numeraire

Ｙ

７７０６８６

学校代码：１０２４６

学号：０２２０２５０２８

後璺大学

硕士学位论文

动态利率期限结构理论新发展及ＣＩＲ模型实证研究

院

专

姓

系：管理学院

业：数量经济

名：熊斯飞

指导老师：高汝熹教授

完成日期：２００５年４月２０日

中文摘要

在现代资产定价理论和市场无套利的条件下，动态利率期限结构理论对于利

率的动态进行建模。在简要介绍如何从市场中获得收益率数据的技术后，本文综

述了进行动态利率期限结构建模的主要方法：更重要的是，在通过基于综述的进

一步讨沧发现，这些方法论事实上是相互等价的。

接着，本文讨论了各个建模方法论的代表分支及其最近发展，还进一步介绍

了动态利率期限结构近年来在基础方法论和具体建模技术上获得的重大的突破。

从实证的角度出发，本文在概述了动态期限结构校准的主要方法后，提供了

一个应用马尔可夫链ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法于我国交易所市场国债数据，估计三困子

ＣＩＲ模型的实例，并评价了该类方法和ＣＩＲ模型的适用性。

关键词：利率期限结构定价核方法仿射模型马尔可夫链ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方浊

中图分类号：Ｆ８３０

英文摘要

Ｂａｓｅｄｏｎｍｏｄｅｍａｓｓｅｔ

ｐｒｉｃｉｎｇｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄｎｏａｒｂｉｔｒａｇｅ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｃｕｒｒｅｎｔ

ｉｎｔｅｒｅｓｔ

ｒａｔｅｓｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ｔｒｉｅｓｔｏｍｏｄｅｌｔｈｅ

ｄｙｎａｍｉｃｓ

ｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ．Ａｆｔｅｒａｂｒｉｅｆ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｈｏｗｔｏｅｘｔｒａｃｔｙｉｅｌｄｓｄａｔａｆｒｏｍｒａｗｍａｒｋｅｔ

ｄａｔａ，ｔｈｉｓ

ｐａｐｅｒ

ｓｍｎｍａｒｉｚｅｓｔｈｅ

ｍａｉｎｓｔｒｅａｍ

ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ

ｏｆ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ

ｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｍｏｄｅｌｉｎｇ；

ｍｏｒｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔｌｙ，ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓａｒｅｆｏｕｎｄ

ａｍｏｎｇ

ａｌｌｔｈｅｓｅ

ｖａｒｉｅｇａｔｅｄｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ．

Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ａｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｏｓｅｃｌａｓｓｉｃｍｏｄｅｌｓｉｓ

ｏｆｆｅｒｅｄ，ｗｉｔｈ

ｓｏｍｅｎｅｗ

ｉｎｎｏｖａｔｉｖｅ

ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｄ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒ

ａｌｓｏｓｈｅｄｓ

ｌｉｇｈｔｓｏｎ

ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｂｒｅａｋｔｈｒｏｕｇｈｓ

ｉｎｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｍｏｄｅｌｉｎｇ

ｉｎｒｅｃｅｎｔ

ｙｅａｒｓ，ｗｈａｔｅｖｅｒ

ｉｎ

ｃｏｎｃｒｅｔｅｍｏｄｅｌｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｒｉｎｆｉｍｄａｍｅｎｔａｌ

ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ．

Ｅｍｐｉｒｉｃａｌｌｙ，ａｆｔｅｒａｒｅｖｉｅｗｏｆｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ

ｔｏ

ｔｅｒｍ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓ．

ｔｈｉｓ

ｐａｐｅｒｉｍｐｌｅｍｅｎｔｓ

ＭａｒｋｏｖＣｈａｉｎＭｏｎｔｅ

Ｃａｒｌｏ（ＭＣＭＣ）ｍｅｔｈｏｄｔｏａｔｈｒｅｅ－ｆａｃｔｏｒ

ＣＩＲ

ｍｏｄｅｌ

ｏｆＣｈｉｎａｅｘｃｈａｎｇｅｂｏｎｄｍａｒｋｅｔ

ｙｉｅｌｄｓ

ａｎｄｔｒｉｅｓｔｏａｓｓｅｓｓｔｈｅ

ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ

０ｆＭＣＭＣｍｅｔｈｏｄａｎｄＣＩＲ

ｍｏｄｅｌ．

Ｋｅｙ

Ｗｏｒｄｓ：ＴｅｒｍＳｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆＩｎｔｅｒｅｓｔ

Ｒａｔｅｓ，Ｐｒｉｃｉｎｇ

ＫｅｒｎｅｌＭｅｔｈｏｄ，ＡｆｆｉｎｅＭｏｄｅｌｓ，

ＭａｒｋｏｖＣｈａｉｎＭｏｎｔｅＣａｒｌｏＭｅｔｈｏｄ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ：Ｆ８３０

４

前言

利率期限结构理论作为为债券以及相关利率衍生产品，例如远期利率协议

（ＦＲＡ）、利率期货、利率期权、互换（ｓｗａｐ）等定价的基础理论与工具，对于

利率风险管理起着至关重要的作用。无论在当今理论界和实业界，对于利率期限

结构的研究都相当地重视。同时，这也使其成为金融学术研究成果得到实践应用

最快的领域之一。再者，利率期限结构的动态变化对于中央银行制定财政政策、

获得政策的效果反馈、财政当局决定国债发行规模、利率等等重大宏观经济政策

都具有指导意义。

在过去的近四十年间，动态利率期限结构理论获得了多次重大的突破，由此

涌现出了大量的论文和实证材料。本文将在第～章介绍基本定义和数据获得方法

的基础上，在第二章讨论动态利率期限结构理论整体发展脉络，并且讨论各种建

模方法的等价性；第三章中，作为特例，本文将回顾几个代表性的模型及其拓展；

第四章则着重介绍近十年来期限结构理论获得的新发展和方法论上的新突破；另

一方面，第五章从实践的角度出发，将讨论利率期限结构理论中模型的估计和校

准技术；最后，本文将在第六章根据我国交易所市场数据，利用ＭＣＭＣ方法什

计一个三因子的ＣＩＲ模型。

第一章利率期限结构的定义、基本记号和数据获得

第一节利率期限结构的定义和基本记号

所渭利率期限结构的研究对象是收益率曲线（ｙｉｅｌｄ

ｃｕｒｖｅ），因此在很多场合

这两个名词及其含义可以交换使用。直观地来看，收益率曲线表现了同种信用质

量但是不同期限的债券的收益率关系。从图形上来看如下：

图形上表现的是上升的收益率曲线，

型的形态。当然，实际数据显示，

（ｈｕｍｐｅｄ）甚至倒置的（ｉｎｖｅｒｔｅｄ）。

一般来看，这种收益率曲线形态被认为是典

收益率曲线的形态还有下降的、驼峰型的

为了说明收益率的计算以及以下的推导，首先，引进一些记号：

日（ｆ，Ｔ）一一到期日为Ｔ，并支付本金为１的中间没有息票支出的纯贴现债券

（ｚｅｒｏ．ｃｏｕｐｏｎ

ｂｏｎｄ）在时刻ｔ的价格，在此不考虑违约风险。

Ｙ（ｔ，Ｔ）一一时刻ｔ开始持有Ｔ到期的本金为１的无违约风险纯贴现债券的到期收

益率，此处为复合利率。

ｆ（ｔ，Ｔ）一一远期利率（ｆｏｒｗａｒｄｒａｔｅ），即，时刻ｔ观察到的［丁，７＇＋衍】这段无穷小

时间内的利率。

ｒ（ｆ）

一～瞬时利率（ｓｈｏｒｔ

ｒａｔｅ），即，【ｆ，ｔ＋ｄｔ】这段无穷小时间内的利率。

那么根据以上定义，可以发现，其它变量都是由纯贴现债券价格衍生而来的，具

体的关系如下；

根据定义：Ｈｆ，Ｔ）＝－ＩｎＢ（ｔ，Ｔ）／（Ｔ—ｆ）；

那么在无套利假定下：Ｂ（ｔ，Ｔ）＝ｅｘｐ（一Ｆｆ（ｔ，“）出），Ｖｔ∈［ｏ，刀，那么当Ｂ（ｔ，７＇）

６

二率

一

收

对于ｒ足够光滑的条件下，ｆ（ｔ，Ｔ）＝－０ＩｎＢ（ｔ，Ｔ）／ＯＴ；

对于，（，），根据定义我们认为：ｒ（ｆ）＝ｒ（ｔ，Ｔ）ｌ舟＝ｆ（ｔ，ｆ）。

我们将看到，这些基本关系在利率期限结构理论中起着基石的作用，在以下的论

述中，这些基本关系将会被反复运用。

第二节收益率数据的获得

…般来说，收益率曲线的绝大多数数据无法从市场直接得到。这是因为，市

场中引用的一般是到期收益率Ｙ１Ｍ，其计算公式如下：

Ｐ＝＞…．Ｃ，／ｎ＋Ｊ，７ｊ＾彳）’＋￡／ｎ＋ＦＴＭ）“●…１’

其中，Ｐ是债券的市场价格，ｅ，扛１，．．．，Ｎ为息票收入，Ｌ为本金。很显然，

ＹＴＭ事实上相当于多个不同期限的纯贴现债券收益率的平均数；而只有对于纯

贴现债券而占，收益率和ＹＴＭ才是相等的。同时，在世界各国债券市场，纯贴

现债券的发行期限往往非常有限，因此，我们必须采取间接的方法和技术计算出

收益率曲线。

１）Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法

Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法的特点是比较直观，它的相应意义也非常明显，其计算的递

推逻辑也易于理解，但是它对市场完全性的要求比较高。如果在时刻０，我们需

要计算期限为ｔｌ，．．．，ｔⅣ的收益率，也就是要求Ｂ（０，ｔ１），．．．，Ｂ（０，ｔⅣ），其中对于

ｉ＜，，１≤ｆＩ＜ｆ，≤Ｎ，那么应用Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法我们就需要到期期限为ｆ＂．．，ｔⅣ的

一系列债券的市场价格只，．．．，Ｒ，并且这一系列价格从理想角度来看应该是对应

于市场已有的连续的不间断的期限。

假设我们已知Ｂ（０，ｆ１），¨．，Ｂ（０，‘），那么为了计算Ｂ（０，ｔｉ＋１），１≤ｉ≤Ｎ一１，

就需要解以下方程：

只＋－＝∑：兰Ｃｋ＋Ｂ（０，“）＋Ｌ＋Ｂ（０，ｔｉ＋１）

由此递归地进行计算，那么最终就可以得到所需要的收益率曲线。当然，Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ

方法为计算收益率提供了一种可能，但是由于其对于市场的完全性要求很高，同

时由Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法得到的收益率曲线绝大多数情况下仍然是离散的数据点，为

了获得理论上需要的一条足够光滑的收益率曲线仍然需要进行内插或者某种光

滑化的方法。

２）样条（ｓｐｌｉｎｅ）方法

与Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法相反，样条方法则是仅仅从数据拟和的角度通过已有的债

券市场价格来得到一条光滑的收益率曲线。它的优缺点和Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法恰恰相

反，即，直观意义不甚明显但是数据校准的效果比较好。

具体地，样条方法的基本思路是，首先先验地假定收益率曲线的具体函数彤

式，然后为了比较好地拟和数据，对于期限的区间进行分界，并假设样条函数的

参数在不同区间取值不同，最终目标为最小化由样条函数所决定的债券理论价格

和市场观测价格之间的距离。当然这里的距离，作为不同泛函空间中的范数，可

以由具体的应用所决定。同时为了最后求得的收益率曲线足够光滑，我们还需要

对于不同样条区间临界值的取值和相应导数取值进行约束。实践中运用的样条主

要有多项式样条（ＭｅＣｕｌｌｏｃｈ１９７１）和指数样条（Ｖａｓｉｃｅｋａｎｄ

Ｆｏｎｇ

１９８２）。

３１多参数函数方法

广义地来看，多参数函数方法和样条函数方法可以归于一类，但是由于各自

的重要性，在此特别分开叙述。

多参数函数方法同样先验地假定了收益率的具体函数形式。这～函数形式需

要有足够的灵活性，从而能够表现出利率期限结构的不同形态；但是与此同时，

也需要对于被估计参数的数量做出限制，免得使实际运用中的最优化计算过于繁

复。

在实践中，最为著名的即为Ｎｅｌｓｏｎ．Ｓｉｅｇｅｌ．Ｓｖｅｎｓｓｏｎ函数（Ｓｖｅｎｓｓｏｎ１９９４），

具体如下，地嗍＋属警Ｍ譬一ｅｘ“－ｏ／ｚ，糊掣一ｅ，ｃｐ（－Ｏ／ｒｇ］

通过对于以上参数的优化，那么就能够得出一个最小化距离的收益率函数，从而

获得收益率曲线。

以上相对直观简单的方法的特点是通过静态分析利用数学工具拟和收益率

曲线，其目的在于简便快捷地获得利率期限结构及其动态。但是作为参数模型，

其最大的隐患就在于模型的误识别（ｍｉｓｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ），因此理论上我们可以进一

步地利用非参数方法解决这一问题并获得更好的拟和效果，例如，Ｊｉａｎｇ（１９９８）

和Ｓｔａｎｔｏｎ（１９９７）尝试了基于扩散模型的非参数期限结构动态模型，但是这就

需要以计算的简便程度和速度为代价。

同时，根据以上的讨论，也可以发现通过以上方法获得的收益率曲线往往缺

乏具体的经济意义，对于利率风险管理无法起到指导性的作用，因此就需要相应

的利率期限结构理论。

８

第二章动态利率期限结构理论和等价性综述

本部分将综述动态利率期限结构理论的主要发展及其相互等价性。特别指出

的是，在此讨论的利率期限结构基本上针对于无违约风险的债券。同时，由于利

率期限结构的文献极为庞杂，在此本文将主要讨论没有状态转移和跳跃的连续轨

道的利率期限结构及其动态。

注意，以下的讨论将基于定义良好的概率空间（Ｑ，Ｆ，Ｑ）和相应于布朗运动

的滤波Ｆ。

第一节偏微分方程（ＰＤＥ）／Ｆｅｙｍａｎ—Ｋａｃ公式

从方法论的角度来看，ＰＤＥ方法受到了ＢｌａｃｋａｎｄＳｃｈｏｌｅｓ（１９７３）的直接启

发，其构造无风险证券组合的思路和推导Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ公式完全相同，但是由

于在期限结构理论中，瞬时利率也成为了随机变量，因此我们也就需要引入新的

变量使得ＰＤＥ方法能够描述期限结构的动态。所以在很多情况下，这种方法往

往和一般均衡分析联系在一起，因为在ＰＤＥ方法下我们需要明确地引入风险的

市场价格（ｍａｒｋｅｔｐｒｉｃｅｏｆｒｉｓｋ）这一概念，记为Ｚ，这个新变量恰好补充了瞬时

利率原来作为常量的作用。而要获得元的具体形式，建模者往往需要确定基础

经济（ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇｅｃｏｎｏｍｙ）的一般均衡模型，如Ｃｏｘｅｔａｌ．（１９８５）。当然，由丁期

限结构模型着眼于对于收益率曲线动态的拟和和预测，因此更为现代的方法不再

关注于对于基础经济一般均衡模型的构建，而是直接给出比较灵活的无的函数

形式以方便模型的求解和数据的拟和，如Ｄｕｆｆｅｅ（２００２）、Ｄａｉ

ａｎｄ

Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）、

Ｄｕａｒｔｅ（２００１）和Ｃｈｅｒｉｄｉｔｏｅｔａ１．（２００４）都在仿射类模型中运用了以上的方法１。

为了记号上的简便，本文在此考虑单因子的情况，但是只要把记号拓展到向量，

多因子模型的表示也是类似的。那么我们不妨假设因子为ｒ

２，它满足一个漂移

扩散过程，即，

疵＝ｐ（ｆ’‘）ａｔ＋ｏ－（ｔ，‘）栅：，式中彬代表～个标准布朗运动。

则Ｂ＝Ｂ（ｆ＇丁，ｒ）。具体地，我们假设两个纯贴现债券，廿ｌ和／Ｊ２，则利用Ｉｔｏ引理，

９

魍＝（百ＯＢ，＋等／ｚ＋］０＂２警协＋等∥矗彬＝魄Ｅ函＋％置ｄ孥ｋ１，２

这样，通过与调整这两种债券之问的资产组合比例消除风险源，”，那么在无

套利条件下，该资产组合的收益率应该等同于瞬时利率，

即，令两种资产比例为，≯：一导／！磐则无套利条件下得到，

ｄｒｄｒ兰：釜竺：圭三：翌二竺：．釜：兰竺：圭二：釜二兰

丝ＯＢｊ

毋百

至此，其推导原理和Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ公式是相同的，但是如上所述，

Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ公式中无风险瞬时利率是外生给定的，因此，在这旱的推导中，我

们就需要一个新的自由度来限制最后的得到的偏微分方程。一般均衡框架在此设

定了元：

旯：Ｏ盟Ｂ，＋Ｏ也Ｂｉ／．ｔ：兰１

２

０盥２Ｂ：，！：＆二！ｌ：盟

也

兰盥：：：＆二！

ｑ塑ｄ。ａ８

同时，根据Ｈｕｌｌ（２００２），这一风险的市场价格是与∥，相对应的。由此，我

们得到最后的抛物线偏微分方程：

加ａＢ１，ａ２Ｂ．ＯＢ．百＋石∥＋ｉ玎。萨一７８２石吼边界条件为Ｂ（Ｔ，Ｔ，，）＝１

至此，问题就转化为基于不同＾的偏微分方程的求解问题了。但是，通常，以

上偏微分方程的显式解是不存在的，这就给这一类方法的实践带来了很大的网

难，当然我们可以是用数值方法３来获得以上方程的数值解，但是偏微分方程的

计算机求解算法的速度也不甚理想。

所幸的是，对于求解以上的偏微分方程，我们还可以利用Ｆｅｙｍａｎ—Ｋａｃ公式

４。Ｆｅｙｍａｎ．Ｋａｃ公式指出，在一定的技术条件下。其解的形式应该为：

Ｂ（ｔ，ｒ）＝砰［ｅｘｐ（－Ｉ气ｄｕ）ｔ

式中Ｅ尸表示测度Ｑ‘下基于时刻ｆ信息的条件期望算子，这一方程构成了确定性

现金流的纯贴现债券的一般公式５。事实上，正如下文将指出的，这一结果与风

险中性定价正是一致的，Ｑ’就是风险中性测度。

第二节风险中性定价

根据Ｈａｒｒｉｓｏｎａｎｄ

Ｋｒｅｐｓ（１９７９）和ＨａｒｒｉｓｏｎａｎｄＰｌｉｓｋａ（１９８１），在完全市场

和无套利的假定下，存在一个唯一的等价鞅测度Ｑ“６，使得用计价资产

（ｎｕｍｅｒａｉｒｅ）Ⅳ｜衡量的所有金融工具在这个测度下都是鞅（ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ），即，

Ｐ（ｔ）／Ｍ＝彰【Ｐ（Ｔ）／坼】，Ｖｔ≤Ｔ（２．３）

其中，Ｐ为金融工具价格，Ⅳ为计价资产。

那么作为一个特例，风险中性定价就对应于风险中性测度Ｑ＋下，利用计价

资产为

Ｓ。＝ｅｘＰ（１。屯ｄ“）

则Ｔ时刻的或有支付索取权（ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔｃｌａｉｍ）舅在ｆ时刻的价格为，

Ｐ（ｆ，Ｔ）＝Ｅ尸【Ｖ７．ｅｘｐ（一Ｉ，ｏｄ甜）】

那么由于对于无违约风险的纯贴现债券而言，晖＝１．所以，纯贴现债券价格为：

Ｂ（ｆ，Ｔ）＝Ｅ尸＋［ｅｘｐ（一ｆ。ｒ，ｄｕ）】

在此我们发现，这一结果和通过Ｆｅｙｍａｎ．Ｋａｃ公式求解抛物线偏微分方程的结果

是一致的。ＭａｒｔｅｌｌｉｎｉａｎｄＰｒｉａｕｌｅｔ（２００１）讨论了这种等价性。为了表述方便，在

此在没有歧义的情况下省去部分下标。

具体地，在实际测度Ｑ下，利用ｄＢ／Ｂ＝以魂＋盯日ｄ彬、以＝＃ａｔ＋ｏａｗ，

以及风险市场价格的一致性，即，

２：壁￡二！；型二！，然后我们就能够得到，

ｏ

Ｂ

ｏ

型箬＝ｒｄｆ＋Ｏ＂Ｂ（五，ｄｔ＋ｄ眵）＝ｒｄｆ＋盯口ｄＧ，

Ｄ

ｄｒ＝（∥一丑盯）衍＋ａｄａ，

在此，假设无满足足够好的技术性条件７，利用Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理，ｑ则满足一个风

险中性测度Ｑ’下的布朗运动．Ｑ’与原来的测度Ｑ之间的关系由Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理

中的Ｒａｄｏｎ－Ｎｉｋｏｄｙｍ导数确定，

警（耻ｅＸｐ（一ｒ＾ｄ彬一圭￡珊）

然后利用Ｉｔ。引理可以证明，曰‘（ｆ，ｎ＝ｅｘｐ（一ｆｒｆｌｓ）Ｂ（ｔ，ｒ）是测度Ｑ４下的一个鞅，

那么对Ｂ＋（ｆ，７１）加以Ｑ’测度下的ｔ时刻的条件期望算子，经过整理就能得到的结

论，

８（ｔ，７－）；砰［ｅｘｐ（一ｆｒＡｓ）】（２·４）

这样就说明Ｔ）ｘＬ险中性定价方法，Ｆｅ—ｙｍａｎ．Ｋａｃ公式和扩散过程假定的一致性。

同时，我们也可以发现，在资产价格一这里指纯贴现债券一在两个测度下的

随机微分方程表示的差别仅在漂移项上，即∥暑一∥詈＝∥ｇ—Ｉ＝＾仃。，Ｐｉａｚｚｅｓｉ

（２００３）称为扩散不变原则（ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｉｎｖａＮａｎｃｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅ），那么，无就成了联

系两个测度间的纽带。

第三节基于瞬时利率（ｓｈｏｒｔｒａｔｅ）的定价方法

这种方法的本质事实上仍然是风险中性定价方法，印，

Ｂ（，，Ｔ）＝Ｅ尸【ｅｘＰ（一Ｉ．ｏｄｕ）】

那么利用风险中性定价部分的讨论，我们也可以认为这种方法和

ＰＤＥ／Ｆｅｙｍａｎ．Ｋａｃ方法也是一致的。利用（２．４），可以发现，甚至在不需要知道，：

在实际概率测度下的动态的情况下，只要知道风险中性测度Ｑ’下的‘的动态就

能够解出ｅ（ｔ，ｒ１。早期的期限结构模型基本上都是属于这一类型，比较重要的

包括Ｖａｓｉｃｅｋ（１９７７）、ＢｒｅｎｎａｎａｎｄＳｃｈｗａｒｔｚ（１９７９）、Ｃｏｘｅｔａｌ．（１９８５）、Ｈｕｌｌ

ａｎｄ

Ｗｈｉｔｅ（１９９０）、Ｌｏｎｇｓｔａｆｆａｎｄ

Ｓｃｈｗａｒｔｚ（１９９２）、ＤｕｆｆｌｅａｎｄＫａｎ（１９９６）等等。

尤其值得指出的是ＤｕｆｆｌｅａｎｄＫａｒｌ（１９９６）提出的仿射类模型包括了已知的

绝大多数该类期限结构模型。从形式上来看，在风险中性测度９’下，首先，瞬

时利率是风险因子的仿射函数；其次，风险因子的漂移项是风险因子自身的仿射

函数；最后，协方差矩阵也是风险因予的仿射函数。即，

ｒｌ＝氐＋噬ｘ？

血＝茁（ｉ一‘）廖＋∑５（‘）Ｊ彬’

式中，Ｘｔ表示＾，维的风险因子向量，ｓ（ｘ，）为ＮＸ

Ｎ对角矩阵，其对角线上的元

素ｓ，（Ｘｔ）＝√‰，＋ｓｌＴｆ一，ｆ＿ｌ，．．．，Ｎ，那么根据（２．４）纯贴现债券可以记为

Ｂ（ｔ，Ｔ，ｘ，）。对Ｂ（ｔ，Ｔ，ｔ）使用Ｉｔｏ引理并应用仿射函数的具体形式，得到

蔬日（ｆ，Ｔ，Ｘｔ）的漂移项／ａ日（ｆ，Ｔ，‘）为

一

ｌ

一

＋一Ｅ０，Ｔ，‘）＋＆（毛Ｔ，‘）７ｒ（ｉ一‘）＋÷护【Ｉ：∑２Ｊ（‘）Ｊ（‘）２＆‘（己Ｔ，‘）】

Ｚ

加表示矩阵的迹。同时，根据风险中性定价部分的讨论，我们知道在Ｑ’卜Ｉ，

ｄＢ（ｔ，Ｔ，Ｘ，）的漂移项应该为Ｂ（ｔ，Ｔ，ｔ）‘，将这两项相等，习ｇ／ｚ，我们就得到了风

险中性测度ｇ’下的偏微分方程：

１一Ｂｒ一，ｏ，Ｔ，薯）＋鼠，（ｆ，Ｔ，‘）。茁（ｉ—ｘｔ）＋寺ｔ，ｔｓｘｌＪ（薯）ｓ（‘）。毛‘（ｆ，Ｔ，ｔ）］

厶

＝８（ｔ，Ｔ，ｔ）‘

为了节省记号，在此记丑（ｒ，Ｔ，Ｘｔ）＝Ｂ（Ｔ—ｒ，ｘ，）＝Ｂ（ｒ，ｘ，）。至此，Ｄｕｆｆｌｅａｎｄ

Ｋａｎ（１９９６）猜测了一个ｓ（ｔ，ｒ）的指数仿射形式

以ｆ，ｔ）＝ｅｘｐ［ａ（力＋６（ｆ）１‘］

将上式代入风险中性测度Ｑ’下的偏微分方程，并且比较变量的系数，就可以推

出关于口０），６（ｆ）的Ｒｉｃｃａｔｉ常微分方程组，这无论给求显式解（ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ

ｓｏｌｕｔｉｏｎ）还是进行数值计算都带来了极大的方便：

．等＝一Ｊ。＋６（ｆ）７ｒＦ＋÷芝…ｆ）『∑】；Ｓｏｌ

筹一占．一ｒⅥｒ）＋｝兰【吣）７∑】；Ｓ１１

初值条件为“（Ｏ）＝６（０）＝０，在此关于解存在的有关技术性条件，参见Ｄｕｆｆｌｅｅｔ

ａ１．（２００３）关于一般正规（ｒｅｇｕｌａｒ）仿射过程的讨论。这样就完成了胍险中性测

度Ｑ＋下对于仿射类模型的描述。

要在实际概率测度下描述仿射类模型的动态，根据风险中性定价中的讨论，

我们需要风险的市场价格元的具体函数形式。在早期单因子模型中，Ｖａｓｉｃｅｋ

（１９７７）中设丑为常数，而Ｃｏｘｅｔａｌ．（１９８５）中，设＾＝ｚ、ｋ。在更新的多凶

子模型的文献中，为了进行仿射类模型的校准，更多更为灵活的元的函数形式

被提了出来，其中，ＤａｉａｎｄＳｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）提出了一类“完全仿射”（ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ

ａｆｆｉｎｅ）的模型，具体地，他们设置风险的市场价格Ｉ古ｌｌＡ，为，人，＝Ｊ（■）＾８．

其中元为Ⅳ维参数向量。称其为“完全仿射”的原因在于，该类模型不仅仅保

留了一般仿射类模型的良好性质，而且人：人。也是风险因子ｔ的仿射函数。但是

如Ｄｕｆｆｅｅ（２００２）指出的．这种函数设定使人，的正负号与丑保持相同，这也就

意味着风险的市场价格的符号不会变化，这与实证的结果不符合。

因此，Ｄｕｆｆｅｅ（２００２）提出了“基本仿射”（ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ａｆｆｉｎｅ）类模型。具体

地，他首先定义了对角矩阵Ｊ一（‘）。当Ｊ（ｔ）对角元素下确界大于０时，ｓ一（ｔ）对

角元素为ｓ（工，）对角元素的倒数；否则，ｓ－（薯）对角元素为０，即，ｓ心Ａ，＝牌¨≯Ｊ。”’帮‰¨知ＪⅫ

进一步，Ｄｕｆｆｅｅ（２００２）定义

人，＝ｓ（一）＾＋Ｓ－（‘）也ｔ

其中无为Ｎ×Ｎ的参数矩阵。显然这种函数设置包含了“完全仿射”类模型

（见＝０），同时允许风险的市场价格变换正负号；当然，这种灵活性的代价是

失去了“完全仿射”的良好性质。

进一步来看，Ｄｕａｒｔｅ（２００１）实质上拓展了Ｄｕｆｆｅｅ（２００２）中的设定，提出

了以下函数设定，即，

Ａ，＝Ｊ（ｔ）矗＋Ｓ－（薯）五Ｘｔ＋∑叫五

其中＾为一个Ⅳ维参数向量。而这一增加的灵活性的代价就是，由于在Ａ．中出

现了常数，实际概率测度Ｑ下风险因子的漂移项由于会有２ｓ（ｘ，）Ａ。进入将会出

现风险因子的平方根项，这样在Ｑ下，风险因子的随机微分方程会失去仿射的

性质。因此虽然风险因子的动态在风险中性概率测度下仍然保持仿射特性从而债

券定价的形式不会受到影响，但是，根据实际概率测度，Ｄｕａｒｔｅ（２００１）若非严

格意义上的仿射模型。

最近，Ｃｈｅｒｉｄｉｔｏ

ｅｔａｌ．（２００４）的研究发展了～类“扩展仿射”（ｅｘｔｅｎｄｅｄａｆｆｉｎｅ）

模型，他们的方法根据具体模型而设定，直接从人．的定义出发，突破了限定Ａ，

的具体形式的方法。由于Ｃｈｅｒｉｄｉｔｏｅｔａ１．（２００４）的记号和本文有所不同，在此

利用ＤａｉａｎｄＳｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）对于简化的可识别仿射类模型的分类，对于Ⅳ冈

子仿射模型，令ｍ＝ｒａｎｋ（Ｉｓ……，‘Ⅳ］），ｍ即为条件方差对于风险因子的依赖

程度，也就是在简化的形式下，有ｍ个因子由于存在于根号内受到了限制９，Ｄａｉ

ａｎｄＳｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）记简化的可识别的最大类仿射模型为Ａ（Ⅳ）。那么在保持

实际概率测度和风险中性测度下期限结构模型都保持ＤｕｆｆｌｅａｎｄＫａｎ（１９９６）的

仿射性质的前提下，Ｃｈｅｒｉｄｉｔｏｅｌａｌ，（２００４）则直接利用了风险的市场价格的定义：

丑＝Ｚ－ｌｓ（ｘ。）～（１４一雕）

分别推导了Ａｍ（Ⅳ），Ｎ＝１，２，３中丑的具体形式。由于Ｄｕｆｆｅｅ（２００２）也采用了

Ｄａｉａｎｄ

Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）的分类，因此Ｃｈｅｒｉｄｉｔｏｅｔａ１．（２００４）的方法包含了Ｄａｉ

ａｎｄＳｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）和Ｄｕｆｌｅｅ（２００２）。这种方法虽然在理论上没有丑的一般

形式，但是风险因子数量较低的情况下”，能够推导出简单的解析形式，因此也

更加实用。

第四节基于远期利率（ｆｏｒｗａｒｄ

ｒａｔｅ）的定价方法一一ＨＪＭ

这种方法利用了

Ｂ（ｔ，ｒ）＝ｅｘｐ（一伊ｆ（ｔ，“）ｄｆ）（２．５）

这一关系，因此如果知道了ｆ（ｔ，Ｔ）的动态，我们也就可以解出纯贴现债券的价

格。

一般认为，ＨｏａｎｄＬｅｅ（１９８６）首创了利用远期利率进行期限结构建模。他

们在离散的框架下，通过假设利率变动的马尔可夫性，构建了利率期限结构的树

型模型。作为一个特例，ＨｏａｎｄＬｅｅ（１９８６）是一个单因子模型，所以不同期限

的债券之间是完全相关的：同时该模型中的利率可以取负值，因此该模型并不是

一个非常恰当的名义利率（ｎｏｍｉｎａｌｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ）模型。Ｈｅａｔｈｅｔａ１．（１９９０）进一

步发展了ＨｏａｎｄＬｅｅ（１９８６）模型的思路。而基于远期利率的定价的一般框架归

于Ｈｅａｔｈｃｔａ１．（１９９２）。由于Ｂ（ｆ，７’）和ｆ（ｔ，ｒ）之间的对应关系，通过假设两个

变量的相应漂移扩散过程¨，都可以进行ＨＪＭ框架的分析。事实上，这种对应

也就蜕明了ⅢＭ方法和基于ｏ（ｔ，ｎ的ＰＤＥ／Ｆｅｙｍａｎ－Ｋａｃ方法的一致性：同时，

各种方法之间的等价性还体现在下面对于ＨＪＭ方法和折现因子方法之间的一致

性的讨论中。在此，本文利用Ｈｅａｔｈｅｔａｌ．（１９９２）中的分析方法，具体地，假设八＾Ｄｆ的（ｔ荔羰件ｆａ（ｕ，Ｔ）ａｕ＋杰上ｃｒｔ（ｕ，Ｔ）ｄ嘲虮．Ｔ（２。），丁）一厂（ｏ，ｒ）＝【＋∑【彬（“）ｗｒ＜ｒ，６、

值得指出的是Ｏｔ（ｔ，丁）和ｏ－，（ｔ，ｒ）也可以是随机变量，胛则代表了因子的个

数。进一步来看，利用‘＝ｆ（ｔ，ｆ），我们可以得到瞬时利率的动态，

。＝ｆ（ｏ，ｆ）＋ｆ劬，ｔ）ｄ“＋芝ｎ（“，ｔ）ｄＷ，（ｕ），Ｖｔ＜Ｔ（２．７）

同时，观察（２．７）我们也可以发现，这样的假定由于引入了ｆ（０，丁），就可以完

全和初始期限结构像吻合，从实业界的角度来看，这样的特性无论对于了解期限

结构本身还是进行衍生品定价都带来了极大的方便和可信度。而这在基于瞬时利

率进行的定价方法中，一般是无法做到的。因此，ＨＪＭ方法在实际应用中极为

广泛。那么在适当的可积性和连续性的技术性条件下，利用（２．５）和（２．７），可

以得到，

ｌｎＢ（ｆ，乃＝Ｉｎ日（ｏ，Ｄ＋ｆ以＋６＠，Ｔ）］ａｕ一（１／２）芝ｆ口，（“，１３２ｄｕ＋芝ｆｑ（％乃ｄ彤（“）

其中，ｑ化乃＝一１１ｑ瓴ｕ）ａｕ，ｉ＝ｌ，．．．，”

ｂ（ｔ，乃＝一ｆａ（ｔ，ｕ）ａｕ＋（１／２）∑口ｆ（ｆ，Ｄ２

然后，对上式使用Ｉｔｏ引理，我们就能够得到，

ｄＢ（ｔ，Ｔ）＝【‘＋ｂ（ｔ，ｒ）】口（ｆ，Ｔ）ｄｔ＋∑ａｔ（ｒ，Ｔ）Ｂ（ｔ，Ｔ）ｄ形Ｏ）

接下来，我们需要讨论在远期利率的动态假设下的无套利条件。我们知道，利用

风险中性概率下的讨论，ｄＢ（ｔ，Ｔ）／Ｂ（ｔ，ｒ）的漂移项应该是瞬时利率，：，因此利

用风险的市场价格五，我们能够得到，。

ｂ（ｔ，ｒ）＝∑ｑｏ，ｒ）（一以）（２．８）

这样，在五满足一定技术条件的情况下彳１我们就能够使用Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理，获得

无套利条件下，Ｂ（ｔ，丁）在风险中性概率下的动态，即，

ｄＢ（ｔ，Ｔ）／Ｂ（ｔ，Ｄ＝｜．；衍＋∑ａｊ（ｔ，Ｔ）ｄＷ，’ｐ）

其中，ｄ彬＋（ｒ）＝ｄ形（ｆ）一五班，在此和以后都代表了风险中性测度下的标准布

朗运动。接着，我们只需要对（２．８）式的两边对ｒ求偏导，我们就可以得到，

口（ｆ，，）＝一∑ｇ（‘丁Ｍ—ｆ

ｑ（㈨删

代回ｆ（ｔ，７１）的动态，我们就得到实际概率测度下，瞬时远期利率的必要表现形

式，

咿（ｆ，ｒ）＝一∑ｎｑ（ｆ，ｒ）（以一ｒｑ（ｆ，“）ａｕ）ａｔ＋芝ｑ（ｆ，丁）ｄ彬（ｆ）

如果再运用风险中性概率下的表达形式，

ｄｆ（ｔ，Ｔ）＝∑ｎｑ（ｆ，丁）ｌＴｑ（ｆ，“）砘砌。＋窆ｑ（ｆ，ｒ）ｄ彬’（ｆ）‘２·９’

我们就可以发现ｆ（ｔ，ｒ）的动态完全由它的条件方差皿（ｆ，Ｔ）所决定。

从模型的说明来看，ＨＪＭ方法和基于瞬时利率的得到的结果完全不同，但

是迸一步来看，事实上，这两种殊途同归的方法仍然等价的。

一方面，从ＨＪＭ框架出发，其无套利条件的推导事实上就等价于获得风险

中性概率测度下的鞅Ｂ（ｔ，Ｔ）ＩＳ，，这与基于瞬时利率的方法相同，因此，从ＨＪＭ

出发就等同于基于瞬时利率的定价。

另一方面，Ｂａｘｔｅｒ（１９９７）讨论了从基于瞬时利率的方法推得ＨＪＭ方法，

并得到了肯定的结果。事实上，Ｂａｘｔｅｒ（１９９７）的论述基于无套利市场中８（≠，丁）

服从半鞅的更为一般性的假定。在此，本文将省略次要的技术细节，从基于瞬时

利率的方法推导ⅢＭ方法。具体地，从基于瞬时利率的方法出发，在此记为，

Ｂ（ｔ，丁）＝Ｓ彰（１／ＳＴ）

在风险中性概率Ｑ＿下，令，

Ｆ（ｔ，豁）＝彰（吃／￡）

然后，我们就得到了，

ｆＦ（ｆ，“胁：砰’（ｆ吒／瓯咖）＝１一∥（ｓ１）‘２·１０’

１６

上式中的第一个等式，我们需要随机版本的Ｆｕｂｉｎｉ定理“用于交换积分顺序，值

得指出的是应用这一定理的充分条件是露（（Ｉｒ．Ｉ／Ｓｏｄｕ）＜００。而第二个等式则

用到了Ｓ的定义。利用以上等式和风险中性概率下的债券定价关系，

Ｂ（ｔ，Ｔ）＝Ｓ【１一【Ｆ（ｆ，ｕ）ｄｕ］

可见，Ｂ（ｔ，ｒ）对于丁定义良好而且绝对连续。那么，由８（ｔ，Ｔ）推导出的

‘，ｆ（ｔ，Ｔ）都能得到良好的定义。再令ｚ（ｔ，Ｔ）＝墨１Ｂ（ｔ，Ｔ），并由ｆ（ｔ，Ｔ）的定义，

ｆ（ｔ，Ｔ）＝彰（々Ｓ／品）／Ｂ（ｔ，Ｔ）＝Ｆ（ｔ，Ｔ）／Ｚ（ｔ，Ｔ）（２．１１）

然后，我们只需说明ｆ（ｔ，ｒ）满足（２．９）即可。利用重复期望法则（１ａｗｏｆ

ｉｔｅｒａｔｅｄｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ），对于ｆ，Ｆ（ｔ，７’）和ｚ（ｔ，丁）是Ｑ’下的鞅，那么根据鞅表现定

理（ｍａｒｔｉｎｇａｌｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ）Ｂ，我们可以写出以下形式，

ｄＦ（ｔ，丁）＝∑Ａ，（以Ｔ）ｄＷ，＋（ｆ）

ｄＺ（ｔ，Ｆ）＝ｚ（ｆ，，）∑∑．（ｆ，ｒ）ｄ彬‘（ｆ）

，

那么，利用（２．１１）和Ｉｔｏ引理，可以推出ｆ（ｔ，ｒ）的动态如下，

ａｆ（ｔ，ｒ）＝∑ｑｐ，丁）ｄ形’◇）一ｙ，ａｒｉ（ｔ，ｒ）ｘ，ｄｔ（２．１２）

，

ｉ

其中，ｑ（ｆ，丁）＝［Ａ∥，Ｔ）－Ｆ（ｔ，ｒ）ｘ。（ｆ，Ｔ）］／Ｚ（ｔ，Ｔ）

利用（２．１０）和ｚ（ｔ，７１）的定义，我们得到，

ｚ（ｏ，丁）一ｚ（‘Ｄ＝ｆ【Ｆ（ｆ，甜）一Ｆ（Ｏ，甜）】出＝∑上（ｒＡ，（Ｊ，“）ｄｕ）ａＷ，＋（，）

上式再次用到了随机版本的Ｆｕｂｉｎｉ定理，等价地，上式左边可以写成，

ｚ（ｏ，ｒ）一Ｚ（ｔ，，）＝ｆ—ａｚ（甜，丁）＝ｆ—Ｚ（ｕ，ｒ）ｙｚ．（“，丁）ｄ形’（甜）

比较以上两式的被积项，可得

ｚ（‘Ｔ）Ｅ∥，丁）＝一ｒＡ，（拙）ｄｕ

对上式两边对７’偏导，并且利用ａＺ（＾Ｔ）／ＯＴ＝一Ｆ（ｆ，ｒ），我们就可以得到

挖愈，ｔ）／３Ｔ＝－ｏ－，（ｆ，ｒ），代回（２．１２）。由此可得和（２．９）一样的形式。至此，

我们可以得到结论，即在彰（【Ｊ．．１ｌＳ．ａｕ）＜∞的条件下，ＨＪＭ和基于瞬时利

率的定价方法是等价的。

在实际应用中，很多ＨＪＭ类的利率期限结构模型是没有显式解的，那么运

用数值方法就在所难免。特别是由于二叉树方法或者三叉树方法的广泛流行，那

么对于具有马尔科夫性的ＨＪＭ模型就显得尤其重要Ｈ。因为模型具有马尔科夫

性质才能得到汇合（ｒｅｃｏｍｂｉｎｉｎｇ）的树；否则树的分叉随着步长的增加将以超过

代数级数，甚至是几何级数增长，这样得到的树就会因为分叉太多（ｂｕｓｈｙ）而

使数值方法不再可行。但是，从（２．７）和（２．９）可见，ＨＪＭ模型中由于ｒ的动

态依赖于整个从０到ｆ轨道上条件方差ｔｒ，（ｔ．ｒ１的动态以及初始期限结构，因此

一般是不具有马尔科夫性的峙。所以，构建具有马尔科夫性的ＨＪＭ模型对于施

用ＨＪＭ方法就显得尤其重要。本文将在此略作回顾。有鉴于仿射类模型的重要

性，在此也将讨论其与仿射类模型的关系１６。

根据前文的讨论，我们已经知道ＨＪＭ的说明就在于对于条件方差矾（ｆ，丁）函

数形式的确定。同样地，马尔科夫类的ＨＪＭ模型的关键同样在于ｃｒ，（ｔ，Ｔ）。ｌｎｕｉ

ａｎｄＫｉｊｉｍａ（１９９８）提出了一个相当一般性的函数设定，包括了Ｃａｒｖｅｒｈｉｌｌ（１９９４）

和ＲｉｔｃｈｋｅｎａｎｄＳａｎｋａｒａｓｕｂｒａｒｎａｎｉａｎ（１９９５）。

具体地，为了达到相应的马尔科夫性，我们必须对（２．７）的漂移项进行约

束，ＩｎｕｉａｎｄＫｉｊｉｍａ（１９９８）提出，ｃｒ，（ｔ，ｒ）应该具有以下性质：百Ｏｃｒｌ（ｔ，Ｔ）＝一‘（ｒ）ｑ（ｆ，跏＝ｌ，．．．，珂（２．１３）

其中，Ｋ（７＿）确定性函数。如果假设有初始条件＿ｃｒｉ（ｔ，ｔ）＝ｑ（，；，ｆ），那么以上常

微分方程可以解为；

ｏＳ（ｔ，Ｔ）＝ｑ（１，ｔ）ｅｘｐ（一ｌ一（“）砌）

通过消去盯ｊ（一，ｆ），我们可以得到，

ｑ（ｆ，丁）＝，：ｒＡｔ，ｓ）ｅｘｐ（一ｌＩｃ，（ｕ）ｄｕ），ｔ≤Ｓ＜Ｔ

当正化Ｔ）为确定性函数时，Ｃａｒｖｅｒｈｉｌｌ（１９９４）证明了以上条件方差的形式是使

瞬时利率ｒ表现为马尔科夫性的充要条件。ＲｉｔｃｈｋｅｎａｎｄＳａｎｋａｒａｓｕｂｒａｍａｎｉａｎ

（１９９５）具体讨论了单因子情况下以上函数设定下ＨＪＭ模型的动态。在此，根

据ＩｎｕｉａｎｄＫｉｊｉｍａ（１９９８）的命题１和命题２，基本上是直接的但是繁杂的代数

运算，我们可以得到，ｆ（ｔ，丁）几乎处处大于ｏ；同时，西（ｆ），石（吐‘，ｆ＝ｌ，．．．＂构

成了联合马尔科夫系统，其具体定义和动态如下，

谚（ｆ）＝【ｏ－，（ｕ，ｔ）ｄｕ

ＸＡｔ）＝ｆｇｏ，ｆ）ｆｑ◇，１，）蕊协＋ｆｇｏ，ｆ）ｄ形＋ｏ），ｆ＝ｌ，．．．，船

再令巾（ｆ）＝∑谚（ｆ）＋∑ｆＫ（ｆ）一＿（ｆ）】石（ｆ），我们可以得到联合马尔科夫系统

扛ｌ，＝ｌ

的动态如下，

ｄｒ，＝ＰｒＡＯ［ｆ（０，ｆ）一ｒ，ｌ＋Ｏｆ（Ｏ，ｔ）／Ｏｔ＋，（ｆ））十∑盯，∽，ｔ）ｄＷｊ’（ｚ）

ｄ庐，（，）＝［口？（‘，ｆ）一２１ｃ，（，）庐ｆ（ｔ）］ｄｔ，ｉ＝１，…，＂

ｄｚ．（ｆ）＝【矿，０）一ｒ，Ｏ）ｚ，（ｔ）ｌｄｔ＋盯．（‘，ｔ）ｄＷ．‘（，），ｉ＝１，…，＂一Ｉ

而纯贴现债券的价格动态（２．１３）的设定下为，

令移（ｆ，丁）＝Ｔｅｘｐ（一ｒ＿（’，）ｄｒ，ｆｓｒ

Ｇ（ｔ，ｒ）＝寺∑卢？（ｆ，ｒ）谚（ｆ）＋∑【声，ｏ，ｒ）一∥。（ｆ，Ｔ）ｌｚ。ｏ）

那么，我们得到咿）＝鬻ｃｘｐ｛－Ｇ∽ｍ舭∽ｍ小椰

进一步来看，ＣｈｉａｒｅｌｌａａｎｄＫｗｏｎ（２００１ａ，２００１ｂ）的研究又有新的突破。他

们发展了一个比Ｉｎｕｉ

ａｎｄＫｉｊｉｍａ（１９９８）更为一般性的框架，包含了大多数的已

有的马尔可夫ＨＪＭ模型。同时，他们的分析显示，这一类马尔可夫ＨＪＭ模型和

仿射类模型具有紧密的联系。首先，我们要引入Ｍｕｓｉｅｌａ（１９９３）的参数化方法，

即，令＿『＝ｆ＋ｚ，并且ｒ（ｔ，ｚ）＝ｆ（ｔ，ｆ＋功；同时ｑ（ｆ，Ｔ）可以记为

ｃｒｊ（ｔ，ｆ），ｊ＝１，．．．，疗；Ｂ（ｔ，ｔ＋ｘ）可以记为ｂ（ｔ，ｘ）。具体地，他们的分析基于两个

基本假定：

【Ａ】ｇ（，，ｆ）可以由ｍ个基本（ｂｅｎｃｈｍａｒｋ）远期利率所决定、当前时刻ｔ和

ｆ所决定，也即，ｑ（ｆ，，）＝ｑ（ｆ，ｆ，ｒ（ｔ，薯），．．．，ｒ（ｔ，‰））

【Ｂ】ｏ－，（ｔ，ｆ）对ｆ可以谚次可微，同对满足Ｚ次齐次线性微分方程，

筹啪小和∥）争ｆ（，’『）＝。

那么，在以上两个假定下，利用和ＩｎｕｉａｎｄＫｉｊｉｍａ（１９９８）相同的证明思路，弓

入记号：

对于１≤ｉ≤以，０≤Ｐｓ

ｑ≤ｄ，，０≤，＜ｄｆｆ．。９（ｒ）＝ｊ：望二铲曼！铲ｄｓ，

一足）＝ｒ生警盟卜知㈧ｄ“幽＋￡生挚町㈤

Ｃｈｉａｒｅｌｌａ

ａｎｄＫｗｏｎ（２００１ａ）证明了以下结论：

当仃，（ｆ，ｆ）’ｉ＝１，．．．胛满足【Ａ】、ｔａ］，那么相应的ＨＪＭ模型是一个以下面变量的

联合马尔可夫系统，

ｚ（ｆ）＝｛，（ｆ，坼），戢“（ｆ），丸（ｆ））

其中，１≤ｉ≤，ｌ，ｌ≤ｋ≤搠，０≤Ｊｐ，≤ｑ，≤ｄ，，０≤ｔ＜吐

这一结论说明了要构建一个联合马尔可夫ＨＪＭ模型往往需要引入许多联合变量

来保持系统的马尔可夫性。

更为重要的是，ＣｈｉａｒｅｌｌａａｎｄＫｗｏｎ（２００１ｂ）基于以上结论和相应的技术条

件”，该类马尔可夫ＨＪＭ模型是ＤｕｆｆｌｅａｎｄＫａｎ（１９９６）类的仿射模型；同时，

利用【Ｂ】，他们还推得整个远期利率曲线是有限个数量的基本收益率的仿射函

数。由此，ＣｈｉａｒｅｌｌａａｎｄＫｗｏｎ（２００１ｂ）得到的模型在具体校准和构建中就具有

很大的便利，它可以直接利用市场中可以观察到的数据进行因子分析。

第五节定价核（ｐｒｉｃｉｎｇ

ｋｅｒｎｅｌ）方法

期限结构中基于定价核的方法，一般认为源于Ｃｏｎｓｔａｎｄｉｎｉｄｅｓ（１９９２）的研

究。事实上，这个方向的研究成为了最近利率期限机构研究中最为活跃的部分，

下文中在新发展的介绍部分我们将会看到本质上属于定价核方法的研究成果．例

如位势模型、均方类模型等等。

定价核方法可以从两个方向进行理解。其一，Ｃｏｎｓｔａｎｄｉｎｉｄｅｓ（１９９２）的研

究的出发点来自于一般均衡的观点，其中代表经济人最优化跨时效用函数，

Ｉ．ｅ－ｐｔＵ（ｃ（ｆ））以

Ｐ表示折现率，Ｕ（ｏ）代表ＹｏｎＮｅｕｍａｎｎ－Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ效用函数。那么根据资产

定价的一般方法，该经济的均衡条件为：Ｅｆ－旦盟＋旦地】－０

“ｏｃ（ｏ

ｎ和）ＯＣ（Ｔ）ｎｉＴ）。

其中，Ｐ（ｆ）代表资产价格，兀（ｆ）代表价格水平，并（ｆ）代表相应资产在ｆ时刻对

应支付。那么，只要定义定价核Ｍ（ｔ）＝Ｉ－Ｉ～（ｔ）Ｅ，［ＯＵ／ＯＣ（ｔ）］，我们就能够得

到资产定价的一般公式，

Ｐ（ｔ）＝Ｅ［Ⅳ（ｒ）Ｍ（７１）】／肘（ｆ）

那么，在进行纯贴现债券定价时，我们就能够得到，

８（ｔ，Ｔ）＝Ｅ［Ｍ口）】／Ｍ（ｔ）（２．１４）

其二，我们也可以从市场无套利条件得出以上公式。只需回忆（２．３）式，

且定义Ｍ（ｔ）＝Ⅳ『１，我们也可以得到以上结论。但是，我们注意到，无套利鞅

定价还能让我们得到进一步的结论，即，计价资产Ⅳ和相应的鞅测度的对应性。

具体地，对应于（２．３）式和Ｂ（ｔ，ｎ，我们有以下引理１８：

引理ｌ：设Ⅳ１，Ｊｖ。为计价资产，

结论１：设Ｑ川是对应于Ⅳ１的等价鞅测度，如果砰／州是９∥测度下的鞅，那

么对应于Ⅳ２的等价鞅测度Ｑ胪则定义为，

ｄ９＂＼孵ＩＮｊ

尥∥ＩＦ昕／联

结沦２：如果Ｑ∥是对应于Ｎ７的唯一等价鞅测度，Ｊ＝１，２，那么孵／Ⅳ『ｌ是Ｑ∥

测度下的鞅，州／孵是Ｑ胪测度下的鞅。

因此，这就给了我们在选择计价资产Ｍ时获得了更大的灵活性。本文论述更倾

向于无套利解释，并将（２．１４）式写为，

Ｂ（ｔ，ｒ）＝彰。【Ｍ（Ｔ）Ｉ／Ｍ（ｔ）（２，１５）

那么（２．１５）构成了定价核方法的定价基础，通过对于Ｊ）ｌ彳（ｆ）函数的设定，

我们就可以构建出不同的期限结构模型；通过对于不同的计价资产的选择，我们

可以得到更为便捷的定价公式，甚至新的模型，这在后文的市场模型中体现得尤

其明显。其具体方法，本文将在后面的近年来的新发展中叙述。

另外，作为补充，定价核方法还有一个巨大的优势，即，它能够很好地同时

进行多种货币的债券定价。事实上，两国货币汇率可以表示为两国定价核的比率。

Ｂａｃｋｕｓｅｔａ１．（２００１）提供了～个离散时间版本的证明。连续时间参见Ｄｏｂｅｒｌｅｉｎ

（１９９９）。在此，本文提供一个启示性的说明。

假设在实际测度Ｑ下，由国家ｆ货币计价的资产价格过程为ｇ，那么在该测

度下，就可以找到一个定价核Ｍ？。使爿Ｍ？成为一个鞅：另一方面，令国家ｆ和

国家，之ｆｎＪ的汇率过程为矽，则用国家．，货币计价的该资产价格过程为甲≤，

同样地，我们也总可以找到一个９下的定价核五∥，使ｒ”ｇ＾∥成为一个鞅。

根据引理ｌ的结论２，掣删／叫就成为了一个Ｑ下的鞅。同时，引入新

的资产价格过程犁彬，则掣｜｜Ｉ∥，＾∥就成为了这个过程的定价核：另一方面已

知彭＾彳ｊ本身就是一个鞅，则它的定价核就退化成了常数；最后根据风险中性定

价中引用的结果，在完全市场下，存在定价核及其鞅测度的一一对应性，因此，

矽＾∥／膨ｊ是一个常数。基于这个结果，多个国家的利率期跟结构建模就可以

得到统一的解决。

下面，我们考虑定价核方法与前文方法的等价性。

２

首先我们可以看到，这种方法直接包含了风险中性定价方法，只需令

Ｍ（ｔ）＝ｅｘｐ（一［ｒｆｌｕ）即可。因此，这种方法也就包含了基于瞬时利率的定价方

法。在此基础上，由于下式成立，

Ｂ（ｔ，Ｔ）＝彰［Ｍ（Ｔ）］／Ｍ（ｔ）＝蟛［ｅｘｐ（一ｌｒ．ｄｕ）］ｘ

“＾．＾我们可以令必＝时［，：ｆ鳓磊，式中ｚ，就成为了Ｑ舟和Ｑ＋之间的Ｒａｄ。ｎ—

Ｎｉｋｏｄｙｍ导数，即，

”

Ｚ７１＝筹…ｐ［胁叭旷圭ｆ露幽】

和前文一致的，Ｗ＋（ｆ）记为风险中性测度Ｑ‘下的标准布朗运动，Ｚｆ是－４＂Ｑ”卜

的鞅。将乙代回到Ｍ，的表达式中，并利用ｌｔｏ引理，我们就能够得到，

ｄＭ，／弘＝一，：ｃ靠一五矗∥’◇）（２．１６）

可见，见事实上就是风险的市场价格。这就是Ｄｕｆｆｌｅ（１９９６）以及Ｄａｉａｎｄ

Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ

（２００３）对于定价核讨论的一般框架”。

至于定价核方法和ＨＪＭ的等价性。事实上，这可以从前文中ＨＪＭ和基于瞬

时利率定价方法的等价性直接获得。

小结：至此，本文介绍了利率期限结构定价的基本方法。同时，通过上文的讨论，

我们可以发现，事实上，在比较弱的技术条件下，各种方法之间并不是孤立割裂

的，而是交叉渗透的，相互等价的，说明了整个期限结构的理论的内洽性。

第三章几个代表性模型

根据Ｒｅｂｏｎａｔｏ（２００３），他将期限结构模型按照时间顺序和关心的重点问题

分为五个阶段，其中尤其是近年来的期限结构理论的发展和国外利率衍生产品的

发展是紧密相关的，他的区分方法比一般的套利模型与一般均衡模型两分法更为

实用。根据这一思路，本文也将选择在理论和实用方面都是最其代表性的模型及

其拓展进行讨论，而不限于方法论的区分：事实上，通过前文的讨论可以发现，

由于方法论的等价性，这样的区分的重要性也在不断下降。

第一节Ｖａｓｉｃｅｋ模型

在Ｖａｓｉｃｅｋ模型出现之前，对于利率期限结构动态的研究基本停留在静态分

析的简单扩展上。直到ＢｌａｃｋａｎｄＳｃｈｏｌｅｓ（１９７３）的无套利分析范式的出现，Ｍｅｒｔｏｎ

和Ｂｌａｃｋ也分别讨论了将Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式的方法论应用到利率期限

结构动态上。而Ｖａｓｉｃｅｋ模型作为真正意义上的动态期限结构理论的开始，直至

现在在具体应用中仍然十分广泛；同时由于其良好的Ｊ下态性和线性结构，在模型

估计和相关利率衍生品定价中都带来了非常大的便利。

在单因子的情况下，Ｖａｓｉｃｅｋ（１９７７）假设瞬时利率‘满足一个

Ｏｒｎｓｔｅｉｎ．Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程，同时风险的市场价格为常数，即，

ｄｒ，＝ａ（ｂ—ｒ）ｄｔ＋ａｄＷ（ｔ），丑＝兄

作为一类具有均值回复特点的瞬时利率动态模型，Ｖａｓｉｃｅｋ（１９７７）利用了

Ｏｒｎｓｔｅｉｎ—Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程的良好性质，我们就能够得到风险中性概率测度Ｑ。下的

动态，

咖＝ａ（ｂ’一ｃ）ｄｔ＋ｄ口驴’Ｏ），ｂ’＝ｂ—ｃｒＡ／ａ

然后我们就能解出这个Ｏｍｓｔｅｉｎ．Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程的随机微分方程。

‘＝ｒｏｅｘｐ（一口ｆ）＋６’【１一ｅｘｐ（一Ⅱｆ）】＋盯Ｌｅｘｐ［一Ⅱ（ｆ—ｓ）ｌａｗ’（ｔ）

那么利用（２．４），我们就可以得到Ｂ（ｔ，Ｔ）的显式解。在多因子的情况下，Ｖａｓｉｃｅｋ

模型的纯折现债券也有显式解，参见ＭａｒｔｅｌｌｉｎｉａｎｄＰｒｉａｕｌｅｔ（２００１）。这给该类模

型的应用带来了极大的便利。同时由于其瞬时利率的线性特征，在该类模型的估

计中可以运用标准的Ｋａｌｍａｎ滤波技术，从而回避复杂费时的模拟估计方法。但

是，对于Ｖａｓｉｃｅｋ（１９７７）这类正念模型有～个很大的缺点就是其瞬时利率可能

取负值。

ＨｕｌｌａｎｄＷｈｉｔｅ（１９９０）进一步拓展了Ｖａｓｉｃｅｋ模型，他们考虑了系数ａ，ｂ，盯

和风险的市场价格五可以随时间变化的情况，同时在漂移项，他们还加入了

目（ｎ。这样，基于瞬时利率的方法定价的Ｖａｓｉｃｅｋ模型就能够和初始期限结构保

持一致。那么瞬时利率的动态就是，

疵＝［口（ｆ）＋ａＯ）（６０）一‘）］衍＋ａ（ｔ）ｄＷ（ｔ）

当然这里目（，）是为了方便数学表达事实上，我们可以令

ｂＯ）＝６（『）＋口（ｆ）／口Ｏ）

来恢复Ｏｍｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程的表达形式。然后，ＨｕｌｌａｎｄＷｈｉｔｅ（１９９０）猜测

了该拓展性Ｖａｓｉｃｅｋ模型的解具有指数仿射形式，即，

Ｂ（ｔ，Ｔ）＝ａ（ｔ，Ｔ）ｅｘｐ［－ｆｌ（ｔ，ｒ）‘】

并且基于一般的偏微分方程推导了ａ（ｔ，丁），ｐ（ｔ，ｒ）所需满足的微分方程和边界

条件，这样至少为解拓展性Ｖａｓｉｃｅｋ方程的数值方法提供了理论基础。在数值方

法中，ＨｕｌｌａｎｄＷｈｉｔｅ（１９９４）也提供了实现以上模型的一个三叉树方法。

第二节ＣＩＲ模型

Ｃｏｘｅｔａ１．（１９８５）基于代表经济的一般均衡分析，得到了基于平方根过程的

期限结构模型。具体地，在风险中型概率测度下，他们假设瞬时利率服从以下过

程，

咖＝（ａ—ｂｒ，）ｄｔ＋仃√‘ｄ肜’（ｆ）

这样就能够避免瞬时利率取负值。通过从这个经济中解出的风险的市场价格

允＝Ａ、ｋ，Ｃｏｘｅｔａ１．（１９８５）的分析显示，ＣＩＲ模型能够得到纯贴现债券的冠

式解，同时在利率衍生产品定价中也具有良好的显式表达。

进一步来看，ＨｕｌｌａｎｄＷｈｉｔｅ（１９９０）考虑了拓展型ＣＩＲ模型，使其系数成

为时间的函数，即，

咖＝［口（ｆ）一ｂ（ｔ）ｒｔ］ｄｔ＋ｃｒ（ｔ）４ｒｔｄＷ’（ｆ），２ａ（ｔ）＞盯２０）

同拓展性Ｖａｓｉｃｅｋ模型一样，这样也能使模型动态和初始期限结构相符合。

在所谓的“等维度条件（ｃｏｎｓｔａｎｔｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）”下，即，ａ（ｔ）／ｏ。（ｆ）一

常数，Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ（１９９５）２０推导出了和初始期限结构的收益率和波动率相符合

的纯贴现债券价格。Ｒｏｇｅｒｓ（１９９５）说明了该条件的合理性来自于以下事实，如

果我们考虑一个ｄ维正态马尔可夫过程置满足，

ｄＸ，＝＠ｃｒ（ｔ）ｄＷ（ｆ）一÷ｐ（ｔ）ｘ，ｄｔ

ｌ’山二那么我们可以定义‘＝Ｊ一卜利用Ｉｔｏ引理，得到

ｄｒ，＝盯（ｒ）√‘ｄＷ（ｒ）＋［÷盯２０）一∥（ｆ）‘］ｄｔ

Ｒｏｇｅｒ（１９９５）还进一步指出，拓展型ＣＩＲ模型的解的形式为指数仿射型。

特别值得指出的是，关于ＣＩＲ模型的拓展，近年来出现了新的观点，同样

在等维度条件下，Ｓｚａｔｚｓｃｈｎｅｉｄｅｒ（１９９７）认为，ＣＩＲ模型实际是Ｂｅｓｓｅｌ过程的具

体应用，因此，他获得了更为一般性的ＣＩＲ模型。考虑以下ＪＰ概率测度下，万标

度的Ｂｅｓｓｅｌ过程，

ａｘ，＝ｄｄｔ＋２４ＸｔｄＷ（ｔ）

显然，Ｍ＝置一６ｔ就成为了Ｐ概率测度下的鞅，即，ｄＭ，＝２√置ｄＷ（ｔ）。

那么只需满足相应的技术条件，我们考虑以下指数鞅，

节，＝ｅｘｐ【ｒ∥（“）ｘｌｒ＇瓦ｄＷ（“）一专ｒ∥２（“）』。ｄ“】

＝ｅｘｐ［１ｊ［：ｆｌ（“）ｄＭ。一告Ｉ：∥２（“）ｘ。ｄ“】

利用对于上式指数项的第一个积分进行分部积分，那么我们得到以下结果，

，７，＝ｅｘｐ了１｛∥（ｒ）Ⅳ，一ｐ（ｏ）ｘ。一占ｒ卢（“）ｄ“一Ｉ：［卢２（“）＋卢’（“）】鼻。ｄ“）

是一个指数鞅。－接着，由Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理得到，当

ｄＰ＋＝ｑｒｄＰ，

ｄＸ，＝［万＋２ｆｌ（ｔ）Ｘ，］ｄｔ＋２４置ｄＷ’（ｆ），

其中Ｗ＋（ｆ）＝∥（，）一Ｃ卢（”）√：动“为概率Ｐ’下的标准布朗运动，根据后文得到

的一致性，这里的Ｐ＋事实上就是风险中性概率测度。再令Ｊ（ｆ）为一个严格Ｊ下的

连续可微函数，利用Ｉｔｏ引理，我们得到对于‘＝ｓ（ｆ）墨以＝｛加（，）＋【２觑ｆ）＋舞‘】冲＋２厕ｄＷＶ）

那么只要重新定义，我们就可以得到满足等维度条件的ＣＩＲ模型。

这样，纯贴现债券的动态可以解得如下，

Ｂ（ｔ，）＝ＥＪＰ‘［ｅｘｐ（一ｆ屹出）＝∥［ｅｘｐ（一ｆｓ（ｕ）Ｘ

ｄｕ）］Ｂ（ｔＴｅｘｐ（ｅｘｐ（ｓ（ｕ）Ｘ．ｄｕ），）＝彰

一Ｉ屹出）＝彰一ｌ

：彰［互ｅｘｐ（一卜（砧）以幽）】

代入吼的定义并像。用它晶鞅特性，我们得到。

Ｂ（ｔ，Ｔ）＝ｅｘｐ畴（一ｆｌ（ｔ）Ｘｔ一占Ｉｆｌ（ｕ）ｄｕ】＋

彰｛ｅｘｐ【去（∥（丁）ｚ，一ＴⅣ。（∥２（“）＋卢７（“）＋２Ｊ（“））ａ‰】｝

根据ｐ（ｔ）和ｓ（ｆ）的确定性，我们假设通过Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程来求解以下Ｒｉｃｃａｔｉ

方程：妒”（“）／妒＠）＝∥２似）＋∥’（“）＋２ｓ（ｕ），边界条件为，伊（ｆ）＝ｌ，

妒７（丁）／妒（丁）＝∥（丁）。由此，我们得到纯贴现债券的显式解，

１矿

Ｂ（ｔ，，）＝ｅｘｐ｛｛【伊’（ｆ）一∥（ｆ）】置＋万ｍ妒（ｒ）一万ｌｆｌ（ｕ）ｄｕ｝

Ｚ

显然，如果我们把ｘ．解释为状态变量，那么基于Ｂｅｓｓｅｌ过程的ＣＩＲ模型保留了

仿射类模型的良好特征。

另外，拓展型的ＣＩＲ模型事实上包括了大量的已有模型，例如，Ｂｅａｇｌｅｈｏｌｅ

ａｎｄＹｅｌｍｅｙ（１９９１）等。

第三节树型模型

由于ＨＪＭ模型的分析框架能够完全恢复出初始的期限结构，因此在实际

应用中ＨＪＭ类模型具有更大的空间和说服力。遗憾的是，多数期限结构模型没

有显式解。所以，数值方法的重要性就日趋重要起来，尤其是简单易懂便于实现

的“树型”模型，事实上也就是前文已经讨论过的具有马尔可夫性的ＨＪＭ模型。

通过构建瞬时利率，：的树型图，该算法往往快速简洁，该类模型在金融实业界是

非常流行的。其中比较常用的实例列举如下，

ＨｅａｎｄＬｅｅ（１９８６）：

咖＝【妒（Ｏ，ｔ）／Ｏｔ＋盯２ｔ］ｄｔ＋盯ｄ矿’（ｆ）

但是，ＨｏａｎｄＬｅｅ（１９８６）的主要缺点在于波动率为常数而且利率可能取负值。

因此，１３ｌａｃｋｅｔａ１．（１９９０）提供了一个对数版本的树型模型，其流行程度使

其成为了实业界的事实标准，其连续时间版本如下：

ｄｌｎｒｔ＝［秽（ｆ）＋口７（ｔ）／ｏ＇（ｔ）ｌｎｒ，］ｄｔ＋ａ（ｔ）ｄＷ’（力

进一步，ＢｌａｃｋａｎｄＫａｒａｎｓｉｎｋｉ（１９９１）研究了具有均值回复特点的对数化树

型模型：

ｄｌｎｒ，＝≯Ｏ）［ｈ‘一ｔｎｐ（ｔ）ｌｄｔ＋ｔｒ（ｔ）ｄＷ’＠）

值得注意的是，该模型并非自然具有汇合的树型Ｉ动态，因此我们需要对Ｉ的动

态旌加一定的条件使其汇合。关于以上两个模型的具体讨论和计算机实现可以参

考ＢｅｎｎｉｎｇａａｎｄＷｉｅｎｅｒ（１９９８）。

第四章利率期限结构近年来的新发展

近年来利率期限结构理论获得了飞速的发展，许多新的概念和技术被引进期

限结构理论的研究。作为本文的核心之一，本部分将介绍在过去的十年旱利率期

限结构理论获得的最新突破和各个发展分支。讨论的顺序为从具体的模型设定改

变到抽象的方法论的创新。

第一节利率期限结构模型构建技术创新

一、均方类模型（ｑｕａｄｒａｔｉｃ

ｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌ）

一般认为，这类模型的思想源于Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｉｄｅｓ（１９９２）所提出的所谓“ＳＡＩＮＴ”

（平方自回归独立变量名义期限结构）模型。具体地，Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｉｄｅｓ（１９９２）利

用（２．１４）进行建模，对于定价核，他提出了一个具体的均方函数形式，即，

Ｍ（ｆ）＝ｅｘｐ｛一（ｇ＋盯；／２）ｆ＋Ｊｏ（ｆ）＋∑［ｘ，（ｆ）一口，】２）

其中除了ｔ（ｆ），ｆ＝０，¨．，Ｎ都为常数，而‘（ｆ）服从Ｏｒｎｓｔｅｉｎ—Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程。这

种方法再近年得到了进一步的发展。Ａｈｎ

ｅｔａｌ．（２００２）、Ｌｅｉｐｐｏｌｄ

ａｎｄＷｕ（２００３）、

Ｃｈｅｎｅｔａｌ．（２００３）分别讨论了更为一般的均方类模型。尤其Ｃｈｅｎｅｌ

ａ１．（２００３）

指出，均方类模型易于设计、更能够描述利率动态时间序列数据的非线性并且也

具有仿射类模型形式上易于处理（ｔｒａｃｔａｂｉｌｉｔｙ）的良好性质。在此，我们将在前

文的方法论下，利用Ａｉｍｅｔａ１．（２００２）和Ｌｅｉｐｐｏｌｄ

ａｎｄ

Ｗｕ（２００３）的框架进行

介绍。更加形式化的分析参见Ｃｈｅｎｅｔ

ａ１．（２００３）和Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ（２００２）。

一般的均方类模型可以归于风险中性／ＰＤＥ定价方法，它由三个假设构成，

即，状态变量ｘ，，风险的市场价格丑和瞬时利率‘。当然，根据（２．１６），对于

冗的设定也可以等价地转换为对于定价核Ｍ（ｆ）的扩散项的设定，Ａｈｎｅｔ

ａ１．

（２００２）和ＬｅｉｐｐｏｌｄａｎｄＷｕ（２００３）分别采用了这两种等价的方法。具体如Ｆ，

在实际概率测度Ｑ下，

ｄｘ．＝一ｒＸ，ｄｒ＋ｄＷ（ｔ）

ｒｔ＝Ｘ：ＡｒＸｔ＋ｂｒ｜Ｘｔ＋ｃ

Ｚ．＝Ａ，Ｘ，＋ｂ，

上式中如没有下标ｔ，则为常数。干Ⅱ用和仿射类模型推导的相同方法和记号，即，

ｒ＝Ｔ—ｔ，Ｂ（ｔ，Ｔ，Ｘ，）＝Ｂ（Ｔ～ｔ，Ｘ，）＝Ｂ（ｒ，Ｚ。）我们可以得到纯贴现债券的价

格为，

曰（五，ｆ）＝ｅｘｐ［一掣一（ｆ）一＋６（ｆ）１墨４－ｃ（ｒ）］

类似地，彳（ｆ），６（ｆ），ｃ（ｆ）满足下列常微分方程组，

Ａ７（ｆ）＝Ａｒ一名（ｆ）（茁４－鸣）一（ｒ＋＾）７

Ａ（７）－２Ａ（ｒ）２

６’（ｆ）＝印～２Ａ（ｒ）ｂＩ一（ｒ＋４）７—２Ａ（ｒ）ｂ（ｒ）

ｃ’（ｚ－）＝ｃ，～６（ｆ）１％４－ｔｒＡ（ｒ）一６（ｆ）７ｂ（ｒ）／２

初值条件为：彳（Ｏ）＝６（Ｏ）＝ｃ（ｏ）＝０。从形式来看，均方类模型在瞬时利率是

状态变量的均方函数，由此得到的纯贴现债券价格也是指数均方函数。

从实证来看，Ａｈｎｅｔａ１．（２００２）利用有效矩方法（ＥＭＭ）识别了典则

（ｃａｎｏｎｉｃａｌ）类均方类模型和ＬｅｉｐｐｏｌｄａｎｄＷｕ（２００３）则使用了广义矩方法

（ＧＭＭ）。他们的结果都认为均方类模型相比仿射类模型提供了更好的拟和度。

二、随机场模型（ｒａｎｄｏｍｆｉｅｌｄ

ｍｏｄｅｌ）

以上的几乎所有文献对于利率期限结构的分析无论是从远期利率还是从纯

贴现债券价格出发，都根据基于标准布朗运动的漂移～扩散过程。Ｋｅｎｎｅｄｙ

（１９９４）的研究突破了这个限制，他引入了随机场（ｒａｎｄｏｍ

ｆｉｅｌｄ）的概念，考

虑了～类由随机场驱动的随机过程并且基于此构建了利率期限结构模型。

Ｋｅｎｎｅｄｙ（１９９７）、Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ（２０００）、Ｋｉｍｍｅｌ（２００４）和Ｓａｎｔａ—ＣｌａｒａａｎｄＳｏｒｎｅｔｔｅ

（２００１）２１继续发展了这一类模型，并且出现了一些利用随机场模型进行衍生产

品定价的研究，例如Ｌｏｎｇｓｔａｆｆａｎｄ

Ｓｃｈｗａｒｔｚ（２００１）。技术化的数学描述参见Ｆｕ仃ｅｒ

（２００３）

首先，我们来看经典的ＨＪＭ模型，以下写成标量（ｓｃａｌａｒ）的形式，

上

ｄｆ（ｔ，丁）＝（…冲＋∑ｑ（ｆ，Ｔ）ｄＷ，’（ｆ）

忙Ｉ

一种理解就是，尝试性地，当ｔ／＿＋∞时，扩散项就会成为一个随机场。值得指

出的是，在这些文献中和相关的引用文献中，例如Ｄａｉａｎｄ

Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２００３），由

于以上启发性的理解，随机场模型被认为“无限维”模型。但是，正如Ｓａｎｔａ—Ｃｌａｒａ

ａｎｄＳｏｍｅｔｔｅ（２００１）指出的那样，对于这种理解对于随机场模型存在误导，更好

地，我们可以认为随机场模型中随机源与远期利率的期限存在一一对应的关系。

为了说明这一点，根据Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ（２０００），利用布朗运动的可加性，上式可以等

价地写为，

ｄｆ（ｔ，丁）＝（…）ｔｉｔ＋Ｚ（ｔ，Ｔ）ｄＷ；（ｆ），其中∑（ｒ，ｒ）＝

那么我们就可以看出这种对应性。

『Ｆ式地，随机场Ｚ（ｔ，ｒ）实际上是由两个时间ｆ，丁来标度的随机曲面。最为

基本的随机场就是布朗随机场（Ｂｒｏｗｎｉａｎｓｈｅｅｔ）Ｗ（ｔ，丁），它对两个时Ｊ、日Ｊ参数都

几乎处处连续，同时，

ＥＷ（ｔ，Ｔ）＝Ｏ，Ｃｏｖ［Ｗ（ｔ．，石），Ｗ（ｔ２，五）】＝（‘＾ｔ２）（Ｅ＾正）

从基本价朗运动出发，对于每个固定的ｔ≠０，布朗运动Ｂ（ｔ，７１）我们也可以把

Ｗ（ｔ，７’）理解为Ｗ（ｔ，Ｔ）＝－，／ｔＢ（ｔ，ｒ）。

在此，根据Ｓａｎｔａ．ＣｌａｒａａｎｄＳｏｍｅｔｔｅ（２００１），在ＨＪＭ分析框架下，引入基

于一般随机场ｚ（ｔ，丁）的远期利率动态，这里我们利用Ｍｕｓｉｅｌａ（１９９３）的参数化

方法，改写ｒ（ｔ，∞＝ｆ（ｆ，ｆ＋菇），设，

ｒ（ｔ，ｘ）＝∥＠，ｘ）ｄｔ十ｃｒ（ｔ，ｘ）ｄＺ（ｔ，ｘ）

并且不失…般性地，假设Ｚ（ｔ，ｒ）是一个鞅并且满足

ｃｏｖ［ｄＺ（ｔ，王），ｄＺ（ｔ，瓦）］＝ＥＥｄＺ（ｔ，ＴＯｄＺ（ｔ，互）］＝ｃ（五，五）

Ｖａｒ［ｄＺ（ｔ，ｘ）】＝ｄｔ

在新的参数化方法下，我们有，

Ｂ（ｔ，丁）＝ｅｘｐ［一ｊ／（ｆ，ｕ）ｄｕ］＝ｅｘｐ［一Ｉｒ（ｔ，“）如】

那么，取对数后微分得，

ｄｌｎＢ（ｔ，Ｔ）＝ｒ（ｔ，ｒ～ｔ）ｄｔ一【ｄｕｄｒ（ｔ，Ｕ）

代入ｒ（ｔ，ｘ）的随机微分方程，得到，

ｄＩｎＢ（ｔ，Ｆ）＝【尸ｐ，Ｔ—ｆ）一Ｉ

ｄｕ／ｔ（ｔ，ｕ）］ｄｔ—ｊ：ｄｕｃｒ（ｔ，ｕ）ｄＺ（ｔ，掰）

在此，我们需要基于半鞅的Ｉｔｏ公式，即，对于连续半鞅ｊ，，和二次可微函数Ｆ，

Ｆ（置）一Ｆ（Ｘｏ）＝ｆＦ７（以）峨＋－ｉ１

ｆＦ。（置）ｄ（Ⅳ）。

在本文中基本上ｄ（ｘ）。可以视为（越）２２２。特别地，Ｓａｎｔａ．Ｃｌａｒａ

ａｎｄＳｏｍｅｔｔｅ

（２００１）利用了以下性质，对于ＲＣＬＬ独立增量平方可积鞅Ｚ，对于二次变差

过程有”，

ｄ《ｘ），＝ｄＥ（霹）＝ｖａｒ（峨）

另外二次协变差过程定义为：．

ｄ（Ｘ，Ｊ，），＝去（（ｘ＋ｙ），一（ｘ—Ｊ，），）

详细参见Ｍｏｒｔｅｒｓ（２００２）和何声武、汪嘉冈和严加安（１９９５）。

那么利用以上技术并且应用随机版本的Ｆｕｂｉｎｉ定理于二次变差过程中，则纯贴

现债券的动态为，

等箸币（ｔ，Ｔ－ｔ）一，喇¨）畦ｒ妙ｒ蚓训姚栅川坳

一【砂仃（ｆ，ｙ）ｄＺ（ｔ，ｙ）

为了求出无套利条件，必须说明定价核的动态，等价地，即说明风险的市场价格，

设定价核动态为，

面ｄＭ万（ｔ）＝一，．（ｆ）衍一ｆ彬（≠，ｙ）ｄＺ（≠，ｙ）Ｍ“、

～

如７一

…

这里，风险的市场价格Ａ（ｔ，丁）也可以表现出和远期利率一一对应的关系。最后

利用无套利定价等价于Ｂ（ｔ，丁）＾彳（ｆ）是一个鞅，再次利用Ｉｔｏ公式和半鞅分解，

得到无套利条件为，

ｒ（ｆ，７１～ｆ）一ｒ—ｄｙ∥（ｆ，ｙ）＋吾ｆ～砂ｒ～出ｃ＠，ｙ）仃（ｆ，ｘ）盯（ｆ，ｙ）一，．（ｆ）

一Ｊ）咖ｊ：ｄｘｃ（ｙ，工）仃（ｆ，ｘ）名（ｆ，功

对上式中的Ｔ—ｔ进行微分，并且记Ｘ＝Ｔ—ｆ，就能够得到漂移项的表述，

肿，护堡掣州侧ｒ加（训）∞川＋ｆ咖（曩ｙ）２（ｔ，ｙ）Ｃ扰

州

代回ｒ（ｔ，ｘ）的方程中，我们就得到了基于随机场的利率期限结构模型的完整描

述。在此可见，随机场模型漂移系数也是由扩散系数决定的，仍然保留了和基于

布朗运动的ＨＪＭ模型的一致性。此外，Ｆｔｖｒｅｒ（２００３）在原始的Ｈ／Ｍ模型中证

明了类似的结论。

最后，由于最初的随机场模型是基于布朗运动构建的，其扩散项是时间的函

数。Ｋｉｍｍｅｌ（２００４）通过在远期利率的随机微分方程中在加入标准布朗运动，

提出了更具一般性的混和的“潜在变量（１ａｔｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅ）”状态一空间模型。

三、市场模型（ｍａｒｋｅｔｍｏｄｅｌ）

根据Ｒｅｂｏｎａｔｏ（２００３），市场模型是最近十年来期限结构模型理论中的最为

重要的发展。这类模型的思想用Ｂｊｏｒｋ（２００１）的话概括就是，“如果你不能够战

胜市场，那就加入市场”（ｉｆｙｏｕｃａｎｎｏｔｂｅａｔｉｔ，ｊｏｉｎｉｔ）。从金融实业界的实践来看，

对于基于Ｌｉｂｏｒ和互换利率的衍生产品的定价的市场标准就是Ｂｌａｃｋ（１９７６），其

中，这些利率被假设为服从几何布朗运动，因此可以使用Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ公式的

推导逻辑。但是，根据上文的分析不难发现，一般的期限结构模型无法保证这一

点。因此，定价思路和市场相一致的市场模型也就应运而生了。同时，值得指出

的是，市场模型建模的对象是Ｌｉｂｏｒ、互换利率或者是互换期权（ｓｗａｐｔｉｏｎ）等等

可以直接观察到的变量，相对于前述基于瞬时利率或者远期利率等不可直接观察

的变量的模型相比，市场模型在实际应用中具有巨大的优势。一般看来，对于远

期Ｌｉｂｏｒ利率进行对数丁Ｆ态化建模始于Ｍｉｌｔｅｒｓｅｎｅｔａ１．（１９９７）。市场模型的主要

文献有Ｂｒａｃｅｅｔａｌ．（１９９７）、ＭｕｓｉｅｌａａｎｄＲｕｔｋｏｗｓｋｉ（１９９７）和Ｊａｍｓｈｉｄｉｍｌ（１９９７）。

在此，本文将主要讨论基于Ｌｉｂｏｒ的最重要的市场模型（ＬＬＭ）。基于互换利率

或者互换期权的文献可以参考Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ（１９９７）。以下的讨论将根据Ｒｕｔｋｏｗｓｋｉ

（２０００），同时，Ｒｕｔｋｏｗｓｋｉ（２００４）也提供了一个很好的综述。

ＬＬＭ的分析框架沿用了ＨＪＭ范式。根据ＨＪＭ分析框架，我们知道，风险

中性概率测度下，

矗Ｂ（≠，Ｔ）／Ｂ（ｔ，ｒ）＝ｒ，ｄｔ＋ａ（ｔ，Ｔ）ｄＷ’（≠）

其中，口（ｆ，丁）＝一Ｉａ（ｔ，“）ｄｕ，ｏ－（ｔ，丁）表示远期利率ｆ（，，丁）的波动率。那么

当期限间隔为巧时，定义远期Ｌｉｂｏｒ利率和相应符号如下，

１删僻翥％咧ｔ，Ｔ，Ｔ＋６）

则利用Ｉｔｏ公式对两边微分，我们就可以得到，

６ｄＬ（ｔ，丁）＝五（ｆ，Ｔ，Ｔ＋万）ｙＯ，Ｔ，Ｔ＋６）［ｄＷ’ｐ）一ａ（ｆ，丁＋６）ｄｔ］

式中ｙ（ｔ，Ｔ，Ｔ＋万）＝ａ（ｔ，ｒ）一ａ（ｔ，Ｔ，Ｔ＋万）。那么如果我们变换测度，整理上式，

就可以得到远期Ｌｉｂｏｒ利率的对数正态化的形式，

班（，，丁）＝Ｌ（ｔ，Ｄ五以Ｔ）ｄＷ”６（，）

其中，ＷＴ＋８（ｆ）＝Ｗ’（ｆ）一【ａ（ｕ，ｒ＋６）ｄｕ，Ｖｔ∈【Ｏｙ＋万】

ｚ（ｔ，丁）＝［１＋６Ｌ（ｔ，丁）】ｙＯ，Ｔ，Ｔ＋６）／６Ｌ（ｔ，７’）

这样，通过变换测度，我们实际上使Ｌ（ｔ，ｒ），也就是Ｂ（ｆ，Ｔ，Ｔ＋Ｊ）成为了新测

度下的鞅。回忆我们在定价核中的论述，利用引理ｌ，我们事实上选择了计价资

产Ｂ（ｔ，Ｔ＋们，这就是ＭｕｓｉｅｌａａｎｄＲｕｔｋｏｗｓｋｉ（１９９７）中提出的“远期测度方法”

（ｆｏｒｗａｒｄｍｅａｓｕｒｅａｐｐｒｏａｃｈ）２，ｔ。至此，我们总结了ＬＬＭ的基本理论基础。

Ｂｒａｃｅｅｔａ１．（１９９７）利用“前向递推”（ｆｏｒｗａｒｄ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）方法求解了。类

ＬＬＭ。具体地，不妨认为远期Ｌｉｂｏｒ利率的期限间隔相同他们假设存在初始利率

期限结构Ｌ（Ｏ，丁）和确定性的Ｌ（ｔ，ｒ）的波动率２（ｔ，丁），这里也保持ＴｉＥ号的‘

致性。那么在即期鞅测度（ｓｐｏｔｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅ）２５下，假设有以下Ｌ（ｔ，丁）随

机微分方程，

ａｚ（ｔ，Ｔ）＝∥０，ｒ）ａｔ＋上０，Ｔ）２（ｔ，Ｔ）ｄＷ’（ｆ）

根据ＨＪＭ并且带Ａａ（ｔ，聊，远期利率在该测度下的动态为，

ｄｆＯ，丁）＝－ａ（ｔ，丁）仃（ｆ，Ｔ）ｄｔ＋ａ（ｔ，Ｔ）ｄＷ’（ｆ）

那么根据Ｌ（ｔ，ｒ）和ｆ（ｔ，丁）的定义，

ｌ＋６Ｌ（ｔ，丁）＝ｅｘｐＩ，（ｆ，ｕ）ａｕ

对Ｌ式的两边使用Ｉｔｏ公式（或者先取对数后微分），比较扩散系数，得到，

ａ（ｔ，Ｔ）一ａ（ｔ，Ｔ＋万）＝６Ｌ（ｔ，Ｔ）２（ｔ，Ｔ）／［１＋６Ｌ（ｔ，丁）］

则，给定～个初始的口，对上式两端逐项累加。也即按时间ｒ前向递推，我们就

能够解出一系列ａ（ｔ，ｒ）。由此完成了对于Ｂｒａｃｅｅｔａ１．（１９９７）模型的描述。

ＭｕｓｉｅｌａａｎｄＲｕｔｋｏｗｓｋｉ（１９９７）提出了所谓了“后向递推”（ｂａｃｋｗａｒｄｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）

方法。更重要的是，他们的论文基于半鞅的乘积分解得出了所谓“隐含储蓄账户”

（ｉｍｐｌｉｅｄｓａｖｉｎｇａｃｃｏｕｎｔ），进一步发展了基于Ｂ（ｔ，丁）作为半鞅，这一最大可积

类的定价理论。在此，本文简述其ＬＬＭ的建模思路，即，ＭｕｓｉｅｌａａｎｄＲｕｔｋｏｗｓｋｉ

（１９９７）明确提出的“远期测度方法”。

具体地，假设我们有以下间隔结构（ｔｅｎｏｒｓｔｒｕｃｔｕｒｅ）并且引入相应记号，即，

对于０＜瓦＜…＜Ｚ＝Ｔ‘，令

ｔ＝弓一Ｃ一，Ｊ＝ｏ，．．．，珂

《＝ｒ’一∑４＝乙一，彤＝ｏ，¨．，摊

建模思路为引入计价资产Ｂ（ｔ，ｒ）和相应鞅测度尸，即，耻忍驴ｊ－勰舴［０，瓦删

劫下是一个鞅。同Ｂｒａｃｅｅｔａｌ．（１９９７）类似的，ＭｕｓｉｅｌａａｎｄＲｕｔｋｏｗｓｋｉ（１９９７）

同样假设存在初始期限结构ｔ（Ｏ，ｒ）和远期Ｌｉｂｏｒ利率的波动率；ｆｉｔ，Ｔ）。那么根

据基本理论基础部分的讨论，我们知道以下结论，

ｄＬ（ｔ，ｔ）＝Ｌ（ｔ，Ｔｊ）２（ｔ，Ｉ）ｄ矿ｏ“Ｏ），Ｖｔ∈［０，一】

变换记号，也就是

ｄＬ（ｔ，砭１）＝五（ｆ，巧１）五（ｆ，巧１）ｄＷｌ（ｆ），Ｖｔ∈［ｏ，巧ｊ］

而相应的初始期限结构，也即初始条件，为，

／４０，乃）＝［Ｂ（Ｏ，１）一Ｂ（Ｏ，弓＋。）】，［Ｊ川８（０，乃＋。）］

那么，以下将根据这组随机微分方程进行后向递推，从最远的期限Ｌ—ｌ＝正’开始，

根据以上随机微分方程和相应最初期限结构数据，也即初始条件，并假设相应鞅

测度为实际概率测度Ｑ，我们有，

班Ｏ，石‘）＝Ｌ（ｔ，五’）五（ｆ，五＋）ｄ形（ｆ）

Ｌ（Ｏ，巧’）＝［Ｂ（Ｏ，７：’）一８（０，Ｔ＋）】／［瓯Ｂ（ｏ，Ｔ‘）】

也就是说妹＝Ｑ下，我们有计价资产Ｂ（ｔ，Ｔ’），使得有如下鞅，

啪驴）＝船

为了看清楚递推关系，不妨记丁’＝巧。注意到Ｌ（ｔ，瓦’）的定义，事实上我们也

获得了‘（ｆ，巧，Ｔ‘）的动态。这样我们就完成了五＋下的远期Ｌｉｂｏｒ利率的描述，

接着开始向巧递推，根据动态递推方程和计价资产选择的讨论，为了获得

￡（ｆ，巧）的动态，我们需要以８（ｔ，五＋）为计价资产的相应鞅测度岔，使得以下过

程为鞅，鼬埘）＝勰

将‘（ｆ，巧，巧）代入上式，就能够得到，耻删Ｍ也捌）船＝器裸

由于卜式中分子分母的动态都已经获得，那么使用］ｔｏ公式，我们就能够得到，哪删吲唧ｄＷ）一崔揣加彳Ｍ

这里群是某个确定性过程，并非模型研究的重点，当然也完全可以使用Ｉｔｏ公式

得到它的确切表达。那么，为了获得Ｂ（ｆ，巧，石’）的鞅性，我们需要定义以下测

度和对应的布朗运动：∥耳ｏ）＝缈（。一ｆ端旯（“，彳）幽＝形ｏ）一ｆｙ＠，互＋）幽

根据Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理，相应的Ｒａｄｏｎ－Ｎｉｋｏｄｙｍ导数为，舞一ｐ嘶蝎ｗ咖一抄２∽嗍

那么我们就能获得三（ｆ，巧）的动态和初始条件如下：

ｄＩ．（ｔ，７＂２＂）－－－Ｌ（ｔ，巧）五（ｒ，巧）ｄ矿‘’（ｆ）

删，＝笔黼铲

至此，就完成了三（ｆ，巧）的动态的描述。同样地。根据以上方法不断由后向前递

推，就能够完成对于所有间隔结构内Ｌ（ｔ，Ｔ）的动态描述。对于上述后向递推方

法，Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ（１９９７）做出了更为一般化的描述。

四、Ｍａｒｋｏｖ泛函模型（ｍａｒｋｏｖ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｍｏｄｅｌ）

上述市场模型能够利用市场中可观察到的衍生产品作出和市场一致的定价

但是由于实现中，往往模型的维度较高，因此给模型的校准带来一定的困难。

Ｍａｒｋｏｖ泛函模型正是在市场模型的基础上，假设模型的随机动态是由低维度的

马尔可夫过程通过一定的函数关系决定的，由此解决模型的校准问题。

Ｍａｒｋｏｖ泛函模型的基本思想就是，假设有一个低维度的马尔科夫过程Ｍ．，

通常为一维或者二维。那么进一步假设模型中变量的随机性都是由Ｍ。带来的。

则，纯贴现债券价格和计价资产分别可以记为Ｂ（ｔ，Ｔ，Ｍ），Ⅳｆ（Ｍ，）。作为一种解

释，如果我们引入某个函数∥（ｆ）使得，Ｂ（ｔ，Ｔ，Ｍ）／Ｍ（够）＝口＋ｆｌ（Ｔ）Ｍ，，

则只需选择适当的函数形式∥（ｆ），就可以便捷地进行模型的校准了。

由于∥（ｆ）的选择或者其它的函数形式和基于何种衍生产品进行定价决定了

Ｍａｒｋｏｖ泛函模型的性质，使得实际应用中的Ｍａｒｋｏｖ泛函模型的变体很多，显得

非常烦杂，因此为了说明该类模型的思想，在此，本文的讨论仅基于Ｈｕｎｔｅｔａ１．

（２０００）的一类Ｍａｒｋｏｖ泛函模型。假设我们有一系列互换利率的确定Ｆｌ（ｓｅｔｔｉｎｇ

ｄａｔｅｓ）ｌ，扛１，．．．，／７和观察到的市场中的互换利率报价一，ｆ＝１，．．．，门。

接着，我们假定在测度Ⅳ下进行讨论，并作出以下假设：

１、已知马尔可夫过程Ｊ＝ｌ矿在Ⅳ下的动态；

２、己知对于Ｓ＞巧，Ｂ（霉，Ｓ，埏）对Ｍ依赖的函数形式；

３、Ⅳ，（Ａｔ）可以从模型中推导出，这样就能够完成模型的定义；

４、ｙ：是＾，，的单调增函数。

在以上假设下，我们就可以通过校准市场中的普通互换期权（ｖａｎｉｌｌａ

ｓｗａｐｔｉｏｎ）

利用后向递推获得＾０（肘，）的具体函数形式，从而解出这类Ｍａｒｋｏｖ泛函模型。

在此，Ｈｕｎｔｅｔａ１．（２０００）利用了两值互换期权（ｄｉｇｉｔａｌｓｗａｐｔｉｏｎ），令这样

的在时问Ｆ执行价格为Ｋ，对应于．ｙ。的期权价值为Ｗ（足），则有，

％（髟）＝ｐ，ｔ。ｓｇｎ（ｙ；１＞）

只表示累计因子，即两值期权，履Ｋ（ａｃｃｒｕａｌｆａｃｔｏｒ）约时的支付。上式实际代表了

该期权的远期价值。这样，利用计价资产Ｍ和（２，３）式，我们得到，ＶＯ（Ｋ胤（％）瓦黜ｓ酗（％）＞捌

群ｆ．协１此后，再引入记号爿（％）＝端

那么利用后向递推方法，在此不妨假设已知Ｎ吒（％），ｋ＝ｆ＋１，－－·，聆，然后由ｙ－

模型最初的假设和定价核方法，特别是利用Ｊ；Ｉｔ的动态，我们就能够知道如下变

量的具体函数形式，ｆｉ，，…、Ｂ（正，，＾％）以，％只％）＝莆Ｓ

以及岩ａ注意到砖２６可以写成以下形式，

。～Ｎ。－．１一曰（巧，Ｓｉ，。Ｖ‘－１

Ｙｒ，一岩％１

鼓代表相应的到期日。利用前述的记号，解得，％‘％卜丽丽瓦南丽

则，只需知ｉ％（鸭）我们就能够得到Ⅳｚ（Ｊｉｌ如）。

再根据假设４，依据单调性，我们总可以有以下表达，

｛坞＞ｘ’）＝｛蛎＞Ｋ７（ｘ’））

定义如下函数形式，

以＠’）＝Ｎｏ（％）瓦［岩（鸭）ｓｇｎ（Ｍｒ＞ｘ＋）］，

那么，利用单调变换，我们就有矗（ｘ‘）＝巧（Ｋ‘（工’））。在利用单调性，事实卜

我们就可以得到或（』‰）的具体函数形式，至少是数值解。

虽然，Ｍａｒｋｏｖ泛函模型已经有了不少应用，但是该类模型和其它模型的关

系仍然需要进一步的研究。由此，该类模型在理论ｔ－＿仍然属于探索性的尝试。

第二节认识利率期限结构的方法论创新

以下本文将讨论近年来对于利率期限结构研究的新的观点，其中一些方法通

过引入新的方法和工具，完全重建了我们对于利率期限结构的分析框架。

一、位势（ｐｏｔｅｎｔｉａｌ）方法

受启发于Ｃｏｎｓｔａｎｄｉｎｉｄｅｓ（１９９２）直接对定价核进行建模的思路，位势方法

的明确提出归于Ｒｏｇｅｒｓ（１９９７）。事实上，作为～种相当基本的方法，位势方法

具有多种实现形式。Ｒｏｇｅｒｓ（１９９７）和ＬｅｉｐｐｏｌｄａｎｄＷｕ（１９９９）讨论了基于马尔

科夫过程的位势方法；ＪｉｎａｎｄＧｌａｓｓｅｒｍａｎ（２００１）的方法则是应用了Ｄｏｏｂ－Ｍｅｙｅｒ

上鞅分解”。ＲｏｇｅｒｓａｎｄＺａｎｅ（１９９７）、Ｒｏｇｅｒｓ

ａｎｄＹｏｕｓａｆ（２００２）和Ｎａｋａｍｕｒａａｎｄ

Ｙｕ（２００１）则尝试利用位势方法得到的利率期限结构和汇率模型进行了实证研

究，而且他们还把位势方法拓展到了股票期权的定价。Ｒｏｇｅｒｓ（２００４）则从非常

弱的技术条件，基于Ｄｅｌｂａｅｎ

ａｎｄ

Ｓｃｈａｃｈｅｒｍａｙｅｒ（１９９４）讨论了利用位势进行利

率期限结构建模的一般性。

所谓位势，就是具有以下性质的正的上鞅（ｓｕｐｅｒｍａｒｔｉｎｇａｌｅ）互，即

Ｅ，Ｚ７，≤Ｚ，，Ｖｆ≤Ｔ，并且ｌｉｒａＥＺｒ＝０

那么我们回忆（２．１５），即Ｂ（ｔ，丁）＝Ｅ［肘（ｒ）】／＾，（ｆ），这里为了节省记号，省

去算子Ｅ的上标所以只要利用Ｂ（ｔ，丁）≤１，并且附加一个合理的条

件ｌｉｍＢ（ｔ，７１）＝０，很明显定价核Ｍ（ｆ）就满足成为一个位势的条件。

因此，如果能够找到一个马尔科夫过程Ｚ，这个过程驱动了定价核＾彳（ｆ）并

且足定价核成为一个位势，那么我们就能够以比较小的代价进行利率期限结构建

模。这就是Ｒｏｇｅｒｓ（１９９７）和ＬｅｉｐｐｏｌｄａｎｄＷｕ（１９９９）的方法的基本思路。具

体地，定义定价核的形式如下，

期

Ｍ（ｆ）＝ｅｘｐ（一耐）吃ｇ（置）＝可Ｉｅｘｐ（一ａｓ）ｇ（置）弧】

上式中ｇ为一个正定的函数：疋表示预解算子”。这样，根据以上定义，即町

推得一系列变量的表达如下”，

ｌ＝一８１ｎＢ（ｔ，ｒ）ｌａｒｌ阳＝ａＥ【Ｍ（丁）］／ａ丁Ｌ＝ｇ（置）／Ｒｇ（Ｘ，）

Ｂ（ｔ，Ｔ）＝巨｛ｅｘｐ［一ｏｔ（Ｔ—ｆ）】吃ｇ（爿ｊ））／Ｒｇ（置）

另外作为一个重要的变换。我们知道预解算子有如下表示，即，

恐＝（ａ－Ｌ）。１

其中，Ｌ为对应于ｊ－的马尔科夫过程的无穷小生成予（ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ

ｇｅｎｅｒａｔｏｒ）。

为了方便起见，某些情况下，我ｔｆ］ｔｇ会应用正定函数ｆ＝吃ｇ＝（口一三）～ｇ。

同时也『Ｆ是由于Ｒ的以上表达形式，Ｒｏｇｅｒｓ（１９９７）提出可以将Ｒ的算予多项

式展开进行对定价核的逼近。特别地，Ｌｅｉｐｐｏｌｄ

ａｎｄＷｕ（１９９９）讨论了基于‘类

相当一般的Ｚ动态的位势模型，包括了Ｒｏｇｅｒｓ（１９９７），那么，只要选择适当的

函数譬，位势模型能够包含均方类模型和仿射类模型。

至此，在以上框架下，只要有置的动态描述并且选择某个正定函数ｇ（或

者等价地，厂），通过调整口就能够得到一个具体的利率期限结构模型。同时，

由于位势方法属于基于定价核的方法，它和ＨＪＭ框架是一致的，ＬｅｉｐｐｏｌｄａｎｄＷｕ

（１９９９）和ＪｉｎａｎｄＧｌａｓｓｅｎｎａｎ（２００１）均做了相关的讨论。

更为一般地，ＪｉｎａｎｄＧｌａｓｓｅｒｍａｎ（２００１）的讨论则认识到，给定一。个位势

Ｍ（ｔ１，利用Ｄｏｏｂ．Ｍｅｙｅｒ分解定理３０，就存在一个唯一的连续正定递增平方可积

过程４＋满足，

Ｍ（ｆ）＝Ｅ以一爿，

则更基本地，只要定义一个连续正定过程ｑ满足，

４＝ｆ吼兹

这样只要选择适当的ｄ，就能够构建出相应的利率期限结构模型。进一步来看，Ｊｉｎ

ａｎｄＧｌａｓｓｅｒｍａｎ（２００１）的模型和位势方法的关系只需注意到，如果定义

日，＝ｅｘｐ（一ｃｔｔ）ｇ（Ｘ，），他们的模型就成了基于马尔科夫过程的位势方法。

二、混沌（Ｃｈａｏｓ）方法

从本质来看，混沌方法仍然属于位势方法，但是由于其引入了特定的概念

和期限结构模型分类方法，本文在此加以分开介绍。

Ｂｒｏｄｙ

ａｎｄ

Ｈｕｇｈｓｔｏｎ（２００４）和Ｈｕｇｈｓｔｏｎ

ａｎｄＲａｆａｉｌｉｄｉｓ（２００５）利用Ｗｉｅｎｅｒ

混沌展开（ＷｉｅｎｅｒＣｈａｏｓＥｘｐａｎｓｉｏｎ）提出了这类方法。仍然沿用上述一般的记

号阐述模型的基本思想，具体地，除了位势的假定和可积性的技术性假定外，模

型的推导首先需要三个一般化的假定：

Ａ）货币市场帐户Ｓ＝＆ｅｘｐ（【，：ｆ矗“）严格递增，绝对连续；

Ｂ）存在定价核Ｊｊｌ彳（ｆ），对于价格过程Ｐ及其分红率口，使得以下过程为鞅，

￡Ｍ（ｆ）＋【乜Ｍ（ｕ）ｄｕ

ｃ）存在某种资产，其分红率能使该资产价值保持不变（例如，浮动利率票据）。

前两个假定非常自然。由于假定ｃ），我们能够得到以下结论，对于保持价值不

变的资产，其份格过程只就退化为常数，不妨设为１；而其分红率必然就等于瞬

时利率ｒ，那么以下过程就是一个鞅，

Ｍ＝Ｍ（ｔ）＋【ｒ。Ｍ（ｕ）ｄｕ

根据（２，１６）式，定义风险的市场价格为元，得到”，

ｄＭ（ｔ）＝－ｒ，Ｍ（ｔ）ｄｔ一２ｔＭ（ｔ）ｄＷ（ｔ）

将其两边从０到ｔ积分，则，

Ｍ（ｔ）＋【ｒｕＭ（ｕ）ｄｕ＝Ｍ（Ｏ）～【屯Ｍ（ｕ）ｄｕ

利用日Ｆ述假定和假定ｃ）得到的结论，朋’Ｏ）＋．【气朋’（Ⅳ）沈ｆ就成了一个鞅，口ｆ』，

Ｍ（ｔ）＋【ｒ．Ｍ（ｕ）ｄｕ＝吼Ｍ（ｒ）＋【ｒ．Ｍ（ｕ）ｄｕ］

整理上式并利用Ｂ（ｔ，Ｔ）＝Ｅ１．［Ｍ（ｒ）／＾ｆ（ｆ）】，再利用随机版本的Ｆｕｂｉｎｉ定理交

换积分号和期望算子，则有，

１矿Ｂ（７，ｒ）＝１一赢ｊＥ，［ｒｏＭ（“）协

那么当Ｍ“１是一个位势时，对上式两边取丁＿∞，利用单调收敛定理，则，

Ｍ（ｆ）＝ＥＩｒ。Ｍ（ｕ）ｄｕ

进一步定义彬＝‘Ｍ（ｆ），则

Ｍ（ｔ）＝Ｅ，［ｆｆｒｌ：ｄｕ］＝互［』ｒｌ。ｄＷ（ｕ）］２＝Ｅ【ｊ：ｒ１．ｄＷ（ｕ）一ｊ：仇ｄ∥＠）］２ｍ．＾０＾

由上式并定义鼠＝【ｒＬｄＷ（ｕ），我们就能够得到所谓的以的“条件方差”，

Ｍ（ｔ）＝剐（以一Ｅ鼠）２］

这样，对于利率期限结构模型ｊ乙就成为了基本构成元素。另外，如果定义一个

鞅毛＝置掰，就能够得到Ｊ］ｌ，（，）＝ｌＺｍ幽。因此，纯贴现债券的形式为，即刃：娑

ｊ互。ｄｕ

上式仍需要随机版本的Ｆｕｂｉｎｉ定理交换条件期望算子和积分号。这就是Ｆｌｅｓａｋｅｒ

ａｎｄＨｕｇｈｓｔｏｎ（１９９６）的利率期限结构模型的形式。

以下的推导需要用到Ｗｉｅｎｅｒ混沌展开定理和ｎｏ表现定理，其严格的表达参

见Ｏｋｓｅｎｄａｌ（１９９７）。在此，本文利用ＢｒｏｄｙａｎｄＨｕｇｈｓｔｏｎ（２００４）中利用Ｉｔｏ表

现定理非正式但是启发性的描述。更加确切但是也更形式化的关于鞅表现定理、

Ｗｉｅｎｅｒ混沌展开和Ｃｌａｒｋ．Ｏｃｏｎｅ公式３２的相互关系的表述参见Ｌｏｋｋａ（１９９９）。

使用Ｉｔｏ表现定理，对于平方可积的随机过程Ｌ有如下分解，

写＝Ｅ耳＋【鼠（ｓ。）ｄＷ（ｓ。）

其中ｏｌ（岛）也是平方可积随机过程。再对日（Ｓ１）使用鞅表现定理的积分形式，

ｑ（ｓ。）＝ＥＯ，（ｓＩ）＋【１幺（岛，＆ｙ∥（是）

其中幺（＿，Ｊ２），０≤Ｊ２≤ｓｌ也是平方可积区机过程。记噍…％２Ｅ［ＯＡｓ”．．，Ｊ。）］

反复利用以上过程就能得到Ｗｉｅｎｅｒ混沌展开，

‘＝层Ｊ；＋ｆ噍ｄ∥（五）＋ｆ（ｒ砍山ｄＷ（ｓ２））ｄＷ（ｓ１）＋……

在此，只要把ｊ巳按照上式展开，也就是把玩展开成，

％２氏＋ｌ噍＾ｄＷ（ｓ２）＋…．．

截取研的不同长度就可以得到相应的期限结构模型。ＢｒｏｄｙａｎｄＨｕ曲ｓｔｏｎ（２００４）

和ＨｕｇｈｓｔｏｎａｎｄＲａｆａｉｌｉｄｉｓ（２００５）提供了一级和＝级混沌模型的大量例子。

因此，混沌方法提供了一个相当一般的利率期限结构建模的方法，它把定价

核做了进一步的分解，得到了更加基本的结论和建模组成构件（ｂｕｉｌｄｉｎｇｂｌｏｃｋｓ）。

三、信息几何（ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｇｅｏｍｅｔｒｙ）方法

信息几何方法的提出归于Ｂｒｏｄｙ

ａｎｄ

Ｈｕｇｈｓｔｏｎ（２００１，２００２），这种方法仍然

需要定价核是一个位势的假设，但是它运用了全新的视角来分析纯贴现债券，提

出了新的利率期限结构建模思路。具体地，假设魂｝（ｆ，Ｔ）／ａＴ＜０，并且认识到

０＜Ｂ（ｔ，Ｔ）≤１，那么利用Ｍｕｓｉｅｌａ（１９９３）参数化后，我们就可以把

ｂ（ｔ，ｘ）＝Ｂ（ｔ，ｆ＋ｘ）看成是一个累计分布函数，即，

Ｐ［Ｘ＜ｘ］＝ｌ—ｂ（ｔ，Ｘ）

这样，我们可以定义相应的‘二声度函数”岛（工）＝一ａ６（ｆ，ｘ）／ａｘ，同时，

ｆ。ｎ（“）ａｕ＝ｌ

有了这个“密度函数”，就可以利用信息几何理论来分析利率期限结构，这就是

信息几何方法的基本出发点。当然，一般的利率期限结构建模的角度来看，选择

适当的ｐａｘ）也就能够得到相应的利率期限结构模型。Ｂｒｏｄｙａｎｄ

Ｈｕｇｈｓｔｏｎ

（２００１）、（２００２），根据６（ｆ，ｘ）的动态，推出了ｐａｘ）的动态和对应于“密度函

数”概念的一阶矩和二阶矩的动态。

值得指出的是，基于信息论，信息几何方法对于收益率曲线的拟和提出了新

的校准标准，即，给定对应于６（ｆ，ｘ）分布的熵（ｅｎｔｒｏｐｙ）Ｓｐ，定义如下，

Ｓｐ＝一【ｐ，（ｘ）ｌｎｐ，（ｘ）ｄｘ

则，在模型校准中，应当选择使Ｓ。最大化的ｐａｘ）。此外，ＢｒｏｄｙａｎｄＨｕｇｈｓｔｏｎ

（２００１）还讨论了该类模型在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间的几何性质。

四、几何观点

Ｂｊｏｒｋ及其合作者和Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ及其合作者近年来进行的一系列研究采用了新

颖的利率模型的几何观点，并取得了许多具有实际操作意义的理论成果。在此，

本文将择要阐述他们研究的基本问题和相关结论。同时注意到，为了完全刻画利

率模型的几何观点需要引进许多新的数学工具，例如Ｓｔｒａｔｏｎｏｖｉｃｈ积分、Ｌｉｅ一代

数、微分几何中的Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ定理等等，本文的讨论将基于直觉意义而非严格的

数学表达。

首先，在实际应用利率期限结构模型中，随着时间，的推移，我们总是根掘

市场变化定期对模型进行重新校准（ｒｅｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ）。具体来说就是，利用某个函

数族Ｇ（例如，样条函数，Ｎｅｌｓｏｎ．Ｓｉｅｇｅｌ函数等等）从市场原始数据中获得收益

率曲线，然后用收益率数据去校准所使用的模型Ｍ（例如，Ｃ１Ｒ，Ｖａｓｉｃｅｋ等等）。

那么，问题就在于Ｇ是不是总是能够包含Ｍ。如果足肯定的话，就称（Ｍ，Ｇ）是

一致的（ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ）。Ｆｉｌｉｐｏｖｉｅ（２００１）利用不变流型（ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｍａｎｉｆｏｌｄ）的概

念形式化地表述了以上问题，通俗地说，如果在时刻Ｓ对应的模型Ｍ属于函数ｓ

族Ｇ意味着在一定时间范围内，时刻ｆ对应的模型Ｍ：也属于函数族Ｇ，那么函

数族Ｇ就是一个局部不变流型。相应地，我们也能推广到全局不变流型。

进一步来看，从几何的角度来看，对于一个模型＾彳要找到一个成为不变流

型的函数族Ｇ，那么就必须使模型＾ｆ描述的利率动态变化的速度向量属于函数

３９

族Ｇ的对应变量的切空阳Ｊ。这个方向的具体研究和实际应用参看Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ

（１９９９）、Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ（２００１）、ＦｉｌｉｐｏｖｉｃａｎｄＴｅｃｈｍａｎｎ（２００１）、（２００２）和（２００３）。

另一方面，Ｂｊｏｒｋ及其合作者考虑了以下问题，给定Ｍｕｓｉｅｌａ（１９９３）参数化

下的ＨＪＭ模型，即令ｒ（ｔ，ｘ）＝ｆ（ｔ，ｆ＋ｘ），

毋（≠，ｘ）：【笺盟＋盯（ｆ，ｘ）ｆ盯（＾“）ｄｕ］ｄｔ＋ｃｒ（ｔ，ｘ）ｄＷ＋（ｆ）

甜“

ｒ（Ｏ，ｘ）＝ｒｏ

是否存在有限维马尔可夫过程Ｚ．，使得上述随机微分方程能够表达为如下形式，

ｄＺ，＝口（互）ｄｒ＋ｂ（Ｚ，）ｄＷ’（ｆ）

ｒ（ｔ，ｚ）＝Ｇ（互，Ｘ）

称为“有限维实现”（ｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ）。Ｂｊｏｒｋａｎｄ

Ｃｈｒｉｓｔｅｎｓｅｎ（１９９９）

的研究表明，远期利率模型具有有限维实现等价于存在一个经过初始点ｒ”的有

限维不变流型Ｇ。这样，这两个方向的研究就得到了统一。利用Ｌｉｅ一代数的概念，

还能够进一步获得构造性的等价条件从而能够应用于具体模型之中。这个方向的

理论结果参看Ｂｊｏｒｋ（２００３）、ＢｊｏｒｋａｎｄＣｈｒｉｓｔｅｎｓｅｎ（１９９９）、ＢｊｏｒｋａｎｄＧｏｍｂａｎｉ

（１９９９）、ＢｊｏｒｋａｎｄＬａｎｄｅｎ（２００２）、ＢｊｏｒｋａｎｄＳｖｅｎｓｓｅｒｌ（２００１）和Ｂｊｏｒｋｅｔａ１．

（２００２）

第五章利率期限结构模型的计量经济学识别与校准方法

本部分将简要讨论现有的最为主要的利率期限结构模型的计量经济学识别

与校准技术的方法论。基于我国市场的情况，那些利用衍生产品及相应市场模型

拟和的方法就不能适用了，因此本部分的讨论将主要集中于仿射类模型，其向量

形式如下

１

ｙ（ｔ，丁）＝；ｆ■（４（丁一ｆ）＋Ｂ（Ｔ一，）７置】

』一ｚ

（５．１）

ｄＸ，＝∥（置）ａｔ＋仃（置）ｄＷ（ｔ）

其中ｙ（ｔ，７’）代表收益率，Ｚ代表状态变量。

第一节似然函数方法

显然，似然函数是解决模型校准的最为经典和有效的方法之一。但是除了少

数模型（例如，Ｖａｓｉｃｅｋ模型），对于多数利率期限结构模型，显式的似然函数都

是无法获得的。因此在实践中往往需要采取一定的技术进行处理。其中，Ｆｉｓｈｅｒ

ａｎｄＧｉｌｌｅｓ（１９９６）利用拟最大似然函数法（ｑｕａｓｉ．ｍａｘｉｍｕｍ

ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ）对仿射类

模型的估计进行了统一的解决。这种方法只需要计算出状态变量Ⅳ．的一阶和二

阶矩，仿射类模型的这些矩具有良好性质，把它们代入多元正态分布获得拟似然

函数凡，并且利用以下关系，

≯：——Ｌ一≯，

～ｄｅｔＢ（Ｔ—ｎ。“

由此获得最终的似然函数。

基于ＡｉＩ－Ｓａｈａｌｉａ（２００２）的研究，提出了扩散过程Ｘ．的“可约化”（ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ）

条件，即Ｘ，能够唯一地转化成一个扩散项为单位矩阵的扩散过程。Ａｉｔ－Ｓａｈａｌｉａ

ａｎｄＫｉｍｍｅｌ（２００２）得到了ＤａｉａｎｄＳｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）的风险市场价格形式下对

应的可约化条件下的仿射类模型的似然函数的显式表达。Ｍｏｎｔｅ

Ｃａｒｌｏ方法检验

的结果显示，以上方法获得的结果令人满意，与最大似然函数方法相当接近。

Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２００１）总结了利用经验特征函数（ｅｍｐｉｒｉｃａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）

对仿刺类模型进行估计的方法。Ｙｕ（２００４）给出了关于经验特征函数的介绍和

应用。对于仿射类模型（５．１），不妨设以下矩阵表示，

／“（Ｘ，）－－－Ｏ＋ＫＸ，，叮（■）ｄ（墨）７＝＾＋∑ｘｕＨ‘７’

另一方面，马尔可夫过程条件经验函数的定义为，

”１

谚（ｒ，甜）＝Ｅ，［ｅｘｐ（ｉｕ。耳）】

其中ｆ＝Ｔ—ｆ，ｆ为虚数单位。上式即为条件密度函数的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。根据Ｄｕｆｆｌｅ

ｅｔａ１．（２０００），仿射类模型的条件密度函数为，

谚（ｆ，Ｕ）＝ｅｘｐ［ａ，（ｕ）＋屈（“）Ｅ】

其中ｑ＠），屈（“）满足以下复值Ｒｉｃｃａｔｉ方程组，

ａ】Ｂｔ／ｄｒ＝一Ｋｉ８ｔ一８｛Ｈｐｔ／２

ｄａ，／ｄｔ＝ｑ８ｔ一８：ｈＡ／２

并且屏（“）＝“，口ｒ（“）＝０。那么在离散数据的情况下，ｆ＝１，对于要估计的参

数向量ｙ，条件特征函数可以记为破（“，ｙ）。这就构成了仿射类模型条件经验函

数估计的理论基础。所谓经验条件特征函数就是用平均值来代替以上的数学期望

即可。

显然，基于条件经验函数的最直接的方法就是，在获得以上（经验）条件特

征函数之后，只需进行逆Ｆｏｕｒｉｅｒ变换

厶（％·Ｉ置，，）２方ＩＲ＋。Ｒｅ［ｅｘｐ（一胁７Ｋ－）虹（“，ｒ）］ｄｕ

并连乘，就可以得到条件似然函数。理论上这是可行，但是在具体的数值实现中，

这种算法需要非常多的时间和计算机资源。因此为了提高效率，Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２００１）

指出，有限信息的条件特征函数方法更为实用。

其一，可以只利用墨的边缘分布，即对Ｚ的各个分量进行上述逆Ｆｏｕｒｉｅｒ

变换，这样就能够大大减轻计算负担。当然这样是以忽略了各个分量之间的相ｈ：

作用为代价。

另外，我们也可以利用矩生成函数，即利用特征函数的以下性质，竺等掣ｋ。＿ｉｊ＋ｋＥｔ（Ｘ二ｌ，ｌｌＳ州ｋ（。ｌｆｔ＋１出）

—瓦五孑一ｋ—ｏ”¨ｚ

Ｊ

那么利用矩条件就可以应用广义矩方法（ＧＭＭ）进行参数估计。此外，Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ

（２００１）还提出了一个渐进有效的经验条件特征函数估计方法。

第二节有效矩（ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍｅｔｈｏｄｏｆｍｏｍｅｎｔ）／ＳＮＰ方法

ＥＭＭ／ＳＮＰ方法实际上是属于一类路径模拟方法。它可以视为广义矩方法

（ＧＭＭ）的推广，因此ＧＭＭ也就是这种方法的特例；另一方面它也可以视为

模拟矩方法（ＳＭＭ）的一种，关于模拟矩方法的技术性讨论参见Ｄｕｆｆｌｅａｎｄ

Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（１９９３）。本部分通过以下图表来说明其基本思想，这里具体的利率期

限结构模型（５．１）就成为了需要估计的实际结构模型。关于ＥＭＭ／ＳＮＰ的详细

讨论参见ＧａｌｌａｎｔａｎｄＴａｕｃｈｅｎ（１９９６）和ＧａｌｌａｎｔａｎｄＴａｕｃｈｅｎ（２００２）。

模

模型

第三节Ｋａｌｍａｎ滤波方法

观察方程组（５．１），不难发现该系统的形式显然构成了一个状态一空间模型。

因此，Ｋａｌｍａｎ滤波在利率期限结构模型的估计中也起着非常重要的作用。事实

上，ＤｕｆｆｅｅａｎｄＳｔａｎｔｏｎ（２００４）指出，当最大似然函数法不能适用时，线性化的

Ｋａｌｍａｎ滤波的估计效率和准确度是最好的，超过了ＥＭＭ／ＳＮＰ方法，所以从估

计一般的动念期限结构模型来看，Ｋａｌｍａｎ滤波方法往往是最为高效的。Ｈａｍｉｌｔｏｎ

（１９９４）提供了对于线性状态一空间模型的Ｋａｌｍａｎ滤波方法的详细的讨论。

但是，除了多因子Ｖａｓｉｃｅｋ模型外，例如，ＢａｂｂｓａｎｄＮｏｗｍａｎ（１９９９）提供

了利用Ｋａｌｍａｎ滤波估计一般性Ｖａｓｉｅｅｋ模型的例子，一般来说，（５．１）构成的状

态一空间模型是非线性的。实际应用中，往往采取对于非线性系统进行线性化逼

近的方法来实现Ｋａｌｍａｎ滤波算法。例如，ＤｕａｎａｎｄＳｉｍｏｎａｔｏ（１９９５）基丁－仿射

类模型的特性，应用了典型的将非线性系统进行局部线性化的Ｋａｌｍａｎ滤波估计

方法，进行一阶矩和二阶矩意义上的逼近；ＤｕｆｆｅｅａｎｄＳｔａｎｔｏｎ（２００４）的扩展

Ｋａｌｍａｎ滤波算法保持了线性Ｋａｌｍａｎ递推的顺序，但是用相应的非线性项替代线

性项；此外，Ｌｕｎｄ（１９９７）也提出了一类迭代的Ｋａｌｍａｎ滤波算法，并且指出了

将Ｋａｌｍａｎ滤波和拟最大似然估计（ＱＭＬ）相结合的算法。

第四节马尔可夫链Ｍｏｎｔｅ

Ｃａｒｌｏ（ＭＣＭＣ）方法

这类方法本质上属于Ｂａｙｅｓ统计的分支，在状态一空问模型、面板数据分析

和时间序列分析方面有过应用。近年来，也出现了利用该类模拟方法进行利率期

限结构模型的估计的文献，例如Ｍｉｋｋｅｌｓｅｎ（２００１，２００２）分别应用ＭＣＭＣ方法

进行了单因子Ｖａｓｉｃｅｋ模型和Ｌｉｂｏｒ市场模型的校准，Ｆｒｕｈｗｉｒｔｈ—Ｓｃｈｎａｔｔｅｒａｎｄ

Ｇｅｙｅｒ（１９９８）则提供了多因子ＣＩＲ模型校准的例子。本部分主要阐述ＭＣＭＣ

方法的理论基础，具体的的算法实现将在实证部分叙述，更多的关于ＭＣＭＣ的

应用和理论参见Ｃｈｉｂ

ａｎｄＧｒｅｅｎｂｅｒｇ（１９９５ａ，１９９５ｂ）和Ｂｒｏｏｋｓ（１９９８）。

根据马尔可夫链理论，对于马尔可夫链ｚ＝｛互，ｆ∈Ｔ），我们可以定义转移

核（ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｋｅｒｎｅｌ）如下，

Ｐ（五么）＝Ｐｒ（ｚ，“∈ＡＪｚＩ＝麓ｚ，，歹＜ｆ）

则，不妨设转移核有以下表示，

Ｐ（ｘ，ａｙ）＝ｐ（ｘ，ｙ）ｖ（ｄｙ）＋ｒ（工）以（砂）

其中，ｐ（ｘ，ｘ）＝ｏ；正（ｄｙ）；ｌ，耘∈ｄｙ，否则正（咖）＝ｏ；ｒ（ｘ）表示马尔可夫链

的值留在ｘ的概率，即，ｒ（ｘ）＝ｌ—ｋＰ（ｘ，ｙ）ｖ（ｄｙ）：ｖ则表示一个仃一有限的

测度，在此，设ｖ即为Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，即ｖ（ｄｙ）＝ａｙ。那么，自然地，对于‘步转移概率脯有

盹４）：№，咖）

在适当的技术性条件下∞，推广到ｎ步向前转移核就有，

Ｐ似’（ｘ，爿）＝Ｌ尸（墨ｄｙ）Ｐ＜ｎ－１）（ｊ，，爿）

那么当门一ｏｏ时，ｎ步转移核就会收敛到一个不变分布（ｉｎｖａｒｉａｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）

石＋，它满足，

石’（ｄｙ）＝ｋｅ（ｘ，ｄｙ）ｘ（ｘ）ｖ（ｄｘ）

则Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度下，７／＂’（ｄｙ）＝万（ｙ）ｄｙ。

ＭＣＭＣ方法其实是反其道而行之，即，如果我们有了不变测度万’，如何求

出转移核Ｐ（ｘ，ｄｙ）。ＣｈｉｂａｎｄＧｒｅｅｎｂｅｒｇ（１９９５ｂ）指出，对于马尔可夫链

Ｚ＝｛Ｚ，，ｆ∈丁｝，如果Ｚ，的分布是万’，则其后所有元素的分布都是万’。同时，

他们给出了ｐ（ｘ，Ｙ）具有不变分布万’的一个充分条件：

当马尔可夫链是可逆的，即，ｘ（ｘ）ｐ（ｘ，Ｙ）＝石＠）ｐ（ｙ，Ｘ），马尔可夫链有不变

分布，万＋。

这样，就可以通过设计一定的算法，例如，Ｇｉｂｂｓ算法和Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ—Ｈａｓｔｉｎｇｓ算

法３４，来获得所需的转移核。此后，通过多次模拟后，参数的变化轨道将会逐渐

稳定，我们就能够取得具体模型中参数的估计值。

第六章中国交易所市场利率期限结构的三因子ＣＩＲ模型

的ＭＣＭＣ识别

本部分将基于Ｇｉｂｂｓ和Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ—Ｈａｓｔｉｎｇｓ混和算法提供对于中国交易所市

场数据的三因子ＣＩＲ模型的识别，作为ＭＣＭＣ方法在利率期限结构模型识别和

校准中的尝试。

一、数据描述

本文将利用１９９９年１２月至２００５年１月的周数据进行研究。收益率曲线足

根据债券市场价格通过多项式样条函数的方法获得的。从时间维度来看，一共有

１９６个时间序列数据；从横截面来看，考虑到市场的流动性和我国国债发行的期

限构成，共选取半年、一年、三年、五年和七年五个数据。同时，这样选取的另

一个原因在于，由于ＭＣＭＣ方法属于基于模拟的算法，因此如果数据规模太人，

该算法就会需要非常多的模拟次数才能达到稳定状态，导致计算时间将会非常

长。事实上，ＤｕｆｆｅｅａｎｄＳｔａｎｔｏｎ（２００４）对于ＥＭＭ／ＳＮＰ方法的讨论也提到了模

拟算法对于计算机资源的要求甚高，由此会带来非常大的计算负担。表一列出了

数据的平均值和标准差，

表一、

半年

一燕三年

五年七年

平均值０．０２０４０．０２２１０．０２８７０．０３３６０．０３５４

标准差０．００５９０．００５６０．００６６０．００７８０．００８２

另外．在此用七年收益率和半年收益率之差表示收益率曲线的坡度（ｓｌｏｐｅ），其

时阃序列趋势在近几年中呈现为不断变大，如图，

图一

坡度

一

…㈨㈨

㈨

一

二．、三因子ＣＩＲ模型

本文选择估计的为三因子ＣＩＲ模型，该类模型具有显式的解，同时其模型

设定也能够保持利率的正性，具体根据Ｃｏｘｅｔａ１．（１９８５）设定如下：

令形，为标准布朗运动，Ｊ＝１，２，３，则有以下随机动态方程，

ｄＩ、ｊ＝Ｋｉ（ｐｊ—ｒｔ．ｉ）＋ａｉ０‘。ｉｄＷ，。ｉ，Ｊ＝１，２，３

则ｆ时刻到期月为ｔ＋Ｔ收益率只（，）为，

ｒ（丁）＝ｉ１【＿∑ｌｎＡｊ（Ｔ）＋∑曩（啦，】

其中，

三乎，，，、２≯，ｅｘｐ［Ｔ／２－（盯，＋五，＋≯，）］

Ａ，ｆＴ）＝ｃｊ（Ｔ）町ｑ盯卜薪若可ｉ蒜端

…、２［ｅｘｐ（＃．Ｔ）一１】哆盯卜西瓦可焉高而

力＝瓜了丽

则，参数向量秽为（ｑ，局，ｑ，乃，ｊ＝ｌ，２，３）７，状态变量ｚ，为（，：＇Ｊ，ｊ＝ｌ，２，３）７

，观察到的收益向量Ｍ为（ｒ（乃），ｄ＝ｌ，¨．，５）。。

三、Ｇｉｂｂｓ和Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ—Ｈａｓｔｉｎｇｓ混和算法及其具体实现

本文将根据Ｆｒｕｈｗｉｒｔｈ－ＳｃｈｎａｔｔｅｒａｎｄＧｅｙｅｒ（１９９８）采用Ｇｉｂｂｓ和

Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ—Ｈａｓｔｉｎｇｓ混和算法进行模型的参数估计。

首先，令数据的时间序列长度为Ⅳ，记可观测的收益率序列为

ｙ“＝（Ｍ，．．．，Ｊｋ），而相应的不可观测的状态变量为工“＝（：ｃｏ，．．．，ｈ），那么刘于

参数估计问题的Ｂａｙｅｓ解就是获得联合后验分布ｐ（∥，０ｉＹ“）。利用Ｂａｙｅｓ法

则得，

ｐ（ｘＮ０ＪｙⅣ）。ｃａ（ｘＮ秒ＩＹ“）＝Ｐ（ＹⅣＪｚ”，Ｏ）ｐ（ｘ“】Ｏ）ｐ（Ｏ）

其中“。ｃ”表示正比例于。进一步，上式的各乘积项可以通过以下方法得到，

＾，

Ｐ（Ｙ。ⅣＩｘⅣ，ｐ）＝Ｉ－Ｉｐ（Ｍｌ薯，口）

＾，

，‘ｌ

ｐ（ｘⅣ；口）＝【ｆｌｐ（薯Ｉｘ，一，，口）］·Ｐ（ＸｏＩｏ）

ｆ；ｌ

对于ｐ（０１的初值，则利用退化的假设，即，令ｃ为某个常数，

ｐ（岛）ｏｃ

ｃ，ｐ（乃）。ｃｃ，ｐ吒）。ｃｃ，ｐ（盯２，）ｏｃ１／盯２，，Ｊ＝１，２，３

根据Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ－Ｈａｓｔｉｎｇｓ算法．我们需要～个“各选值生成密度”（ｃａｎｄｉｄａｔｅ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｄｅｎｓｉｔｙ或ｐｒｏｐｏｓａｌｄｅｎｓｉｔｙ）ｑ（ｕｖ）”，参数向量口和状态变量ｚ，在ＣＩＲ

模型中的ｑ（ｕｖ）具体形式参见Ｆｎｔｈｗｉｒｔｈ．Ｓｅｈｎａｔｔｅｒａｎｄ

Ｇｅｙｅｒ（１

９９８）、Ｃｏｘｅｔａ１．

（１９８５）和ＣｈｅｎａｎｄＳｃｏｔｔ（１９９３）。

进一步，引进记号晓州为参数向量第ｄ个分量第ｍ轮抽样后取得的值，

ｒ，７’为对应时间序列ｆ状态变量第，个分量第聊轮抽样后取得的值。那么，根据

Ｇｉｂｂｓ和Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ－Ｈａｓｔｉｎｇｓ混和算法，在第ｒｒ／轮抽样时，根据分布ｇ（易ｆ彩””）

年ｎｑ（ｒｔ，，Ｉ，；了－ｍ｝）抽取候选值嘭和‘：，，彤以概率口（铹Ｉ磁””）被接受，ｌ≥以概

率口（‘：，Ｉ一，－１））被接受：粥旧圳）＿ｍｉｎ｛嚣劳蟛糯，，）

吣ｍ了－１））＝ｍｉｎ｛器筹端器，１）

在实现中，在每次抽取一个新的以或者‘，Ｊ后，可以从０到１的均匀分布中抽取

一个值甜，并把“和相应的上述概率做比较，如果ｕ不大于口（睇Ｉ研””）或者

口（‘？Ｉ

Ｉ：７Ⅲ），那么磋ｍ）：绣或者相应地‘‘？’：‘＋，；否则，就保留原来的值。

然后对下一个分量进行相同的操作。为了方便和清晰起见．抽样的顺序可以先参

数向量后状态变量或者先状态变量后参数向量。接着，在经过初始模拟的非稳定

状态（ｔｒａｎｓｉｅｎｔ

ｐｅｒｉｏｄ）后，就可以利用抽样的平均值作为参数估计。

本文利用ＧＡＵＳＳ６．０进行编程实现了以上算法，全部程序大约６００行。编

程中可以注意到由于科学运算受到Ｐｃ机机能和存储数位的限制，在调用ＧＡＵＳＳ

内置函数时，必须做一定的简化，同时经常需要进行多次尝试和选取定范围内

的初值才能使以上算法进入正确的模拟轨道”。另外注意到，对于ＣＩＲ模型，还

必须满足条件２ｒ，∥，＞盯ｊ，程序中采取重复抽样直到抽取满足条件的参数值为

止；当然，这个问题也可以通过选取适当的初值加以减轻。

在具体估计中，关键之一就是要确定经过多少轮抽样可以判断模拟进入了稳

定状态，这方面的研究还没有定论，仍然需要依据具体数据的规模和性质结合模

拟路径的演化形态做出判断。

对于中国的数据性质和本研究中的数据规模，基本上在经过３０００次模拟后，

大多数参数趋向于稳定，增加更多的模拟次数对参数估计的改进不大，本文中还

增加了２００次模拟作为估计的基础。根据Ｍｉｋｋｅｌｓｅｎ（２００１），在此截耿最后的一

定长度的模拟值的平均值作为参数的估计值如下，其中，五，盯，，ｆ＝１，２，３很快就

收敛到常数，以下分开列出。

表二

届８：屈配

彭２

如

０．７８２１２．２７２３．４５９Ｏ．７３８０．０６６３０．２３３

（Ｏ．３）ｆ３．５４）

ｒＯ．６５）ｆＯ．２４）（Ｏ．０１９）（０．０３９）

括号中为标准差

衣＝

丑

五

五田

盯２吒

９６．４３９１００．１２９９．５８１３．７３６３．１５１３，０７３

然后，本文给出部分参数的模拟轨道，由于在模拟中一些参数会出现异常大或者

小的中间值，因此为了图形表示的方便，以下图形将截取后２２００次模拟中适合

图形表示的尽量长的模拟轨道长度，

图二

ｌ

ｆ恤．删毋。龇监

一氮季季磊垂蚕重量量ｉ§

Ｈ董

磊磊辱暮蚕臣墓蚕量

从图上可以看出，根据现有的数据的规模而言，基本上，多数参数的模拟轨道都

趋向于稳定。另外，值得指出的是，不同于Ｋａｌｍａｎ滤波这类对于结构模型估计

参数的递推方法，ＭＣＭＣ方法对于状态变量的值也～并进行了模拟，并且在数

据拟和中会代回原方程。正如Ｍｉｋｋｅｌｓｅｎ（２００１，２００２）和Ｆｒｕｈｗｉｒｔｈ．Ｓｃｈｎａｔｔｅｒａｎｄ

Ｇｅｙｅｒ（１９９８）所指出的那样，ＭＣＭＣ方法得出的结果和Ｋａｌｍａｎ滤波或者ＱＭＬ

方法会有一定差距，尤其是在三因子模型的情况下，估计差别会很显著。因此，

在资产定价等实际应用中对于多因子模型的应用需要根据具体情况进行分析后

才能决定。另外，下面还给出了状态变量的变化动态。

图三

１．２

１

０．８

０．６

０．４

０．２

５０

４

一

Ｌ

Ｌ

一一赢

再者，基于ＭＣＭＣ估计方法的三因子ＣＩＲ模型对于我国交易所市场数据的

拟和效果对于长端的７年收益率拟和效果比较差；对于中间端，例如三年和一年

的拟和效果则相对较好，其绝对误差基本上都在１％之内。下表列出误差的均值，

表网

半年一生三年五年七年

均值．０．００３１．０．００１９０．００３５０．００１９—０．００５８

同时，在模型拟和中发现，对于ＭＣＭＣ一类模拟算法，对于市场流动性强的债

券收益率数据往往具有比较好的拟和效果；而对于流动性差的债券数据或者存在

跳跃特点的数据，则需要更一般的模型和更加有效的模拟算法。另外，当收益率

曲线形状不是典型的上升形态（例如１９９９年底和２０００年初）或者变化十分剧烈

（例如，２００４年底至２００５年初）时，模型的拟和效果就会比较差，这就提醒我

们，如果建模中加入跳跃项或者状态转移机制的话可能会对收益率曲线的拟和有

所帮助。

四、ＭＣＭＣ算法与模型选择的评价

从方法论来看，ＭＣＭＣ算法为估计比较复杂的非线性特征比较强的模型提

供了一种可能性，尤其是各种新模型的出现限制了Ｋｆｌｍａｌｌ滤波（本质是基于线

性的状态一空间模型）的适用性。但是从计算机资源和估计时间来看，ＭＣＭＣ

方法的效率比较低，利用我国数据进行的模拟中收敛速度较慢，因此在实践中要

谨慎使用；当然，这一点也是使用数值算法的共同问题之一。

从实证结果来看，我国交易所市场的数据似乎用Ｇａｕｓｓｉａｌｌ类模型的拟和效

果更好，例如，范龙振（２００３）使用多因子Ｖａｓｉｃｅｋ模型进行了拟和。事实上，

虽然ＣＩＲ模型能够保证瞬时利率的非负性，因而具有更好的理论基础，但是其

更加复杂的形式对于模型的估计和数据拟和也带来了一定的困难。另外，仿射类

模型中，如果对于风险的市场价格有更为灵活的函数形式，数据拟和效果也会得

到改善。

最后，在利用中国交易所市场的数据研究中，对于不同时段数据的模型估计

结果往往会有很大的差异。基于上文的讨论，在未来的研究中，更多的大样本实

证研究和估计具有跳跃或者状态转移性质的模型将会是兼具理论意义和实用价

值的研究方向。

注释

１当然，由于仿射类模型的良好性质，ＰＤＥ可以转化为Ｒｉｃｃａｔｉ常微分方稗组。

２单因子模型中，风险冈子即为瞬时利率。

３例如，有限差分法（ｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄ），参见Ｈｕｌｌ（２００２）

４该公式在一般的随机过程的书中均有叙述，例如钱敏平和龚光鲁（１９９７）。

５从数值计算的角度来看，这一公式则成为利用ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法模拟的基础。

ｏ如果市场不完全，那么Ｑ可能不唯一；但是只要市场无套利，则Ｑ一定存在。

７最为常见的为Ｎｏｒｉｋｏｖ条什，￡。【ｅｘｐ（一１ｆ７忆．ｉｉ２ｄⅣ）】＜＋。ｔ参见Ｄｕｆｆｌｅ（１９９６）的讨论。

。２

ＦｉｓｈｅｒａｎｄＧｉｌｌｅｓ（１９９６）也提出了类似的函数设定．虽然没有用到完全仿射的定义。

９类似于Ｃｏｘｅｔａ１．（１９８５）中的平方根过程，参见后文。

…事实上，三因子模型往往就足够描述期限结构的动态了。利用主成分分析的实证研究，

＿【｝ｊ美国的数据参见ＬｉｔｔｅｒｍａｎａｎｄＳｃｈｅｉｎｋｍａｎ（１９９１）．用中国的数据参见朱世武和陈健恒

（２００３）

”分别参见ＭａｒｔｅｌｌｉｎｉａｎｄＰｒｉａｕｌｅｔ（２００１）和Ｈｅａｔｈｅｔａｔ．（１９９２）。

“详细证明利讨论参见Ｂａｘｔｅｒ（１９９７）和Ｄｏｂｅｒｌｅｉｎ（１９９９）。

”关于这个定理在金融经济学中的应用，参见Ｄｅｕｔｓｃｈ（２００１）和Ｓｈｒｅｖｅ（１９９７）

”有限差分法事实上等价于三叉树法，参见Ｈｕｌｌ（２００２）：而ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法也会由ｒ马

尔科夫性而减少数值计算的负担。

”但是在此值得说明的是这里的马尔科夫性多数情况下是多个变量的联合马Ａ：科夫性。

”仿射类模型由于其对于风险园子的随机微分方程的设定，其马尔科丈性是外生给定的。

１７其充分条件并非一般性的技术条件，但是由于过丁＝．繁复，具体参见ＣｈｉａｒｅｌｌａａｎｄＫｗｏｎ

（２００ｌｂ）的引理４．Ｉ、４．２和命题５．１、６．２。

”本质是对丁－抽象贝叶斯公式（ａｂｓｔｒａｃｔＢａｙｅｓｆｏｒｍｕｌａ）的应用，限丁篇幅，详细证明参见

Ｄｏｂｅｒｌｅｉｎ（１９９９）附录和Ｋａｒｏｕｉｅｔａ１．（１９９５）

”当然，本文讨论范围不包括跳跃过程。

”该文中称为“简单平方根模型（ｓｉｍｐｌｅｓｑｕａｒｅ－ｒｏｏｔ

ｍｏｄｅｌｓ）”。

“他们使＿｝｛Ｉ了一个不同的名称：随机串（ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｓｔｒｉｎｇ）

”直觉上，这里可以视为利用泰勒展开。

”参见何声武、汪嘉冈和严加安（１９９５）定理２．６９和例６．２５。

“这种方法一般认为归于Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ（１９８９）。

２５这里利用了ＭｕｓｉｅｌａａｎｄＲｕｔｋｏｗｓｋｉ（１９９７）的术语，事实上．这就是风险中性概率测度。

”注意这里指的是欧洲市场的报价。

２７

ＦｌｅｓａｋｅｒａｎｄＨｕｇｈｓｔｏｎ（１９９６）也可以归于这类模型，本文中归于下文中讨论。

２８关丁预解算子的定义、性质和以下用到的对应的马尔科夫理论，参见钱敏平利龚光鲁

（１９９７＞。

２９对于咀下定义构成一个位势的详细证明需要考虑一个算子半群的Ｌａｐｌａｃｅ变换，参见

Ｌｅｉｐｐｏｌｄ

ａｎｄＷｕ（１９９９）的附录。

”参见何声武、汪嘉冈和严加安（１９９５）定理５．４８。

３１由Ｔ－这部分讨论不涉及测度变换．因此在不致混淆的前提下，在此忽略上标以节省记号。

３２

ＪｉｎａｎｄＧＩａｓｓｅｍｌａｌｌ（２００１）利用了该公式进行严格意义上的数学推导。那么无论从数学上

的相关天系还是形式上的相关性，混沌方法是Ｊｉｎ

ａｎｄＧｌａｓｓｅｒｍａｎ（２００１）的位势建模方

法的进一步发展。

”参见钱敏平和龚光鲁（１９９７）。

３４它们的具体描述与马尔可夫链理论的相关性参见ＣｈｉｂａｎｄＧｒｅｅｎｂｅｒｇ（１９９５ｂ）。

”参见Ｃｈｉｂａｎｄ

Ｇｒｅｅｎｂｕｒｇ（１９９５ａ）。

”ＧＡＵＳＳ程序可以向本文作者索取。

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ｇｅｏｍｅｔｒｙ

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Ｓｐｒｉｎｇｅｒ

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ａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓ

３，４，４１３－４３２

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ｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｏｒｗａｒｄｒａｔｅｍｏｄｅｌｓ”，Ｆｉｎａｎｃｅ

ａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｗｓ瓯３，３０３·３３１

１１４】Ｂｊｏｒｋ，下；Ｃ．Ｌａｎｄｅｎ，ａｎｄＬ．Ｓｖｅｎｓｓｏｎ（２００２）：“Ｆｉｎｉｔｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍａｒｋｏｖｉａｎ

ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓｆｏｒ

ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ

ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ

ｆｏｒｗａｒｄｒａｔｅｍｏｄｅｌｓ”，Ｆｏｒｔｈｃｏｍｉｎｇｉｎ：ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＲｏｙａｌＳｏｃｉｅｔｙ

［１５］Ｂｊｏｒｋ，ｔａｎｄＬ．Ｓｖｅｎｓｓｏｎ（２００１）：“Ｏｎ

ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅ

ｏｆ

ｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓｆｏｒ

ｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｏｒｗａｒｄｒａｔｅｍｏｄｅｌｓ”，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ

１１，２，２０５－２４３

［１６】ＢｌａｃｋＦ．（１９７６）：“Ｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆｃｏｍｍｏｄｉｔｙｃｏｎｔｒａｃｔｓ’ｊＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，３

１６７一１７９

【１７Ｊ

Ｂｌａｃｋ

Ｒ；Ｅ．Ｄｅｒｍａｎ

ａｎｄｗ

Ｔｏｙ（１９９０）：“Ａ

ｏｎｅ—ｆａｃｔｏｒｍｏｄｅｌｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓａｎｄｉｔｓ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｔｏｔｒｅａｓｕｒｙｂｏｎｄ

ｏｐｔｉｏｎｓ”，ＦｉｎａｎｃｉａｌＡｎａｌｙｓｔｓ

Ｊｏｕｒｎａｌ

４６，１

［１８】Ｂｌａｃｋ

ＦａｎｄＲ

Ｋａｒａｓｉｎｓｋｉ（１９９１）：“Ｂｏｎｄ

ａｎｄ

ｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇ

ｗｈｅｎ

ｓｈｏｒｔｒａｔｅｓａｒｅｌｏｇｎｏｒｍａｌ”

ＦｉｎａｎｃｉａｌＡｎａｌｙｓｔｓ

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ｍａｒｋｅｔｍｏｄｅｌｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ

ｄｙｎａｍｉｃｓ”

ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ

７’１２７－１５４

【２１】Ｂｒｅａｎａｎ，Ｒ．ａｎｄＥ．Ｓ．Ｓｃｈｗａｒｔｚ（１９７９）：“Ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ—ｔｉｍｅ

ａｐｐｒｏａｃｈ

ｔｏｔｈｅ

ｐｒｉｃｉｎｇ

ｏｆｂｏｎｄｓ”

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢａｎｋｉｎｇａｎｄＦｉｎａｎｃｅ３，１３５－１５５

［２２】Ｂｒｏｄｙ＇Ｄ．Ｃ．ａｎｄＬ．ＰＨｕｇｈｓｔｏｏ（２００１）：“Ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｇｅｏｍｅｔｒｙ”，Ｐｒｏｃ兄

ＳｏｃＬｏｎｄＡ

４５７，１３４３—１３６３

［２３】Ｂｒｏｄｙ，Ｄ．Ｃ．ａｎｄＬ．ＰＨｕｇｈｓｔｏｎ（２００２）：“Ｅｎｔｒｏｐｙ

ａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｉｎｔｈｅｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｔｅｒｍ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ”．ＱｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅＦｉｎａｎｃｅ，Ｖ０１．２，７０－８０

［２４１Ｂｒｏｄｙ，Ｄ．Ｃ．ａｎｄ

Ｌ．Ｐ．Ｈｕｇｈｓｔｏｎ（２００４）：‘＇Ｃｈａｏｓａｎｄｃｏｈｅｒｅｎｃｅ：Ａ

ｎｅｗ

ｆｒａｍｅｗｏｒｋ

ｆｏｒ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ

ｍｏｄｅｌｉｎｇ”，Ｐｒｏｃ．兄Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．Ａ，８５－１

１０

【２５】Ｃａｒｖｅｒｈｉｎ，Ａ．（１９９４）：“Ｗｈｅｎｉｓｔｈｅｓｈｏｎｒａｔｅｍａｒｋｏｖｉａｎ”，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ４例

３０５．３１２

【２６】Ｃｈａｎ，Ｋ．Ｃ．；ＧＡ．Ｋａｒｏｌｙｌ；Ｅ．Ａ．Ｌｏｎｇｓ＇ｔａｆｔ；ａｎｄＡ．Ｂ．Ｓａｎｄｅｒｓ（１９９２）：“Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ

ｏｆ

ｍｏｄｅｌｓ＆ｔｈｅｓｈｏｒｔ－ｔｅｒｍｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ”，ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅ，Ｖ０１．４７，Ｎｏ．３，１２０９－１２２７

［２７１Ｃｈｅｎ

Ｌ；Ｄ．Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ

ａｎｄＨ．ＶＰｏｏｒ（２００３）：“Ｑｕａｄｒａｔｉｃｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓｆｏｒｒｉｓｋ－ｆｒｅｅ

ａｎｄｄｅｆａｕｌｔａｂｌｅ

ｒａｔｅｓ’：ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ＇ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

［２８ＪＣｈｅｎ，Ｒ．ａｎｄＬ．ＳｃｏＲ（１９９３）：“Ｍａｘｉｍｕｍ

ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｏｒａｍｕｌｔｉｆａｃｔｏｒ

ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ

ｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ”，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｘｅｄＩｎｃｏｍｅ３，Ｄｅｃｅｍｂｅｒ，１４－３１

【２９】Ｃｈｅｒｉｄｉｔｏ，Ｐ．；Ｄ．ＦｉｌｉｐｏｖｉｃａｎｄＲ．Ｌ．Ｋｉｍｍｅｌ（２００４）：“ＭａｒｋｅｔＰｒｉｃｅ

ｏｆｒｉｓｋ

ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ

ｆｏｒ

ａｆｆｉｎｅ

ｍｏｄｅｌｓ：Ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ

ｅｖｉｄｅｎｃｅ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

［３０１Ｃｈｉａｒｅｌｌａ，Ｃ．ａｎｄＯ．Ｋ．Ｋｗｏｎ（２００１ａ）：“Ｆｏｒｗａｒｄｒａｔｅ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｍａｒｋｏｖｉａｎｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｏｆｔｌｌｅＨｅａｔｈ·Ｊａｒｒｏｗ－Ｍｏｒｔｏｎｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌ”，Ｆｉｎａｎｃｅ

ａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓｊ仞，２３７－２５７

［３１】Ｃｈｉａｒｅｌｌａ，Ｃ，ａｎｄＯ．Ｋ．Ｋｗｏｎ（２００１ｂ）：“Ｓｔａｔｅｖａｒｉａｂｌｅｓａｎｄｔｈｅａｆｌｉｎｅｎａｔｕｒｅｏｆｍａｒｋｏｖｉａｎ

ＨＪＭｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｍｏｄｅｌｓ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ

［３２］Ｃｈｉｂ，ＳａｎｄＥ．ｇｒｅｅｎｂｅｒｇ（１９９５ａ）：“Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｔｈｅ

Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ－Ｈａｓｔｉｎｇｓａｌｇｏｒｉｔｈｍ”，Ｔｈｅ

ＡｍｅｒｉｃａｎＳｔａｔｉｓｔｉｃｉａｎ，Ｖ０１．４９，Ｎｏ．４，３２７－３３５

【３３】Ｃｈｉｂ，Ｓ，ａｎｄＥ，Ｇｒｅｅｎｂｅｒｇ（１９９５ｂ）：“ＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ

ｉｎ

ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，，，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，ＷａｓｈｉｎｇｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

［３４】Ｃｏｎｓｔａｎｄｉｎｉｄｅｓ，ＧＭ．（１９９２）：“Ａｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅｎｏｍｉｎａｌｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ”，Ｔｈｅ

ＲｅｖｉｅｗｏｆＦｉｎａｎｅｉａｌＳｔｕｄｉｅｓ，Ｖ０１．５，Ｎｏ．４，５３１－５５２

［３５］Ｃｏｘ，Ｊ．Ｃ．；Ｊ．Ｅ．Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ；ａｎｄ

Ｓ．Ａ．Ｒｏｓｓ（１９８５）：‘‘Ａｔｈｅｏｒｙ

ｏｆｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔ

ｒａｔｅｓ”．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ５３，３８５－４０７

［３６１Ｄａｉ，Ｑ．ａｎｄＫ．Ｊ．Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）：“Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ

ａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｆｆｉｎｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓ”

ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｌｎａｎｃｅ，Ｖ０１．５５，Ｎｏ．５，１９４３·１９７８

［３７］Ｄａｌ，ＱａｎｄＫ．Ｊ．Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２００２）：“Ｆｉｘｅｄｉｎｃｏｍｅ

ｐｒｉｃｉｎｇ”，ｗｏｒｋｉｎｇ

ｐａｐｅｒ，Ｎｅｗ

Ｙｏｒｋ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

［３８１Ｄａｉ。Ｑ．ａｎｄＫ．Ｊ．Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２００３）：“Ｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｄｙｎａｍｉｃｓ

ｉｎ

ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ

ｒｅａｌｉｔｙ”，Ｔｈｅ

ＲｅｖｉｅｗｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌＳｔｕｄｉｅｓ

１６例，６３ｌ－６７９

［３９１Ｄｅｌｂａｅｎ．Ｆ．ａｎｄＳｃｈａｃｈｅｒｍａｙｅｒ，ｗ．（１９９４）：“Ｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ

ｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｓｓｅｔｐｒｉｃｉｎｇ”

ＭａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅＡｎｎａｌｅｎ３００，４６３－５２０

［４０】Ｄｅｕｔｓｃｈ，Ｄ．Ｐ（２００１）：“Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅｓ，ｎｕｍｅｒａｉｒｅｓ

ａｎｄｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ

Ｄ．Ｆｉｎｅ

［４１１

Ｄｏｂｅｒｌｅｉｎ，Ｆ（１９９９）：‘‘Ｏｎｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙ

ｓｅｍｉｍａｒｔｉｎｇａｌｅｓ”，Ｄｏｃｔｏｒａｌ

Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，Ｔｅｃｈｎｉｓｃｈｅｎ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔａｔ

Ｂｅｒｌｉｎ

１４２］Ｄｕａｎ。ｊ。Ｃ。，ａｎｄ

Ｊ．ＧＳｉｍｏｎａｔｏ（１９９５）：“Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇａｎｄ

ｔｅｓｔｉｎｇｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ—ａｆｆｉｎｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓ

ｂｙ

Ｋａｌｍａｎ

ｆｉｌｔｅｒ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，ＣＩＲＡＮＯ

【４３】Ｄｕａｒｔｅ，Ｊ．（２００１）：“Ｅｖａｌｕａｔｉｎｇａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｒｉｓｋ

ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

ｉｎａｆｆｉｎｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｍｏｄｅｌｓ”

ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

ｏｆＣｈｉｃａｇｏ

［４４】Ｄｕｆｆｅｅ，ＧＲ．（２００２）：“Ｔｅｒｍｐｒｅｍｉａ

ａｎｄｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｆｏｒｅｃａｓｔｉｎａｆｆｉｎｅ

ｍｏｄｅｌｓ”，Ｔｈｅ

Ｊｏｕｒｎａｌ

ｏｆＦｉｎａｎｃｅ，Ｖ０１．ＬＶｌｌ，Ｎｏ．１，４０５·４４３

［４５］Ｄｕｆｆｅｅ

ＱＲ．ａｎｄＲ．Ｈ．Ｓｔａｎｔｏｎ（２００４）：“Ｅｓｔｉｍｍｉｏｎｏｆ

ｄｙｎａｍｉｃ

ｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｍｏｄｅｌｓ”

ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，Ｕ．Ｃ．Ｂｅｒｋｅｌｅｙ

［４６】Ｄｕｆｆｌｅ，Ｄ．（１９９６）：ＤｙｎａｍｉｃＡｓｓｅｔＰｒｉｃｉｎｇＴｈｅｏ删２ｎｄＥｄｉｔｉｏｎ，ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｐｒｅｓｓ

【４７１Ｄｕｆｆｌｅ，Ｄ．；Ｄ．Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ

ａｎｄＷ

Ｓｅｈａｃｈｅｒｍａｙｅｒ（２００３）：“Ａｆｆｉｎｅｐｒｏｃｅｓｓ

ａｎｄ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ｉｎ

ｆｉｎａｎｃｅ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，Ｓｔａｎｆｏｒｄ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

［４８】Ｄｕｆｆｌｅ，Ｄ．ａｎｄＲ．Ｋａｎ（１９９６）：“Ａ

ｙｉｅｌｄ

ｆａｃｔｏｒｍｏｄｅｌｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ”，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ

６ｒ甜，３７９—４０６

【４９】Ｄｕｆｆｌｅ，Ｄ．；Ｊ．Ｐａｎ

ａｎｄＫ．Ｊ．Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（２０００）：“Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎａｌｙｓｉｓ

ａｎｄａｓｓｅｔ

ｐｒｉｃｉｎｇ

ｆｏｒａｆｆｉｎｅ

ｊｕｍｐ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ”，Ｅｅｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，Ｖ０１．６８，Ｎｏ．６，１３４３－１３７６

［５０］Ｄｕｆｆｌｅ，Ｄ．ａｎｄＫ．Ｊ．Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（１９９３）：“Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ

ｍｏｍｅｎｔｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｍａｒｋｏｖｍｏｄｅｌｓｏｆ

ａｓｓｅｔ

ｐｒｉｃｅｓ＂，Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，Ｖｏｌ。６１，Ｎｏ．４，９２９－９５２

【５ｌ】ＥｌＫａｒｏｕｉ，Ｎ．；Ｈ．Ｇｅｍａｎ

ａｎｄ

Ｊ．Ｃ．Ｒｏｃｈｅｔ（１９９５）：“Ｃｈａｎｇｅｓ

ｏｆ

ｎｕｍｅｒａｉｒｅ，ｃｈａｎｇｅｓ

ｏｆ

ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｅａｓｕｒｅｓ

ａｎｄｐｒｉｃｉｎｇｏｆｏｐｔｉｏｎｓ”，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ３２，４４３－４５８

【５２】Ｆａｂｏｚｚｉ，Ｆｊ．（２０００）：ＢｏｎｄＭａｒｋｅｔｓ，Ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ

Ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ，４ｔｈＥｄｉｔｉｏｎ，Ｐｒｅｎｔｉｃｅ·Ｈａｌｌ

ｌｎｃ．

［５３】Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ，Ｄ．（１９９９）：‘‘Ａｎｏｔｅｏｎｔｈｅ

Ｎｅｌｓｏｎ－Ｓｉｅｇｅｌｆａｍｉｌｙ’ｊ

ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ

９，４

３４９．３５９

［５４】Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ，Ｄ．（２００１）：“Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙｐｒｏｂｌｅｍｓ

ｆｏｒＨｅａｔｈ－Ｊａｒｒｏｗ－Ｍｏｒｔｏｎｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｍｏｄｅｌｓ”

Ｓｐｒｉｎｇｅｒ

Ｌｅｃｔｕｒｅ

ＮｏｔｅｓｉｎＭａｌｈｅｍａｔｉｅｓ，Ｖ０１．１７６０

［５５］Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ．Ｄ．ａｎｄＪ．Ｔｅｉｃｈｍａｎｎ（２００１）：“Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓｆｏｒ

ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ

［５６】Ｆｉｌｉｐｏｖｉｃ，Ｄ．ａｎｄ

Ｊ．Ｔｅｉｃｈｍａｎｎ（２００２）：‘＇Ｏｎｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｔｅｒｍ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｍｏｄｅｌｓ”

ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ

【５７］Ｆｉｌｉｐｏｖｉｅ，Ｄ．ａｎｄ

Ｊ．Ｔｅｉｃｈｍａｎｎ（２００３）：‘＇Ｏｎｔｈｅ

ｇｅｏｍｅｔｒｙ

ｏｆｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔ

ｒａｔｅｓ＇＇，Ｆｏｒｔｈｃｏｍｉｎｇ

ｉｎＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ

ｏｆｔｈｅＲｏｙａｌＳｏｃｉｅｔｙ

［５８】ＦｉｓｂｅｒｔＭ．ａｎｄＣ．Ｇｉｌｌｅｓ（１９９６）：“Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｅｘｐｏｎｅｎｆｉａｌ－ａｆｆｉｎｅ

ｍｏｄｅｌｓｏｆｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ”

ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，Ｆｅｄｅｒａｌ

Ｒｅｓｅｒｖｅ

Ｓｙｓｔｅｍ，Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，Ｄ．Ｃ．

【５９】Ｆｌｅｓａｋｅｒ，Ｂ．ａｎｄＬ．Ｐ．Ｈｕｇｈｓｔｏｎ（１９９６）：‘＇Ｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｒｅｓｔ”，Ｒｉｓｋ９例，４６－４９

【６０】Ｆｒｕｈｗｉｒｔｈ－ＳｃｈｎａｔｔｅｒＳ．ａｎｄ

Ａ．Ｌ．Ｊ，Ｇｅｙａｒ（１９９８）：“Ｂａｙｅｓｉａｎ

ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃ

ｍｕｌｔｉ－ｆａｃｔｏｒ

Ｃｏｘ－Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ－Ｒｏｓｓ

ｍｏｄｅｌｓｏｆ

ｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ

ｖｉａＭＣＭＣ

ｍｅｔｈｏｄｓ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ，ＶｉｅｎｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

ｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄＢｕｓｉｎｅｓｓＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ

【６１】ＦｕｒｒｅＬＨ．（２００３）：“Ｔｈｅ

ｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ∞ａ

ｒａｎｄｏｍｆｉｅｌｄｗｉｔｈ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ｔｏ

ｃｒｅｄｉｔ

ｒｉｓｋ”，ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅｒ

［６２】Ｇａｌｌａｎｔ

Ａ，Ｒ．ａｎｄＱ

Ｔａｕｃｈｅｎ（１９９６）：“Ｗｈｉｃｈｍｏｍｅｎｔｓｔｏｍａｔｃｈ”，Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃ

Ｔｈｅｏｒｙ，１２，

６５７－６８１

［６３】ＧａｌｌａｎｔＡ．Ｒ．ａｎｄＧ

Ｔａｕｃｈｅｎ（２００２）：“Ｓｉｍｕｌａｔｅｄｓｃｏｒｅｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｉｎｄｉｒｅｃｔｉｎｆｅｒｅｎｃｅ

ｆｏｒ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ－ｔｉｍｅ

ｍｏｄｅｌｓ＇’，ｐｒｅｐｒｉｎｔ

ｓｕｂｍｉｔｔｅｄｔｏＥｌｓｅｖｉｅｒＳｃｉｅｎｃｅ

［６４】Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ，Ｒ．Ｓ．（２００２）：“Ｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ∞ａｒａｎｄｏｍ

ｆｉｅｌｄ”，Ｔｈｅ

Ｒｅｖｉｅｗ

ｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌＳｔｕｄｉｅｓ，Ｖ０１．１３，Ｎｏ．２，３６５－３８４

［６５］Ｈａｍｉｌｔｏｎ，Ｊ．Ｄ．（１９９４）：砌ＰＳｅｒｉｅｓＡｎａｌｙｓｉｓ，ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｐｒｅｓｓ

［６６】Ｈａｒｒｉｓｏｎ，Ｊ，Ｍ．ａｎｄ

Ｄ，Ｍ．Ｋｒｅｐｓ（１９７９）：“Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅｓ

ａｎｄ

ａｒｂｉｔｒａｇｅ

ｉｎ

ｍｕｌｔｉ－ｐｅｒｉｏｄ

ｓｅｃｕｒｉｔｙ

ｍａｒｋｅｔｓ”，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓＴｈｅｏｒｙ２０，３８１－４０８

【６７】Ｈａｒｒｉｓｏｎ，Ｊ．Ｍ．ａｎｄ

Ｓ．Ｒ．Ｐｌｉｓｋａ（１９８１）：“Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅｓａｎｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ

ｉｎｔｅｇｒａｌｓ

ｉｎｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｒａｄｉｎｇ＂，ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓ．ＡｐｐＬ

１１，２１５－２６０

［６８】Ｈｅａｔｈ，Ｄ，；Ｒ．Ｊａｒｒｏｗ

ａｎｄ

Ａ．Ｍｏｒｏｎ（１９９０）：“Ｂｏｎｄｐｒｉｃｉｎｇ

ａｎｄｔｈｅｔｅｒｍ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｏｆ

ｉｎｔｅｒｅｓｔ

ｒａｔｅｓ：Ａｄｉｓｃｒｅｔｅｔｉｍｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ”。Ｊｏｕｒｎａｌ

ｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌａｎｄＱｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅＡｎａｌｙｓｉｓ

２５．

４１９．４４０

［６９】Ｈｅａｔｈ，Ｄ．；Ｒ．Ｊａｒｒｏｗ

ａｎｄ

Ａ．Ｍｏｒｔｏｎ（１９９２）：“Ｂｏｎｄ

ｐｒｉｃｉｎｇ

ａｎｄｔｈｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔ

ｒａｔｅｓ：Ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ

ｆｏｒ

ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ

ｃｌａｉｍ

ｖａｌｕａｔｉｏｎ”，Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ６０，７７—１

０５

［７０】Ｈｅ，一Ｓ．ａｎｄＳ．Ｌｅｅ（１９８６）：“Ｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｖｅｍｅｎｔｓａｎｄ

ｐｒｉｃｉｎｇ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ

ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ

ｃｌａｉｍｓ”，ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌＦｉｎａｎｃｅ４１，１０１１－１０２８

［７１］Ｈｕｇｈｓｔｏｎ，Ｌ．Ｐ．ａｎｄＡ．Ｒａｆａｉｌｉｄｉｓ（２００５）：“Ａ

ｃｈａｏｔｉｃ

ａｐｐｒｏａｃｈ

ｔｏｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ

ｍｏｄｅｌｉｎｇ”

Ｆｉｎａｎｃｅ

ａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓ，Ｖ０１．９，４３－６６

ｆ７２】Ｈｕｌｌ，Ｊ．（２００２）：Ｏｐｔｉｏｎｓ，ＦｕｔｕｒｅｓａｎｄＯｔｈｅｒＤｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ，５ｔｈＥｄｉｔｉｏｎ，ＰｒｅｎｔｉｃｅＨａｌ

［７３］Ｈｕｌｌ，Ｊ．ａｎｄＡ．Ｗｈｉｔｅ（１９９０）：‘＇Ｐｒｉｃｉｎｇｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ｓｅｃｕｒｉｔｉｅｓ”，ＴｈｅＲｅｖｉｅｗ矿

Ｆｉｎａｎｃｉａ，Ｓｔｕｄｉｅｓ，３，５７３－５９２

５７

［７４］Ｈｕｌｌ，Ｊ．ａｎｄＡ．Ｗｈｉｔｅ（１９９４）：“Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ

ｆｏｒ

ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇ

ｔｅｒｍ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍｏｄｅｌｓ

１１：ｔｗｏ－ｆａｃｔｏｒ

ｍｏｄｅｌｓ”，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ，２，３７·４８

［７５］Ｈｕｎｔ，Ｐ＿；Ｊ．Ｋｅｎｎｅｄｙａｎｄ

Ａ．Ｐｅｌｓｓｅｒ（２０００）：“Ｍａｒｋｏｖ．ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｍｏｄｅｌｓ”

Ｆ／ｎａｎｃｅ

ａｎｄＳｔｏｃｈａｓｔｉｃｓ４，３９１－４０８

［７６ＪＩｌｍａｎｅｎ，Ａ．（１９９５）：Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｔｈｅｙｉｅｌｄｃｕｒｖｅ，ＳａｌｏｍｏｎＢｒｏｔｈｅｒｓ

【７７】ｌｌｍａｎｅｎ，Ａ．ａｎｄ

Ｒ．１ｗａｎｏｗｓｋｉ（１９９７）：“Ｄｙｎａｍｉｃｓ

ｏｆｔｈｅ

ｓｈａｐｅ

ｏｆｔｈｅ

ｙｉｅｌｄ

ＣＨＩＶｅ”，Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ

ＦｉｘｅｄＩｎｃｏｍｅ（ＳｅｐｔｅｍｂｅＯ，４７－６０

［７８］ｌｎｕｉ，Ｋ．ａｎｄ

Ｍ．Ｋｉｊｉｍａ（１９９８）：“Ａｍａｒｋｏｖｉａｎｆｒａｍｅｗｏｒｋ

ｉｎ

ｍｕｌｔｉｆａｃｔｏｒ

Ｈｅａｔｈ－Ｊａｒｒｏｗ－Ｍｏｒｔｏｎ

ｍｏｄｅｌｓ”，ｄｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌａｎｄＱｕａｎｔ＃ａｔｉｖｅＡｎａｌｙｓｉｓ，Ｖ０１．３３，Ｎｏ，３，

４２３－４４０

［７９］Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ，Ｆ（１９８９）：“Ａｎｅｘａｃｔｂｏｎｄ

ｏｐｔｉｏｎ

ｆｏｒｍｕｌａ”，ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅＪ，２０５—２０９

［８０】Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ，Ｒ（１９９５）：“Ａ

ｓｉｍｐｌｅ

ｃｌａｓｓｏｆ

ｓｑｕａｒｅ—ｒｏｏｔ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ

ｍｏｄｅｌｓ”，Ａｐｐｌｉｅｄ

ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ

２，６１－７２

［８１】Ｊａｍｓｈｉｄｉａｎ，Ｆ（１９９７）：“Ｌｉｂｏｒ

ａｎｄ

ｓｗａｐ

ｍａｒｋｅｔｍｏｄｅｌｓａｎｄ

ｍｅａｓｕｒｅｓ”，Ｆｉｎａｎｃｅ

ａｎｄ

Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｓ１．２９１．３２８

［８２】Ｊｉａｎｇ，ＧＪ．（１９９８）：‘＇Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ

ｍｏｄｅｌｉｎｇ

ｏｆ

Ｕ．Ｓ．ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｄｙｎａｍｉｃｓ

ａｎｄ

ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｎｐｒｉｃｅｓ

ｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ｓｅｃｕｒｉｔｉｅｓ”。ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌａｎｄＱｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ

Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖ０１．３３，Ｎｏ．４，４６５－４９７

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ｗｏｒｋｉｎｇｐａｐｅ

ｒ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

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ｔｏ

ｐｒｉｃｉｎｇ

ａｎｄ

ｈｅｄｇｉｎｇ”，Ｔｏ

Ａｐｐｅａｒ

ｉｎ

ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＥｕｒｏｐｅａｎＣｏｎｇｒｅｓｓｏｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍ

Ｉｎｄｕｓｔｒｙ

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１

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６０

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期，６３－７３

６１

致谢

在三年的研究生学习中，首先要感谢我的导师，高汝熹教授。他在学习研究

方法、为人处事等各方面都给了我无私的指导。同时，感谢高老师在研究生阶段

给了我人量参与各类项目课题，开阔了我的眼界，加强了我理论与实践相结合的

能力。高老师的严谨治学的态度和虚怀若谷的师德始终是我学习的榜样。

另外，特别感谢孔爱国、范龙振、方曙红和汪嘉冈老师，他们的授课夯实了

我学习中的数理基础，增长了我对于现代资产定价理论的知识，培养了我对于数

理金融学，尤其是固定收益证券方面的兴趣，并促使我选择利率期限结构作为硕

士论文题目，乃至未来职业发展的方向。

最后要感谢我的家人和朋友，是他们的鼓励和支持让我更好地完成硕士期州

的学习和研究课题。

论文独创性声明

本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除

了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的

研究成果。其他对本研究的肩发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明

并表示了谢意。

作者签名

论文使用授权声明

日期：您！至二！￡！’７

本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留

送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内

容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此

规定。

作者签名：坦导师签名：

动态利率期限结构理论新发展及CIR模型实证研究

作者：熊斯飞

学位授予单位：复旦大学

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MWGeneralinterestratemodelsandtheuniversalityofHJM1997

eyGeneralsolutionsofsomeinterestratecontingentclaimpricing

equations1991

rBinomialtermstructuremodels1998(03)

Interestratetheory2001

Onthegeometryofinterestratemodels2003

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iAMinimalrealizationsofinterestratemodels1999(04)

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ratemodels2002(03)

sonFinitedimensionalmarkovianrealizationsforstochasticvolatility

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stonEntropyandinformationintheinterestratetermstructure[外文期刊]2002

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sComparisonofmodelsoftheshort-terminterest

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Quadratictermstructuremodelsforrisk-freeanddefaultablerates

2003

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JEvaluatingalternativeriskpreferencesinaffinetermstructuremodels2001

GRTermpremiaandinterestrateforecastinaffinemodels2002(01)

tonEstimationofdynamictermstructuremodels2004

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2001

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sEstimatingexponential-affinemodelsofthetermstructure1996

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RossmodelsofthetermstructureofinterestratesviaMCMCmethods1998

HThetermstructureofinterestratesasarandomfieldwithapplicationstocreditrisk

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2002

einRSThetermstructureofinterestratesasarandomfield2002(02)

onJDTimeSeriesAnalysis1994

sMartingalesandarbitrageinmulti-periodcuritymarkets1979

kaMartingalesandstochasticintegralsinthetheoryofcontinuoustrading

1981

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approximation1990

nBondpricingandthetermstructureofinterestrates:Anewmethodology

forcontingentclaimvaluation1992

rmstructuremovementsandpricinginterestratecontingentclaims1986

lidisAchaoticapproachtointerestratemodeling2005

ptions,FuturesandOtherDerivatives2002

Pricinginterestratederivativecurities1990

NumericalproceduresforimplementingtermstructuremodelsⅡ:two-factormodels

1994

erMarkov-functionalinterestratemodels2000

nAUnderstandingtheyieldcurve1995

wskiDynamicsoftheshapeoftheyieldcurve1997

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dianFAsimpleclassofsquare-rootinterestratemodels1995

dianFLiborandswapmarketmodelsandmeasures1997

stratetermstructuredynamicsandimplicationson

pricesofderivativecurities1998(04)

ermanEquilibriumpositiveinterestrates:Aunifiedview2001(01)

yDPThetermstructureofinterestratesasaGaussianrandomfield1994

yDPCharacterizingGaussianmodelsofthetermstructureofinterestrates1997(02)

RLModelingthetermstructureofinterestrates:Anewapproach2004(01)

epotentialapproachtobondandcurrencypricing1999

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andhedging2001

ochJHMeasuringtheTermStructureofInterestRates1971

nPMCMCbadestimationoftermstructuremodels2001

nPEstimatingintractablenonlineartermstructuremodels2002

rmannClodformsolutionsfortermstructurederivativeswith

lognormalinterestrates1997

sPLecturenotesonstochasticanalysis2000

aMStochasticPDEsandtermstructuremodels1993

wskiContinuous-timetermstructuremodels:Forwardmeasureapproach1997

erestrate,currencyandequityderivativesvaluationusingthepotential

approach2001

alBAnintroductiontoMalliavincalculuswithapplicationtoeconomics1997

siMAffinetermstructuremodels2003

atoTermstructuremodels:Areview2003

LCGWhichmodelfortheterm-structureofinterestratesshouldonu1995

LCGThepotentialapproachtothetermstructureofinterestratesandforeignexchange

rates1997(02)

LCGOneforall:Thepotentialapproachtopricingandhedging2004

afMarkovchainsandthepotentialapproachtomodelinginterestratesand

exchangerates2002

ittingpotentialmodelstointerestrateandforeignexchangedata1997

skiMModelsofforwardLiborandswaprates1999

skiMModellingofforwardLiborandswaprates2000

skiMTermstructuremodeling2004

rasubramanianVolatilitystructuresofforwardratesandthedynamicsofthe

termstructure1995(01)

tteThedynamicsoftheforwardinterestratecurvewithstochasticstring

shocks2001(01)

SStochasticCalculusandFinance1997

tonKJEstimationofaffineastpricingmodelsusingtheempiricalcharacteristic

function[外文期刊]2001(01)

nRAnonparametricmodeloftermstructuredynamicsandthemarketpriceofinterestrate

risk1997(05)

onLEstimatingandinterpretingforwardinterestrates:Sweden1992-41994

chneiderWExtendedCox,IngersollandRossmodel1997

kOAAnequilibriumcharacterizationofthetermstructure1977

Termstructuremodelingusingexponentialsplines1982(02)

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