椭圆极坐标方程

..

椭圆的极坐标方程及其应用

如图，倾斜角为且过椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

的右焦点

2

F的直线l交椭圆C于,PQ两点，椭圆

C的离心率为

e

，焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导

22

,,PFQFPQ，并证明:

22

11

PFQF

为定值

改为：抛物线22(0)ypxp呢？

例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

的离心率为

3

2

，过右焦点F且斜率为(0)kk的

直线与C相交于,AB两点．若3AFFB，求k。

练习1.（10年辽宁理科）设椭圆C：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于

A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB，求椭圆C的离心率；

例2.（07年全国Ⅰ）已知椭圆

22

1

32

xy

的左、右焦点分别为

1

F，

2

F．过

1

F的直线交椭圆于BD，两点，

过

2

F的直线交椭圆于AC，两点，且ACBD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值．

练习2.（05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆1

2

2

2

y

x上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知

.0,,MFPFFNMFFQPF且线与共线与求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

例3.（07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为)0,3(F，右准线l的方程为12x.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点

123

,,PPP，使

133221

FPPFPPFPP，证明：

||

1

||

1

||

1

321

FPFPFP

为定值，并求此定值.

Q

y

O

x

P

2

F

A

y

O

x

B

F

..

推广：已知椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

,F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点

12

,,,

n

PPP,若

122311nnn

PFPPFPPFPPFP



,则

1

1

||

n

i

i

n

PFep



，你能证明吗？

练习3.（08年福建理科）如图，椭圆

22

22

.

1(0)

xy

ab

ab

的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有

222OAOBAB,求a的

取值范围.

作业1.（08年宁夏文）过椭圆1

45

22



yx

的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于BA,两点,O为坐

标原点,则△OAB的面积为.

作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆

2

2:1

2

x

Cy的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF交C于点B。若

3FAFB,求AF。

作业3.（15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点

1

(1,0)F和右焦点

2

(1,0)F，且

ACBD，椭圆的一条准线方程为4x

（1）求椭圆方程；

（2）求四边形ABCD面积的取值范围。

练习4.（08年安徽文）已知椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

＞＞，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.求证：

2

42

2cos

AB



；

（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求ABDE的最小值.

作业5.已知以F为焦点的抛物线24yx上的两点A、B满足3AFFB,求弦AB的中点到准线的距离.

..

参考答案：

例1.

练习1.

例2.

..

练习2..

例3.解：（Ⅰ）设椭圆方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

.

因焦点为)0,3(F，故半焦距3c.又右

准线l的方程为

c

a

x

2

，从而由已知

36,122

2

a

c

a

，

因此3327,622caba.

故所求椭圆方程为

1

2736

22



yx

.

（Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A,并设

(1,2,3)

ii

AFPi,不失一般性

假设

1

2

0

3





,且

2131

24

,

33







又设点

i

P在l上的射影为

i

Q,因椭圆的离心率

1

2

c

e

a

,据椭圆第二定义得

2

||||(||cos)

iiiii

a

FPPQecFPe

c



1

(9cos)

2ii

FP(1,2,3)i



121

(1cos)

92i

i

FP



(1,2,3)i.



111

123

1112124

3(coscos()cos()

9233FPFPFP













又

11111111

241313

coscos()cos()coscossincossin0

332222









123

1112

3FPFPFP



(定值)

方法二:记椭圆的右顶点为A,并设

(1,2,3)

ii

AFPi,不失一般性假设

1

2

0

3





,且

2131

24

,

33





,另设点(,)

ii

Pxy,则||cos3,||sin

iiiiii

xPFyPF

点

i

P在椭圆上,

22(||cos3)(||sin)

1

3627

iiii

PFPF





11

(2cos)

9i

i

FP



(1,2,3)i,以下同方法一



123

1112

3FPFPFP



(定值)

推广：

引理1:

(1)

sincos()

22

coscos()cos(2)cos()

sin

2

nn

n













.

证明:

1

cossin[sin()sin()]

2222



-----------------------(1)

13

cos()sin[sin()sin()]

2222



----------------------(2)

……

12121

cos()sin[sin()sin()]

2222

nn

n







----------(1n)

将上述1n个式子相加得

1211

[coscos()cos()]sin[sin()sin()]

2222

n

n









..



(1)

sincos()

22

coscos()cos()

sin

2

nn

n















证明:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,,)

ii

AFPin,不失一般性

假设

1

2

0

n





,且

21311

24

,,,

n

n

nnn







又设点

i

P在l上的射影为

i

Q,据椭圆第二定义得

2

||||(||cos)

iiiii

a

FPPQecFPe

c



(1,2,,)in



2

1

(1cos)

i

i

a

e

FPb



(1,2,,)in.



111

2

1

122(1)

{[coscos()cos()]}

||

n

i

i

an

ne

PFbnn











在引理1中,令

1

2

,

n



,则

111

22(1)

coscos()cos()

n

nn









1

1

(1)

(1)

sincos()

sincos()

22

0

sinsin

2

n

nn

n

n























2

1

1

||

n

i

i

na

PFb



.

练习3.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

所以

3

2

OFMN,

即1＝

32

,3.

23

b

b解得＝

2214,ab因此，椭圆方程为

22

1.

43

xy



(Ⅱ)设

1122

(,),(,).AxyBxy

(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，

222

222

222

2,4(1),

.

OAOBaABaa

OAOBAB



因此，恒有

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：

22

22

1,1,

xy

xmy

ab

代入

整理得22222222()20,abmybmybab

所以

2222

1212

222222

2

,

bmbab

yyyy

abmabm







因为恒有

222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.

即

11221212

(,)(,)0OAOBxyxyxxyy恒成立.

2

2

(1)(1)(1)()1xxyymymyyymyymyy

222222

222222

2222222

222

(1)()2

1

0.

mbabbm

abmabm

mabbaba

abm













又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m

R恒成立，

即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m

R恒成立.

当m

R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

a2

因为a>0,b>0,所以a0,

解得a>

15

2



或a<

15

2



(舍去)，即a>

15

2



,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（

15

2



，+）.

解法二。

..

作业1.

作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故

2

||

3

BM.又由

椭圆的第二定义,得

222

||

233

BF||2AF.

作业3.

作业4.

作业5.

8

3