法”。这个名词就是欧

拉定的，当时他也在研究这一类问题。“广义极值”问题更早可以回溯到牛顿、莱布尼兹和伯

努利们的时代。当年，约翰·伯努利提出那个著名的“最速降线问题”，挑战其他数学家，可

看作是“变分法”的起源。欧拉同拉格朗日一样，也找到了解决这类问题的一般方法，但他故

意压下自己的论文，而让拉格朗日率先发表其研究成果。拉格朗日成为“变分法”的开创者，

一举成名。后世的数学家们明白了真相，如今的教科书里公正地称欧拉和拉格朗日都是“变

分法”的创始人：“变分法”中的基本方程就以欧拉的名字命名；“变分法”中的一条非常基本

与重要的原理则被称为欧拉—拉格朗日定理。

重返圣彼得堡：黑暗里再造辉煌

欧拉旅居柏林期间，俄国人没有舍弃他，尽管俄罗斯与普鲁士当时处于敌对关系。彼得

大帝的女儿伊丽莎白继承俄国沙皇王位，对欧拉十分尊崇与关照，继续支付给欧拉院士津贴。

当俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉在当地的农庄误遭抢劫，女皇知道后特意安排赔偿。

女皇叶卡捷琳娜二世登基以后，励精图治，承续彼得大帝开创的事业，国家的科学文化

重新获得发展良机。然而这时俄国的数学已经落后于西欧，叶卡捷琳娜二世想起了正在普鲁

士执数学之牛耳的欧拉，于是亲自下令搬请欧拉重回彼得堡。1766年，当欧拉回到寒冷的

圣彼得堡的时候，叶卡捷琳娜二世已经为他准备好一套供18个人居住都绰绰有余的豪宅，她

知道欧拉孩子多。女皇还亲自在皇宫设宴，以皇室的高规格接待这位曾为俄国做出无与伦比

贡献的老数学家。

拿破仑是结交数学家最多的国王，而与皇家来往最多的数学家当属欧拉。俄国的四位女

皇都对欧拉极其尊重，给予他皇室规格的礼遇。

相形之下，普鲁士国王实在是冷落了欧拉多年。欧拉其实并不十分在意国王的冷眼，应

召返回圣彼得堡是因为他早已把俄国视为第二故乡。可他这一“跳槽”，客观上令国王失去颜

面。腓特烈心理也开始不平衡了，他曾写信给拉格朗日说：“欧洲最伟大的国王希望欧洲最

伟大的数学家在他的宫里。”

欧拉在他快60岁的时候，左眼又患上了白内障，有人说那是他工作的劳累和俄罗斯的严

寒气候所造成的。欧拉视力一天天衰退，他做研究完全靠心算推导。在还能朦朦胧胧地看见

东西的几年里，他用粉笔大字把想到的算式与关键推理步骤写在一块大黑板上，再口述一些

必要的文字说明，解释他的想法与推导过程，让大儿子或学生记录下来。而在完全失明后，

他就只能凭借自己那超级记忆力和心算能力，进行数学计算与推导，继续发明一条又一条的

数学公式和定理了。

如此工作长达17年，直至逝世。他研究了天文学中的“三体问题”，一个刻画太阳、地球

和月亮在相互引力下运动规律的难题。欧拉特别地对于“月球的运动与摄动”的问题进行了深

入研究，建立了月球围绕地球运动的完整理论和准确计算方法。他的研究报告问世后立即引

起轰动。众所周知，这是牛顿生前曾经尝试过，但却未能解决而抱憾终生的大问题。

欧拉对于上帝的信仰是无可动摇的，晚年依然为捍卫信仰而与当时的无神论学者们辩

论。当大名鼎鼎的哲学家狄德罗到俄国来宣传无神论时，欧拉又一次迎上前去，与他在宫廷

辩论。

欧拉的想法是，上帝的存在超越人们的认识与理解能力。若是仅仅以自身的所谓学识或

经验来论证上帝存在与否，势必浅薄，毕竟人类尚不能认识的事物太多了。越是人类不能解

释，而又客观存在着，并且呈现奇妙规律的东西，则越是昭示着万能的上帝之存在。欧拉对

狄德罗开门见山，只说了一句话，狄德罗就知难而退了。

欧拉说的又是数学，那个连现在的高中生都知道的“欧拉公式”：

eiπ+1=0

这是一个欧拉从数学逻辑与运算上证明了的、令数学家乃至世人倍感奇妙与震惊的公

式。公式可以得到完美的数学证明，也并不难，高中生都能听懂。但人们其实并不明白：何

以一个简单到不能再简单的数学表达式，竟然把科学中最常用的5个常数联系在一起？无法

解释的奥妙！欧拉在说出那个公式后，接着说：“所以上帝存在，请回答！”狄德罗非常聪明，

马上明白了欧拉的意思。他也不懂欧拉的数学，于是甘拜下风，不再争辩。人们对于欧拉的

有神论也许不敢苟同，但对他那独特的、奇妙的思维方式定会由衷地赞叹，坚信只有像欧拉

那样全身每一个细胞都为数学呼吸，每一根神经都为数学紧张的人，才能为数学书写辉煌的

历史。

眼睛看不见了，但意志坚强，思维依然活跃。欧拉在黑暗中，除发表了大约400篇研究

论文之外，还完成了《微积分原理》、《积分学原理》与《代数学引论》等名著，有俄文、德

文与法文的几种版本，都是后世几代数学家必读的课本。因此，19世纪的大数学家高斯说：

“研读欧拉的著作，永远是学习数学的不二法门。”

众所周知，牛顿和莱布尼茨是“微积分”的创始人，读他们的原著令人有恍若隔世，相距

遥远之感。而250年前，欧拉写的数学已经就是今天数学的形式。应当说，欧拉是推动数学

走向现代化的巨擘。

欧拉之所以能够在失明后继续高效率地工作，多亏了他那出奇的超级记忆力：他能铭记

那个时代所有重要的数学结果，不仅背得出前100个素数，还背得出其中每个素数的前10次

幂。

欧拉善于心算，非常人所能。一次，他的两个学生分别计算一个收敛级数的前17项之和，

可是他们的计算结果却不一样。那和数有50位数字之大，欧拉只凭心算，找出了学生的错误。

此外，欧拉酷爱古典文学，他能背诵古代罗马诗人维吉尔的史诗《安涅尔》。他认为那

诗歌的结构和韵律尽善尽美，诗句词语优美典雅，堪称文学典范。

优美的诗歌在欧拉心中引起强烈的共鸣。这表现在凡他做的数学，都呈现出特殊的优雅，

结构严谨清晰，推理天衣无缝，运算简洁顺畅，该详细解释的地方绝不吝惜笔墨，其他部分

则言简意赅。欧拉的文章如行云流水，也如乐曲，跌宕起伏。据统计，欧拉一共写了886本

著作，生前出版了530本。

万代宗师：苦难尽巧思传世

1771年，彼得堡发生一起大火，欧拉的住宅也被烈焰吞噬，双目失明的老欧拉被大火围

困，幸亏一个仆人奋不顾身闯入火海，把他背了出来。无情的大火烧毁了他的房子、藏书与

手稿，不仅给欧拉，更给全人类造成了无可弥补的损失。

欧拉喜欢他的孩子，他居然能一面抱着小孩子，一面给大孩子讲故事，心里却在思考他

的数学。在欧拉的遗物中，有孩子们小时候用过的“围嘴”和擦嘴纸巾，因为那上面有欧拉随

手写上去的运算或推理的手迹。他常常和孩子们一起做数字游戏，每天晚上把儿女们聚在一

起，对他们讲讲有趣味的数学故事，临睡前，再领着孩子们祷告。天伦之乐，其乐融融，欧

拉的长子在回忆父亲的一篇文章中深情地写道:

父亲常为我们读书，他朗读得非常动听，令我们入迷。我们就央求他再读一遍。父亲的

记性真棒，过目成诵。读过一遍后，他就把书合起来，然后给我们从第一行背诵到最后一行。

父亲脑子里记得住所有的数学公式，能心算极其复杂的数学。从父亲身上，我明白了，数学

不仅需要理解，也需要记忆。

然而好景不长，欧拉一生中多次遭遇丧子之痛，13个子女中就有8个先后夭折。1776年，

他的第二个妻子也过世了。欧拉一生成就辉煌，但历经苦难，他留下的遗言说：“上帝与我

同在，支撑着我度过了所有的苦难的岁月。”

1783年9月18日下午，欧拉邀请同事们一起吃饭，朋友前来祝贺欧拉成功地建立了描绘

气球上升运动的数学模型。聚会之后，欧拉又列出了如何计算刚刚发现不久的天王星轨道的

要点。之后，年迈的欧拉一边喝茶吸烟，一边还不忘逗他的孙子们发笑。突然，他的烟斗从

手中落地，口中喃喃：“我要死了。”欧拉最后的一刻终于到了，苦难结束了。他活了76岁。

欧拉死了，但他留给后人的著作浩如烟海。他生前说过，他的遗稿足够《圣彼得堡科学

院学报》刊登20年。

事实上，圣彼得堡科学院组织人整理欧拉遗著足足忙活了47年。而在欧拉死后的80年中，

《圣彼得堡科学院学报》持续不断地发表经过后人整理的欧拉手稿。欧拉的高产在数学史上

独一无二。

在欧拉200年诞辰之际，瑞士启动了编辑出版大四开本《欧拉全集》的计划，已有72卷

问世，据说那还不是“全集”。

欧拉的著作最初传入中国，可追溯到大约250年前，由俄国传教士带进来，并送给天主

教的一个支派“耶稣会”在中国的机构，曾收藏在北京天主教北堂的图书馆里。然而，明、清

年代中国数学已经日渐衰落，裹足不前，远远落后于欧洲。大约在乾隆年间传入中国的欧拉

著作只能束之高阁，无人问津。19世纪中叶，在李善兰与英国传教士合译的《代微积拾级》，

华蘅芳与美国传教士傅兰雅合译的《微积溯源》中都介绍了欧拉和他的工作。中国人开始知

道这位数学大家了，欧拉也登上了晚清人编写的《畴人传》。清末民初，西方的先进数学被

引进中国，大学里开设了“微积分”等课程，这才使得越来越多的中国人认识了欧拉，学习他

的数学。

欧拉也是所有中国数学家和中国人的导师。这首先是因为每一个进入学校接受教育的

人，都要学习他所创造的数学知识；这更是因为，他那苦难而光辉的一生给后世无限的启迪，

教导人们如何做人，如何做学问，如何生存。

此外，欧拉的写作用语顺畅平易，其数学表达也与今人没有多大差异，我们读他的著作

没有隔阂与困难。反观，在他之前的数学家们如牛顿，虽然给后人留下了光辉的数学思想和

丰富的科学遗产，可今人阅读他们的著作会感到困难，会感到距离遥远。欧拉的数学则是近

代的数学，欧拉和他的数学将会流传万代。