求不定积分

求不定积分的方法与技巧

1前言

为了更好地提高思维逻辑和利用数学手段分析解决问题的能力，

学习高等数学是理工科大学生必修的基础理论课之一，而微分学与积

分学是高等数学中最重要的部分，二者互为逆运算。一般的，都是先

讲授微分学再讲授积分学，微分学给积分学提供了必要的知识储备。

大家都知道不定积分是积分学的关键，是求定积分的基础，对于不定

积分的定义、性质、理论和技巧的牢固掌握，不仅能够促使学生巩固

所学的导数和微分的概念，在一定程度上更好地进行复习熟记工作，

而且在学习定积分、微分方程和多元函数的积分学等学科的过程中要

求定积分的运算熟练。因此决定了不定积分在数学计算中的重要地位，

至还会对其他的课程有一定的影响。在高等数学中，不定积分的积分

方法和技巧有很多，因此归纳其积分方法对于学科研究起着重要的作

用。

虽然求不定积分的过程没有固定的格式也没有特定的步骤，但是

求不定积分的方法具有灵活性和技巧性，这种技巧性大大优于微分运

算。本文在这个基础之上归纳了求不定积分的方法和技巧，为以后的

学习做铺垫。

2不定积分的积分技巧

不定积分的积分方法最主要的是四种，即直接积分法、第一换元

积分法（凑微分法）、第二换元积分法和分部积分法，这四种积分方

法在教科书中都有详细的论述，而且这四种积分方法规定了不定积分

方法的大方向，而且是进行不定积分运算的总原则，但是不定积分的

积分方法具有灵活性，所以在发展的过程中积分方法也要不断地提高

技巧，在这个原则上进行改进是我们不断努力的方向，因为不定积分

的积分方法也要做到与时俱进，而在这个大方向上进行改进和拓展是

我们的一项任务。本文在总结归纳了这四种基本积分原则的基础之上，

又研究了其余两种特殊形式的积分，为以后的研究提供参考方向。

2.1利用不定积分的定义求积分

不定积分的定义：若[F（x）]是[f（x）]在某一区间上的一个原函

数，则称[f（x）]在这一区间上的全体原函数[F（x）+C]（[C]为任意常

数）为[f（x）]在这一区间上的不定积分，记为[f（x）dx]，即[f（x）

dx=F（x）+C]（[C]为任意常数）

2.2直接积分法

直接积分就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分，直接

积分关键就是把被积函数通过代数或三角函数恒等变形，变为代数和

之后再进行逐项积分。

2.3第一类换元积分法（凑微分法）

换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法。对于不能

直接使用基本积分公式求解的积分，若可以通过适当的变量代换将其

化成基本公式中已有的形式，求出积分后，再回代原积分变量，则可

求得原来的积分，这种方法称为第一类换元积分法，也称“凑微分法”。

这种方法就是从被积函数的特点出发，由难到易一层一层的进行

剖析，从而得到不同解法。由此可见，在求不定积分时，要想灵活运

用基本方法得到解决，必须抓住被积函数的特点，进行多角度、多方

位地剖析，采取一题多解，经过多次这样的尝试与探索，才能丰富解

题经验，产生解题意识，从而提高求不定积分的解题能力。

2.4第二换元积分法

第一换元积分法是将积分[fφ（x）φ“（x）dx]中函数[φ（x）]用一

个新的变量u替换，简单计算。第二换元积分法，则是引入新积分变

量t将x表示为t的一个连续函数[x=φ（t）]，从而简化积分计算。

2.5分部积分法

微积分中对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行

换元的组合分成两部分进行积分，其原理就是复合函数求导的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为：反三角函数、对数

函数、幂函数、指数函数和三角函数（排在前面的的为u函数）。

分部积分法的积分原理：[（uv）“=u"v+uv"⇒udv=uv-vdu]或

[uv"dx=uv-u"vdx]，分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数（或

微分）的逆运算。

分部积分如果使用恰当，就会很快的求出积分，最重要的就是选

择哪个函数放进微分中去，将积分凑成[udv]的形式，而且无论使用多

少次分部积分，运算都比较简单。

2.6特殊类型的函数积分

2.6.1有理分式函數的积分

用待定系数法将其变为有理真分式函数的代数和然后用前面的

方法逐项积分

2.6.2简单三角函数的积分

简单三角函数的积分

被积函数中含有三角函数，但又不能用前面总结的方法求积分，

可利用三角函数万能公式换元，积分变为有理式的积分。（万能换元）

万能公式为：令[tanx2=t]

则[tanx=2t1-t2]，[sinx=2t1+t2]，[cosx=1-t21+t2]

2.7积分重现

这种类型的不定积分不能直接求出结果，可以通过两次分部积分

得到一个关于原不定积分的方程，从而得出原不定积分的解，重点注

意两次分部积分中u的选择要一致，否则二次积分后将化回到原式。

3结论

不定积分的应用非常广泛，这些都可以在数学学习中体会到，尤

其在数学计算的过程中将不定积分体现的淋漓尽致。因此在学习不定

积分的过程中，要学会灵活运用，最重要的就是熟练掌握不定积分的

基本积分公式和常见的积分法，同时要学会变形，将复杂的被积函数

变形为易于积分的形式，这种易于积分的形式要时刻记住，在掌握单

一的形式之后要学会综合应用，有时一道积分题目要综合使用换元积

分法和分部积分法等其他积分方法。