海涅定理

极限的若干求解方法

作者：谢勇

来源：《中学课程辅导·教师教育》2018年第11期

【摘要】极限是研究高等数学的重要工具，正确的掌握极限的运算方法，是研究数学分析

及其他相关学科的基础。本文结合自己与同行的学习经验，总结出了运用五则运算、变量替换、

两边夹法则、两个重要极限、L’Hospital法则、Stolz公式、Taylor公式、Heine定理及

Lagrange中值定理等极限求解方法。

【关键词】极限解法五则运算洛必达法则泰勒公式

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2018）11-222-02

1.课题背景

数列和函数的极限在数学分析中所占的地位是众所周知的，通过极限定义了函数的连续、

可导及定积分等等。同时它也是考研数学分析中每次必考的一个考点。许多考研复习参考资料

中都花大量的篇幅去探讨、列举极限的求解方法，复杂冗赘，没有条理，学生学习起来很吃力，

也很难掌握。

2.极限求解的方法

2.1利用五则运算求极限

极限的五则运算是极限求解的最基本方法，很多极限求解的题目都是通过极限的五则运算

来求解的。我们通常的四则运算包括加、减、乘、除，而五则运算还包括幂指运算。

两边夹法则及推广形式

当极限很复杂或不能直接将其求解出来，可以考虑先求极限的变量，然后做适当的放大和

缩小，使放大和缩小所得到的新的变量易于求解，且二者的极限值相同，那么原极限存在且等

于这两个极限的极限值，这就是极限求解的两边夹法则。

注在运用两边夹法则求极限是极限求解的十分重要的方法且应用广泛，但是值得注意的是

在放大和缩小时不能放大得过大和缩小得过小，必须使放大后的极限值和缩小后的极限值相等；

若放大和缩小所得的极限值不相等，但二者只相差一个任意小的常数，则两边夹法则任然有效。

2.4两个重要极限

注Stolz公式在一个题目中可以重复使用，只要满足条件。

2.7利用Taylor公式求极限

在极限求解中，我们也常遇到未定式极限的求解，对于这样的极限求解问题，我们常用的

方法是等价无穷小代换和洛必达法则，但等价无穷小代换只能用在乘除运算中。另外，洛必达

法则如遇到阶数较高的无穷小量必须进行多次洛必达法则，过程比较繁琐，这时用泰勒公式会

比较简单。

注等价无穷小替换只能对分子或分母的整体(或对分子、分母的因式进行替换)，而对于用

“+”“-”连接的各部分不能替换。

2.8Heine(海涅)定理

众所周知，海涅定理是沟通数列和函数的“桥梁”，通过海涅定理，数列极限和函数极限

可以相互转换，函数极限的所有性质都可以通过海涅定理用数列极限加以证明，根据海涅定理

的必要条件还可以判断函数极限是否存在。

注对于有的极限求解的题目，我们不仅可以综合以上的多种方法，也可以用多种方法求解，

所以在计算的时候我们灵活运用各种方法，选取最简单的进行求解。

3.总结与展望

总结了极限求解的几种方法。因为极限求解是一个很基础的也是非常重要的一部分，在学

习这部分的时候我们没有进行系统性的归纳总结，所以在这里我根据自己在大学学习期间学到

的极限求解的相关知识给出了几种我们常用的求解方法。

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