求函数定义域

供学习参考

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式

或不等式组，解此不等式〔或组〕即得原函数的定义域。

例1求函数

8|3x|

15x2x

y

2





的定义域。

解：要使函数有意义，那么必须满足











②

①

08|3x|

015x2x2

由①解得3x或5x。③

由②解得5x或11x④

③和④求交集得3x且11x或x>5。

故所求函数的定义域为}5x|x{}11x3x|x{且。

例2求函数

2x16

1

xsiny



的定义域。

解：要使函数有意义，那么必须满足











②

①

0x16

0xsin

2

由①解得Zkk2xk2，③

由②解得4x4④

由③和④求公共局部，得

x0x4或

故函数的定义域为]0(]4(，，

评注：③和④怎样求公共局部？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为一个抽象函数的

定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）)x(f的定义域，求)]x(g[f的定义域。

（2）其解法是：)x(f的定义域是［a，b］求)]x(g[f的定义域是解b)x(ga，即为

所求的定义域。

例3)x(f的定义域为［－2，2］，求

)1x(f2

的定义域。

解：令21x22，得3x12，即3x02，因此

3|x|0

，从而

3x3

，故函数的定义域是

}3x3|x{

。

〔2〕)]x(g[f的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：)]x(g[f的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由bxa，求g(x)

的值域，即所求f(x)的定义域。

例4)1x2(f的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为51x234x222x1，，。

即函数f(x)的定义域是}5x3|x{。

三、逆向型

即所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于定义域为R，求参数的范

围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5函数8mmx6mxy2的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，说明0m8mx6mx2，使一切x∈R都成立，由2x项

供学习参考

的系数是m，所以应分m=0或0m进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当0m时，08mmx6mx2是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件

是

1m0

0)8m(m4)m6(

0m

2













综上可知1m0。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6函数

3kx4kx

7kx

)x(f

2



的定义域是R，求实数k的取值范围。

解：要使函数有意义，那么必须3kx4kx2≠0恒成立，因为)x(f的定义域为R，即

03kx4kx2无实数

①当k≠0时，0k34k162恒成立，解得

4

3

k0；

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是

4

3

k0。

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要

加倍注意，并形成意识。

例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函

数的定义域。

解：设矩形一边为x，那么另一边长为)x2a(

2

1

于是可得矩形面积。

2xax

2

1

)x2a(

2

1

xy

ax

2

1

x2。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足



























0x2a

0x

0)x2a(

2

1

0x

2

a

x0。

故所求函数的解析式为ax

2

1

xy2，定义域为〔0，

2

a

〕。

例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，假设矩形底边长为2x，

求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

供学习参考

因为CD=AB=2x，所以xCD



，所以

2

xx2L

2

CDABL

AD











，

故

2

x

2

xx2L

x2y

2







Lxx)

2

2(2





根据实际问题的意义知

2

L

x0

0

2

xx2L

0x2





















故函数的解析式为Lxx)

2

2(y2



，定义域〔0，

2

L



〕。

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9)x(f的定义域为［0，1］，求函数)ax(f)ax(f)x(F的定义域。

解：因为)x(f的定义域为［0，1］，即1x0。故函数)x(F的定义域为以下不等式组

的解集：











1ax0

1ax0

，即











a1xa

a1xa

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

〔1〕当0a

2

1

时，F〔x〕的定义域为}a1xa|x{；

〔2〕当

2

1

a0时，F〔x〕的定义域为}a1xa|x{；

〔3〕当

2

1

a或

2

1

a时，上述两区间的交集为空集，此时F〔x〕不能构成函数。

六、隐含型

有些问题从外表上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域

隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先

求定义域。

例10求函数

)3x2x(logy2

2



的单调区间。

解：由03x2x2，即03x2x2，解得3x1。即函数y的定义域为

〔－1，3〕。

函数

)3x2x(logy2

2



是由函数

3x2xttlogy2

2

，

复合而成的。

4)1x(3x2xt22

，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间

]1(，上是增函数；在区间)1[，上是减函数，而tlogy

2

在其定义域上单调增；

3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，，所以函数

)3x2x(logy2

2



在区

间]11(，上是增函数，在区间)31[，上是减函数。

函数值域求法十一种

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

供学习参考

例1.求函数x

1

y

的值域。

解：∵0x

∴

0

x

1



显然函数的值域是：),0()0,(

例2.求函数x3y的值域。

解：∵0x

3x3,0x

故函数的值域是：]3,[

2.配方法

配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。

例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。

解：将函数配方得：4)1x(y2

∵]2,1[x

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y

min

，当1x时，8y

max



故函数的值域是：[4，8]

3.判别式法

例4.求函数2

2

x1

xx1

y







的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

0x)1y(x)1y(2

〔1〕当1y时，Rx

0)1y)(1y(4)1(2

解得：2

3

y

2

1



〔2〕当y=1时，0x，而















2

3

,

2

1

1

故函数的值域为













2

3

,

2

1

例5.求函数)x2(xxy的值域。

解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222〔1〕

∵Rx

∴0y8)1y(42

供学习参考

解得：21y21

但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0

由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，

而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由0

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为













2

3

,

2

1

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x0

0)x2(xxy

21y,0y

min

代入方程〔1〕

解得：

]2,0[

2

2222

x

4

1







即当2

2222

x

4

1





时，

原函数的值域为：]21,0[

注：由判别式法来判断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数

集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函

数的值域。

例6.求函数6x5

4x3





值域。

解：由原函数式可得：3y5

y64

x







那么其反函数为：3x5

y64

y







，其定义域为：5

3

x

故所求函数的值域为：















5

3

,

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主

来确定函数的值域。

例7.求函数1e

1e

y

x

x







的值域。

解：由原函数式可得：1y

1y

ex







∵0ex

供学习参考

∴

0

1y

1y







解得：1y1

故所求函数的值域为)1,1(

例8.求函数3xsin

xcos

y





的值域。

解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：

y3)x(xsin1y2

即1y

y3

)x(xsin

2



∵Rx

∴]1,1[)x(xsin

即

1

1y

y3

1

2







解得：4

2

y

4

2



故函数的值域为

















4

2

,

4

2

6.函数单调性法

例9.求函数)10x2(1xlog2y

3

5x的值域。

解：令1xlogy,2y

32

5x

1



那么21

y,y在[2，10]上都是增函数

所以21

yyy在[2，10]上是增函数

当x=2时，8

1

12log2y

3

3

min



当x=10时，339log2y

3

5

max



故所求函数的值域为：













33,

8

1

例10.求函数1x1xy的值域。

解：原函数可化为：1x1x

2

y





令1xy,1xy

21

，显然21

y,y在],1[上为无上界的增函数

所以1

yy，2

y在],1[上也为无上界的增函数

供学习参考

所以当x=1时，21

yyy有最小值2，原函数有最大值

2

2

2



显然0y，故原函数的值域为]2,0(

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式

含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之

一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数1xxy的值域。

解：令t1x，)0t(

那么1tx2

∵4

3

)

2

1

t(1tty22

又0t，由二次函数的性质可知

当0t时，1y

min



当0t时，y

故函数的值域为),1[

例12.求函数2)1x(12xy的值域。

解：因0)1x(12

即1)1x(2

故可令],0[,cos1x

∴1cossincos11cosy2

1)

4

sin(2





∵







4

5

4

0,0

211)

4

sin(20

1)

4

sin(

2

2













故所求函数的值域为]21,0[

例13.求函数1x2x

xx

y

24

3







的值域。

解：原函数可变形为：2

2

2x1

x1

x1

x2

2

1

y











可令tgx，那么有











2

2

2

2

cos

x1

x1

,2sin

x1

x2

供学习参考

4sin

4

1

2cos2sin

2

1

y

当82

k







时，4

1

y

max



当82

k







时，4

1

y

min



而此时tan有意义。

故所求函数的值域为















4

1

,

4

1

例14.求函数)1x)(cos1x(siny，

















2

,

12

x

的值域。

解：)1x)(cos1x(siny

1xcosxsinxcosxsin

令txcosxsin，那么

)1t(

2

1

xcosxsin2

22)1t(

2

1

1t)1t(

2

1

y

由)4/xsin(2xcosxsint

且

















2

,

12

x

可得：

2t

2

2



∴当2t时，

2

2

3

y

max



，当2

2

t

时，2

2

4

3

y

故所求函数的值域为















2

2

3

,

2

2

4

3

。

例15.求函数2x54xy的值域。

解：由0x52，可得5|x|

故可令],0[,cos5x

4)

4

sin(10sin54cos5y





∵0

4

5

44













当4/时，104y

max



当时，54y

min



故所求函数的值域为：]104,54[

供学习参考

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直

线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，

赏心悦目。

例16.求函数22)8x()2x(y的值域。

解：原函数可化简得：|8x||2x|y

上式可以看成数轴上点P〔x〕到定点A〔2〕，)8(B间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，10|AB||8x||2x|y

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，10|AB||8x||2x|y

故所求函数的值域为：],10[

例17.求函数5x4x13x6xy22的值域。

解：原函数可变形为：

2222)10()2x()20()3x(y

上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

43)12()23(|AB|y22

min

，

故所求函数的值域为],43[

例18.求函数5x4x13x6xy22的值域。

解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y

上式可看成定点A〔3，2〕到点P〔x，0〕的距离与定点)1,2(B到点)0,x(P

的距离之差。

即：|BP||AP|y

由图可知：〔1〕当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

'P，那么构成'ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有

26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22

供学习参考

即：26y26

〔2〕当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有26|AB|||BP||AP||

综上所述，可知函数的值域为：]26,26(

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B

两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，那么要使A，B两点在x轴的同

侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：〔3，2〕，)1,2(，在x轴的同侧；

例18的A，B两点坐标分别为〔3，2〕，)1,2(，在x轴的同侧。

9.不等式法

利用根本不等式abc3cba,ab2ba3

)Rc,b,a(，求函数的最值，

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，

不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.求函数

4)

xcos

1

x(cos)

xsin

1

x(siny22

的值域。

解：原函数变形为：

5

2xcotxtan3

xcotxtan3

xcxces1

xcos

1

xsin

1

)xcosx(siny

223

22

22

22

22











当且仅当xcotxtan

即当4

kx





时)zk(，等号成立

故原函数的值域为：),5[

例20.求函数x2sinxsin2y的值域。

解：xcosxsinxsin4y

xcosxsin42

供学习参考

27

64

]3/)xsin22xsinx[(sin8

)xsin22(xsinxsin8

xcosxsin16y

3222

222

24









当且仅当xsin22xsin22，即当3

2

xsin2

时，等号成立。

由27

64

y2

可得：9

38

y

9

38



故原函数的值域为：

















9

38

,

9

38

10.一一映射法

原理：因为

)0c(

dcx

bax

y







在定义域上x与y是一一对应的。故两个变

量中，假设知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21.求函数1x2

x31

y







的值域。

解：∵定义域为













2

1

x

2

1

x|x或

由1x2

x31

y







得3y2

y1

x







故2

1

3y2

y1

x







或2

1

3y2

y1

x







解得2

3

y

2

3

y或

故函数的值域为



























,

2

3

2

3

,

11.多种方法综合运用

例22.求函数3x

2x

y







的值域。

解：令)0t(2xt，那么1t3x2

〔1〕当0t时，

2

1

t

1

t

1

1t

t

y

2











，当且仅当t=1，即1x时取等号，

所以2

1

y0

供学习参考

〔2〕当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：













2

1

,0

注：先换元，后用不等式法

例23.求函数42

432

xx21

xxx2x1

y







的值域。

解：42

3

42

42

xx21

xx

xx21

xx21

y













2

2

2

2

x1

x

x1

x1



























令2

tanx





，那么























2

2

2

2

cos

x1

x1





sin

2

1

x1

x

2

1sin

2

1

sinsin

2

1

cosy22

16

17

4

1

sin

2

















∴当4

1

sin

时，16

17

y

max



当1sin时，2y

min



此时2

tan



都存在，故函数的值域为















16

17

,2

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特

征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本

不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。