拉格朗日定理

拉格朗日中值定理

引言

众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学

应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用.研究拉格朗日中值定理的证

明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的.拉格朗日中值定理证明的关键在于引入

适当的辅助函数.实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以

引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个.但事实上若从

思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法.首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定

理与其几何意义作一概述.

1罗尔Rolle中值定理

如果函数xf满足条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,可导；（3）

bfaf,则在ba,至少存在一点,使得0'f

罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线xfy在点BA,处的纵坐标相等，那

么，在弧



AB上至少有一点,Cf，曲线在C点的切线平行于

x

轴，如图1，

注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理

条件不全具备，就一定不存在属于ba,的，使得0'f.这就是说定理的条件是充分

的，但非必要的.

2拉格朗日lagrange中值定理

若函数xf满足如下条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,可导；则在

ba,至少存在一点，使



ab

afbf

f





'

拉格朗日中值定理的几何意义：函数xfy在区间ba,上的图形是连续光滑曲线弧

1/9



AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB.如图2，

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若xf在闭区间ba,两端点的函数值相等，

即bfaf，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理.换句话说，罗尔中值定理是拉格

朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数xf作适当变形，便可借助罗

尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

3证明拉格朗日中值定理

3.1教材证法

证明作辅助函数

fbfa

Fxfxx

ba







显然，函数xF满足在闭区间ba,上连续，在开区间ba,可导，而且FaFb．于

是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ba，使



0''







ab

afbf

fF.

即



ab

afbf

f





'.

3.2用作差法引入辅助函数法

证明作辅助函数























ax

ab

afbf

afxfx

显然，函数x在闭区间ba,上连续，在开区间ba,可导，0ba，因此，由

罗尔中值定理得，至少存在一点ba,，使得



0''







ab

afbf

f，即





ab

afbf

f





'

推广1如图3过原点O作OT∥AB，由xf与直线OT对应的函数之差构成辅助

函数x，因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有：



ab

afbf

KK

ABOT



，

OT的直线方程为：



x

ab

afbf

y





，于是引入的辅助函数为：





x

ab

afbf

xfx





.（证明略）

推广2如图4过点Oa,作直线''BA∥AB，直线''BA的方程为：



ax

ab

afbf

y





，由xf与直线函''BA数之差构成辅助函数x，于是有：

2/9





ax

ab

afbf

xfx





.（证明略）

推广3如图5过点作Ob,直线''BA∥AB，直''BA线的方程为



bx

ab

afbf

y





，由xf与直线AB



函

数之差构成辅助函数x，于是有：





bx

ab

afbf

xfx





.

事实上，可过y轴上任已知点mO,作

//BA∥AB得直线为



mx

ab

afbf

y





，从

而利用xf与直线的''BA函数之差构成满足罗

尔中值定理的辅助函数x都可以用来证明拉格

朗日中值定理.因

m

是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.

3.3用对称法引入辅助函数法

在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于

x

轴的对称函数也有无数个，显然这些函

数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数

xf减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数xf，即可得与之对称的辅助函数如

下：

⑴



xfax

ab

afbf

afx





















⑵



xfx

ab

afbf

x







3/9

⑶



xfax

ab

afbf

x







⑷



xfbx

ab

afbf

x







等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个.这里仅以⑵为例给出

拉格朗日中值定理的证明.

证明显然，函数x满足条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,可导；

3



ab

abfbaf

ba





.由罗尔中值定理知，至少存在一点ba,，使得





0''





f

ab

afbf

，从而有



ab

afbf

f





'，显然可用其它辅助函数

作类似的证明.

3.4转轴法

由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy逆时针旋转适当的角度



，

得新直角坐标系XOY，若OX平行于弦AB，则在新的坐标系下xf满足罗尔中值定理，

由此得拉格朗日中值定理的证明.

证明作转轴变换sincosYXx，cossinYXy，为求出



，解出

YX,得

xXxfxyxXsincossincos①

xYxfxyxYcossincossin②

由bYaY得cossincossinbfbafa，从而



ab

afbf





tan，取满足上式即可.由xf在闭区间ba,上连续，在开区间ba,可

导，知xY在闭区间ba,上连续，在开区间ba,可导，且bYaY，因此，由罗尔中

值定理知，至少存在一点ba,，使得0cossin'fY，即





ab

afbf

f





tan'

3.5用迭加法引入辅助函数法

让xf迭加一个含待顶系数的一次函数mkxy，例如令mkxxfx

或mkxxfx，通过使ba，确定出mk,，即可得到所需的辅助函数.

例如由mkxxfx，令ba

4/9

得mkbbfmkaaf，从而



ab

afbf

k





，而m可取任意实数，这样

我们就得到了辅助函数



mx

ab

afbf

x





，由m的任意性易知迭加法可构造出无数

个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.

3.6用行列式引入辅助函数法

证明构造一个含xf且满足罗尔中值定理的函数x，关键是满足ba.我

们从行列式的性质想到行列式







1

1

1

xfx

afa

bfb

的值在,xaxb时恰恰均为0，因此可设易

证







1

1

1

xfx

xafa

bfb

，展开得

xfbxbfaafxafbfaxbfx.

因为xf在闭区间ba,上连续，在开区间ba,可导，所以x在闭区间ba,上连续，

在开区间ba,可导，且0ab，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点

ba,，使得0'.因为0''fbabfaf

即：



ab

afbf

f





'

3.7数形相结合法

引理在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为,Aafa，

,Bbfb，,Ccfc，则ABC面积为







1

1

1

2ABC

afa

Sbfb

acfc



，

这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种

新的证明.这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的

条件.如图，设,cfc是直线AB与yfx从A点开始的第一个交点，则构造









21

1

1

4

1

afa

xcfc

xfx

，

易验证x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间

5/9

,ac上连续，在开区间,ac可导，而且ba，则至少存在一点ba,，使

/0，即：













0

11

1

1

1

1

1

'



f

cfc

afa

f

cfc

afa

但是







1

10

1

afa

cfc

f

，这是因为，如果







1

10

1

afa

cfc

f

，

则

ffcfcfa

cca











，这样使得,f成为直线AB与yfx从A点

的第一个交点，与已知矛盾）.

故







0

1

1

1



f

cfc

afa

，即



ac

afcf

ab

afbf

f











'.若只从满足罗尔中值定理的

要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造







1

1

1

afa

xbfb

xfx

来解决问题，

从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造







1

1

1

gafa

xgbfb

gxfx

来证

明柯西中值定理.

3.8区间套定理证法

证明将区间,Iab二等分，设分点为

1

，作直线

1

x，它与曲线yfx相

交于

1

M，过

1

M作直线

11

LM∥弦

ba

MM.此时，有如下两种可能:

⑴若直线

11

ML与曲线yfx仅有一个交点

1

M，则曲线必在直线

11

ML的一侧.

否则，直线

11

ML不平行于直线

ab

MM.由于曲线yfx在点

1

M处有切线，根据曲线上

一点切线的定义，直线

11

ML就是曲线yfx在点

1

M处的切线，从而

6/9





ab

afbf

f







1

.由作法知，

1

在区间,ab部，取

1

于是有



ab

afbf

f







⑵若直线

11

ML与曲线yfx还有除

1

M外的其他交点，设

111

,Nxy为另外一个

交点，这时选取以

11

,x为端点的区间，记作

111

,Iab，有

1,112

ba

lIba



,



11

11

fbfafbfa

baba







，把

1

I作为新的“选用区间”，将

1

I二等分，并进行与上面

同样的讨论，则要么得到所要求的点，要么又得到一个新“选用区间”

2

I.如此下去，有

且只有如下两种情形中的一种发生:

(a)在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点

k

，作直线

k

x它与曲线

yfx交于

k

M，过点

k

M作直线

kk

LM∥弦

b

MM,它与曲线yfx只有一个交点

k

M，此时取

k

即为所求.

(b)在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{

n

I}，

满足:

①

12

III

nnn

baI,

②0

2nn

n

ba

ban





③



nn

nn

fbfafbfa

baba







由①②知，{

n

I}构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点3,2,1nI

n

，此

点即为所求.事实上



n

n

n

n

balimlim，f存在



f

ab

afbf

nn

nn

n









lim，由

③lim

n



nn

nn

fbfafbfa

baba







，所以



ab

afbf

f





，从“选用区间”的取

法可知，确在,ab的部.

3.9旋转变换法

证明引入坐标旋转变换A:cossinxXY⑴

cossinYXy⑵

7/9

因为22

cossin

cossin10

sincos











所以A有逆变换/A:cossincossinXxyxfxXx⑶

sincossincosYxyxfxYx⑷

由于xf满足条件:1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,可导，因此⑷式中函数

Yx在闭区间ba,上连续，在开区间ba,可导.为使Yx满足罗尔中值定理的第三个条

件，只要适当选取旋转角



，使YaYb,即

sincossincosafabfb，也即



tan

fbfa

ba









.

这样，函数Yx就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点ba，使

0cossinfY即tanf.由于所选取旋转角满足



ab

afbf





tan，所以



ab

afbf

f





.

结论

本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是

我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充.通过这篇论文我只是

想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的容.而且更重要的是我们

应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的容，要开动脑

筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！

总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助

于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.

参考文献

[1]华东师大学数学系.数学分析（上册）（第二版）[M].：高等教育.1991：153-161

[2]大学数学系.数学分析(上册)[M].：人民教育.1979：194-196

[3]同济大学应用数学系.高等数学（第一册）[M].：高等教育（第五版）.2004：143-153

[4]周性伟,立民.数学分析[M].XX：南开大学.1986：113-124

[5]林源渠,方企勤.数学分析解题指南[M].：大学.2003：58-67

[6]清华等.数学分析容、方法与技巧（上）[M].：华中科技大学.2003：98-106

8/9

[7]洪毅.数学分析（上册）[M].：华南理工大学.2001：111-113

[8]党宇飞.促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].：数学通报.2001,1：15-18

[9]王爱云.高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].：数学通报.2002,2：84-88

[10]惠民等.数学分析习题课讲义[M].：高等教育.2003：126-135

[11]玉莲,奎元等.数学分析讲义学习指导书（上册）[M].：高等教.1994：98-112

[12]大学数学力学系.高等代数.：人民教育.1978:124-135

[13]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].：高等教育.1993：102-110

[14]琉信.数学方法论[M].：XX教育.1996：112-123

[15]传璋等.数学分析（上册）[M].：人民教育.1983:87-92

[16]成章,黄玉民.数学分析（上）[M].：科学.1995：77-86

附录

柯西中值定理

若⑴函数fx与gx都在闭区间ba,上连续；

⑵xf'与xg'在开区间ba,可导；

⑶xf'与xg'在ba,不同时为零；

⑷gagb，

则在ba,至少存在一点，使得







ab

afbf

g

f











'

'

.

区间套定理

若,

nn

ab是一个区间套，则存在唯一一点，使得

,

nn

ab，1,2,n或

nn

ab，1,2,n