维尔斯特拉斯函数

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魏尔斯特拉斯

沈永欢

(北京工业大学)

魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，KarlWilhelmTheodor)1815年10月31

日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学．

魏尔斯特拉斯的父亲威廉(Wilhelm)是一名政府官员，受过高等教育，颇具才智，但对

子女相当专横．魏尔斯特拉斯11岁时丧母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；两位妹妹终

身末嫁，后来一直在生活上照料终身未娶的魏尔斯特拉斯．

由于其父多次迁居，魏尔斯特拉斯上过几所小学．1829年，他考入帕德博恩的天主教

文科中学．该校创建于公元820年，历史悠久．他成绩优异，年年得奖，在拉丁文、希腊

文、德文和数学四科中，表现尤其出色．1834年夏毕业时，他是获得甲等毕业文凭的三人

之一．

威廉要孩子长大后进入普鲁士高等文官阶层，因而于1834年8月把魏尔斯特拉斯送

往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋得政府高级职

位创造条件．

魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活

上，例如击剑、宴饮、夜游．他在这些方面也是首屈一指的．他的专业兴趣在于数学．当

时J．普吕克(Plücker)在波恩执教，但他忙于各种事务，不可能抽暇进行个别教学，所以

魏尔斯特拉斯从他那里获益不多．

在校期间，魏尔斯特拉斯研读过P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天体力学》(Mecanique

céleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《椭圆函数新理论基础》(Fundamentanovatheorie

functionumellipticarum)．前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础；后

者对他当时的数学水平稍难了些．他还钻研过J．斯坦纳(Steiner)的一些论文．事实上，后

来他成为斯坦纳数学论著的编纂者．不过，这段时间中N．H．阿贝尔(Abel)是他最大的

鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾说，在1830年的《克雷尔杂志》(Journalfürdie

ReineundAngewandteMathema-tik)上读到阿贝尔致A．M．勒让德(Legender)的信，

“在大学生涯中对我无比重要．从确定λ(x)(这是阿贝尔引进的函数)满足的微分方程来直接

导出该函数的表示形式，这是我为自己确立的第一个数学课题；我有幸得到了这个问题的

解，这促使我下定决心献身数学．我是在第7学期作出这个决定的．”[20]这就是说，约在

1837年底，他立志终生研究数学．1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，

因此在离开波恩大学时，他没有取得学位．

4年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满．幸亏父亲的一位爱好数

学的朋友出来调解，建议把魏尔斯特拉斯送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教

师任职资格国家考试．魏尔斯特拉斯遂于1839年5月22日在该院注册．他在该院遇见了

使他终身铭记的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是

把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石．1839—1840学年上学

期，听古德曼第一堂课的有13人，可第二堂起只剩下魏尔斯特拉斯一人，师生促膝谈心，

相处融洽．古德曼还为这位唯一的学生讲授解析球面几何学．

1840年2月29日，魏尔斯特拉斯报名参加国家考试，考试分笔试、口试两部分．他

有半年时间就主考指定的3个论题写作论文．古德曼应魏尔斯特拉斯的请求为笔试出了一

个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展开式．他对自己学生所写的论文给予高度评价，

说所提问题对“一位年轻的分析学者来说是很难的”，但论文表明作者“足以列入戴以荣誉

桂冠的发现者队伍之中”，“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名中学教

师，而能获得更为有利的条件，……以使他得以进入他命定有权跻身其中的著名科学发现者

队伍之中．”[20]可惜学院负责人十分保守，对这一评价未予重视．

1841年4月，魏尔斯特拉斯通过口试；1841年秋至1842年秋在明斯特文科中学见

习一年．1840至1842年间，他写了4篇直到他的全集刊印时才问世的论文“关于模函数

的展开”[2]、“单复变量(其绝对值介于给定的两个界限之间)解析函数的表示”[3]、“幂级

数论”[4]和“借助代数微分方程定义单变量解析函数”[5]．这些早期论文已显示了他建立

函数论的基本思想和结构，其中有用幂级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函

数的展开[早于P．A．洛朗(Laurent)两年]，幂级数系数的估计[独立于A．L．柯西(Cauchy)]，

一致收敛概念以及解析开拓原理．

1842年秋，魏尔斯特拉斯转至西普鲁士克隆的初级文科中学．除数学、物理外，他还

教德文、历史、地理、书法、植物，1845年还教体育！繁重的教学工作使他只能在晚上钻

研数学．科研条件极差：乡村中学没有象样的图书馆；校内没有可以与之讨论的同事；经

济拮据，无力订阅期刊，甚至付不出邮资．或许这对他这样自强不息的人也有好处，可以

潜心锤炼自己独特的观念和方法．他曾在学校刊物上发表“关于解析因子的注记”．此文表

明以前研究同一问题的数学家未能洞察问题症结何在．但这种刊物上的文章当然不会引起

世人注意．

1848年秋，魏尔斯特拉斯转至东普鲁士布伦斯堡的皇家天主教文科中学．该校拥有较

好的图书馆，校长也很友善．魏尔斯特拉斯在该校年鉴(1848／49)上发表了“关于阿贝尔

积分论”，这是一篇划时代的论文，可惜仍然无人觉察．

1853年夏，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心写

作关于阿贝尔函数的论文．这就是1854年发表于《克雷尔杂志》上的“阿贝尔函数论”

[6]．这篇出自一个名不见经传的中学教师的杰作，引起数学界瞩目．A．L．克雷尔(Crelle)

说它表明作者已可列入阿贝尔和雅可比的最出色的后继者行列之中．J．刘维尔(Liouville)

称它为“科学中划时代工作之一”，并立即把它译为法文刊载于他创办的《纯粹与应用数学

杂志》(JournaldeMathématiquesPuretAppliquées)上．雅可比的继任者、柯尼斯

堡大学数学教授F．里歇洛(Richelot)说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴布

伦斯堡颁发证书．当时任《克雷尔杂志》主编的C．W．博尔夏特(Borchardt)赶赴布伦斯

堡向魏尔斯特拉斯致贺，从此开始了两人长达20多年的友谊，直至博尔夏特谢世．

1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师并享受一年研究假期．1856年6月14

日，柏林皇家综合工科学校任命他为数学教授；在E．E．库默尔(Kummer)的推荐下，柏

林大学聘任他为副教授，他接受了聘书．11月19日，他当选为柏林科学院院士．1864

年成为柏林大学教授．

在柏林大学就任以后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析(包括复分析)基础，并

进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论．这些工作主要是通过他在该校讲授的大量课程完

成的．几年后他就名闻遐迩，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授．G．米塔-列夫

勒(Mittag－Leffler)于1873年从瑞典去巴黎，想在Ch．埃尔米特(Hermite)指导下研究

分析．可是埃尔米特对他说：“先生，你错了！你应当到柏林去听魏尔斯特拉斯讲课．他比

我们都强．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了关于亚纯函数的重要发现．

魏尔斯特拉斯于1873年出任柏林大学校长，从此成为大忙人．除教学外，公务几乎

占去了他全部时间，使他疲乏不堪．紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退．他

的70华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬．10年后80大寿庆典更加

隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄．

魏尔斯特拉斯与C．B．科瓦列夫斯卡娅(Кοвaлевскaя)的友谊，是他后期生活中的一

件大事．科瓦列夫斯卡娅于1869年秋

拉斯早期弟子之一，又善

于宣扬其师的讲授，这促使科瓦列夫斯卡娅大胆决定直接求助魏尔斯特拉斯．1870年秋，

年方20、聪慧美丽的科瓦列夫斯卡娅见到了55岁的魏尔斯特拉斯．后者发现了她的优异

天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝．于是他就抽出业余时间为她免费

授课，每周两次，一直持续到1874年秋．这期间他待她亲如子女，并帮助她以关于偏微

分方程的著名论文在格丁根取得学位．1888年，科瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究

获得巴黎科学院大奖，对他是极大慰藉．两年后她的去世则是对他的一个沉重打击，以致

他烧毁了她写给他的全部信件以及他收到的不少其他书信．

1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘

然长逝，享年82岁．

除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员(1856)、巴黎科学院院

士(1868)、英国皇家学会会员(1881)．

魏尔斯特拉斯生前便决定在其学生协助下出版他本人的论著，1894和1895年分别出

版了他的全集[1]的第1，2两卷．按照他的遗愿，1902年首先出版了关于阿贝尔函数论的

第4卷，1903年出了第3卷．第5卷是《椭圆函数论讲义》，第6卷是《椭圆函数论在几

何与力学中的应用》，出版于1915年．1927年出版了第7卷《变分法讲义》．原定第8—

10卷是他关于超椭圆函数的工作、《椭圆函数论讲义》第2版和函数论，但迄今仍未问世．全

集前3卷共收论文(其中有一部分讲演)60篇．他致P．杜布瓦-雷蒙(DuBois－Reymond)、

L．富克斯(Fuchs)和柯尼斯伯格的一些信件，发表于《数学学报》(ActaMath．，1923)．

数学分析算术化的完成者

魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严

格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术

化．然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在

这一领域的工作带来了困难．

实数论

魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础(例如无懈可击地证明连续函数

的性质)，必须建立严格的实数论．他于1857年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第

一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论．

为从自然数定义正有理数，他引进正整数的“恰当部分”的概念．例如，1的恰当部

分是满足n·en=1的元素en．数a是数b的一个“恰当部分”，如果b是由等于a的一些

元素构成的集合．正有理数定义为单位的恰当部分的有限整线性组合，或有限集．通过定

义“容许变换”，他使同一有理数的不同表示式得以化归为相同的分母，然后他引进由无穷

多个元素构成的集合，通过引进“部分”概念定义这类集合之间的相等．这就是他的无理

数概念的基点．由此他定义实数的四则运算与次序关系，证明它们所满足的规律以及实数

的十进小数表示式．

稍后，H．C．R．梅雷(Méray)、G．康托尔(Cantor)、R．戴德金以及E．海涅(Heine)

分别于1869，1871，1872，1872年各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数

论．

ε－δ语言

H．A．施瓦兹(Schwarz)、G．黑特纳(Hettner)和G．蒂姆(Thieme)分别整理的魏尔

斯特拉斯于1861年讲授的《微分学》、1874年讲授的《解析函数论导引》和1886年讲

授的《函数论选题》的笔记，呈现了他用ε-δ语言定义分析基本概念与论证分析基本定理的

轮廓．

魏尔斯特拉斯说，对于函数f(x)，“如果能确定一个界限δ，使对其绝对值小于δ的所有

h值，f(x+h)－f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量ε，则称所给函数对应于变

量的无穷小改变具有无穷小改变．”他由此给出函数连续的定义，证明闭区间上连续函数的

介值性质和有界性质．在定义微分学基本概念时，他还以

f(x+h)=f(x)＋h·f′(x)+h(h)

给出导数的另一种定义．他严格证明了带余项的泰勒公式，称它为“整个分析中名副

其实的基本定理”．对于函数项级数，他引进了极其重要

阐述并证明了关于连续函数项级数的和函数的连续性以及函数项级数逐项微分与逐项

积分的定理，几乎与现在分析教科书中所写内容完全一

在建立分析基础过程中，魏尔斯特拉斯引进了R与Rn中一系列度量和拓扑概念，如有

界集、无界集，点的邻域，集的内点、外点、边界点，集和序列的极限点，连通性等．他

证明了有界无限集必有极限点(现称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)，并通过极限点证明了

有界数集上、下确界的存在性与数列上、下极限的存在性．

在1886年的授课中，他还指出G．F．B．黎曼(Riemann)关于定积分的定义限制过

多，并把积分概念推广到在一个可数集上不连续的有界函数．这是走向具有完全可加性的

现代积分概念的一个正确尝试．

魏尔斯特拉斯的严格性

引进一致收敛概念，是魏尔斯特拉斯的严格性的一个例证．海涅于1869年说，在此

以前，人们(包括柯西在内)对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，“是魏尔斯特拉斯

先生首次注意到，这条定理的证明……还基于一致收敛性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了

G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．赛德尔(Seidel)与魏尔斯特拉斯的一致收敛概念后说，

“只有魏尔斯特拉斯清楚地、自觉地看出了一致收敛作为分析基本概念的极端重要性”．

对于狄利克雷原理的批评，是其严格性的又一例证．该原理断定：

连续函数中，存在使得狄利

克雷积分

达到最小值的函数u0(x，y)，而u0必在D内调和，从而是狄利克雷问题的解．1870

年，魏尔斯特拉斯在柏林科学院发表题为“关于所谓狄利克雷原理”的讲演[7]，一针见血

地指出[u]构成的集具有下确界并不蕴涵在所考虑的函数集中存在u0使D［u0］等于这

个下确界．他还举出了一个令人信服的简单例子．

给出处处连续但处处不可导函数的例子，也是其严格性的一个突出例证．魏尔斯特拉

斯于1872年在柏林科学院的一次演讲中提出了函数

子告诉了杜布瓦-

雷蒙，后者于次年在《克雷尔杂志》上发表了这个例子，从而引出了以后一系列关于函数

具有“反常”性态的发现．

魏尔斯特拉斯在分析中的另一重大工作是证明闭区间上的连续函数可以用多项式一致

逼近和周期为2π的连续函数可以用三角多项式一致逼近．这两条定理后来有许多推广．

毫无疑义，魏尔斯特拉斯的严格性最突出的表现是通过ε－δ建立整个分析体系．随着

他的讲授和他的学生的工作，他的观点和方法传遍欧洲，他的讲稿成为数学严格化的典

范．F．克莱因(Klein)在1895年魏尔斯特拉斯80大寿庆典上谈到那些年分析的进展时说，

“我想把所有这些进展概括为一个词：数学的算术化”，而在这方面“魏尔斯特拉斯作出了

高于一切的贡献”．D．希尔伯特(Hilbert)认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深

遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础．通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除

了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地

克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难．……今天……分析达到这样和谐、可靠和完美的

程度，……本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动．”

魏尔斯特拉斯的严格化也遭到一些人反对，最突出的是L．克罗内克(Kronecker)．他

对算术化进行了激烈的、刻薄的抨击，甚至否认象处处连续处处不可导函数这样的例子有

任何意义．

解析函数论的奠基人

魏尔斯特拉斯以其富有独创性的方法，首次以不依赖于几何直观的严格方式阐述和论

证了复变函数论，使这一19世纪中成就最辉煌的数学分支进入了深入发展的阶段．他在

这方面的工作不仅见诸论文[2，3，4，5]，而且更多体现在他讲授的课程中[12，15，18]．

解析性、解析开拓与完全解析函数

魏尔斯特拉斯研究解析函数的出发点是解析性概念．如果定义于复平面的区域D中的

复值函数f在D的每个点的一个邻域内可展开为幂级数，则称f在D内解析．这样的函数

在复意义下可导．他得到不恒等于零的解析函数f在其零点a处的分解式

f(z)=(z-a)ng(z)，

其中g在a的邻域内解析且g(a)≠0．由此得到零点的孤立性和解析函数的唯一性定理．

他指出，给定以a为中心、收敛半径为r(>0)的幂级数f，对圆盘|z-a|

f可展开为以b为中心、收敛半径r(b)≥r-|b-a|的幂级数．由此可按r(b)>r-|b-a|或

r(b)=r-|b-a|把收敛圆盘边界上的点分为正则点和奇点两类．前一情形可对f进行解析开拓，

后一情形则不能．他证明ρ=inf｛r(b)：|b-a|＜r｝＝0，从而得到幂级数收

整数且满足ab≥10)表明

此边界可能只含有奇点，他称之为“自然边界”；此时f不可能解析开拓到收敛圆外．

这样的开拓可能导致回到同一点时得到不同的函数值．在1884—1885学年的讲授中，

魏尔斯特拉斯引进了“解析函数元素”概念．如果S是以a为中心的具有正收敛半径的幂

级数，则称(a，S)为一个解析函数元素，简称元素．给定两个元素(a，S)，(b，T)，如果S

与T的收敛圆盘之交非空且S与T在此交上相等，则称这两个元素互为直接解析开拓．设

(a0，S0)，(a1，S1)，…，(an，Sn)是一个元素链，如果链中任何两个相邻元素互为直接解析

开拓，则称(a0，S0)与(an，Sn)互为解析开拓．从一个元素出发进行一切可能的解析开拓所

得到的元素的全体，就是一个整体解析函数，它一般是多值的．这种函数被称为完全解析

函数．

整函数与亚纯函数

魏尔斯特拉斯把只在无穷远点处有一个奇点的解析函数称为整函数，并得到了被R．奈

望林纳(Nevanlinna)称为“现代分析中最奇妙的结果之一”的整函数分解为素因子的定

在任一|z|≤R上一致收敛，于是整函数

其中g是整函数．

对于解析函数的孤立奇点，魏尔斯特拉斯区别了极点和本性奇点．在1874年12月

16日致科瓦列夫斯卡娅的信[21]中，他表述了下述命题：如果a是f(z)的本性奇点，则对任

何复数c(可为∞)，存在zn→a，使得f(zn)→c．根据F．卡索拉蒂(Casorati)1864年在柏

林游学时所作的笔记，在当时他与魏尔斯特拉斯等人的多次讨论中，已谈到这一定理．卡

索拉蒂和Ю．B．索霍茨基(Сохопкий)于1868年分别发表了类似结果．这一定理以及E．皮

卡(Picard)于1879年发表的著名定理，成为现代亚纯函数值分布论的起点．魏尔斯特拉斯

还得到了具有有限个本性奇点和任意多个(可为无穷个)极点的解析函数的一般表示式．

多复变函数论

在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数

与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系

数估计得到由幂级数表示的函数

gμ(z1，…，zn)=0(μ=1，…，m；m＜n)

所确定的隐函数zv=hv(zm+1，…，zn)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定理．

魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年

发表的“预备定理”[9]：如果F(z1，…，zn)是原点邻域内的解析函数，F(0，0，…，0)=0，

F(0，…，0，zn)0，则在原点邻域中F可表示为

其中k是不小于1的整数，av(z1，…，zn-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点

处取零值，g在原点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，

它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．

魏尔斯特拉斯的函数论

魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同

[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现

在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他

所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显

不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷

原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工

作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正

基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：

“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在

简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直

觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼

那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采

用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．

克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所

有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他

工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．庞加莱(Poincaré)写道，魏尔斯特拉斯使“整

个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎

曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．

到19世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的

复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把

这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决

不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特

拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话．

在数学其他领域中的贡献

椭圆函数论与阿贝尔函数论

魏尔斯特拉斯引进函数Al(u)k(k=1，2，3)与A1(u)，他采用这些记号显然是为了纪念

阿贝尔．他通过这些函数解决了把snu，cnu，dnu表示为幂级数之商的问题．后来，他

引进了在其椭圆函数论中起核心作用的函数，它是第一类椭圆积分的反演，满足微分方

程

并以u=0为极点．他得到了(u)的加法定理，从而把它解析开拓为全平面上的亚纯

函数，并得到展开式

他在“关于阿贝尔积分论”和1856年发表的另一论文中研究了超椭圆积分的反演问

题：由方程组

确定x1，…，xn作为(u1，…，un)∈Cn的函数，其中

通过引进第一类与第二类完全积分与函Al，Alj，alj=Alj/Al(j=0，1，…，2n)，他得

到了问题的解，导出了这些函数所满足的偏微分方程组与作为幂级数之商的表示式，建立

了alj之间的一些代数关系式．

魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程

中加以阐述．在他的理论中，由一个不可约代数方程定

y=ψ(t)是收敛幂级数；他

称这样的集合为“代数层”．他由此出发定义亏格(他称之为“级”)，证明亏格在双有理变

换下不变．他还定义定形式关于一个代数层的所有元素的残数之和为零，由此得到F(x，

y)的分解式．通过研究只有一个极点的有理函数，他得到亏格的新的代数刻画．他证明用

有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于证明代数函数黎曼面的紧性．他证明了阿

贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的P+1个P元阿贝尔函数之间存在一个

代数关系．

变分法

魏尔斯特拉斯关于变分法的研究最早通过A．克内泽尔(Kne-r)的《变分法教程》

(LehrbuchderVariationsrechung，1900)得到传播，该书对变分法研究有深远影响．他

关于变分法的讲义是由许多学生笔录的．在该讲义中，他考察平面变分法问题的参数形式

即积分

假定F在某个区域中正则并具有正齐性．第11章中证明了著名的“角条件”：给定的

极小化曲线在(t0，t1)中有限个点处间断地改变切线方

出可比关于共轭点命题的

严格证明(第16章)．他清晰地表述了曲线C为极值曲线的三个必要条件：(1)沿此曲线x，

y作为t的函数满足

其中F1由

确定．(2)如果C为极小(大)化曲线，则F1沿C取正(负)值．(3)从起始点开始，积分区

间至多能达到起始点的共轭点．他首次叙述并证明了曲线C给出I的极大(小)值的一个充分

条件：设上述条件(1)，(2)和(3)满足，F1在[t0，t1]上不为零也不为无穷，该区间中没有共

轭点对，如果把曲线的变分限于比较曲线与所给曲线相应点之间距离为任意小且切线方向

的改变也为任意小的情形(即现称的弱变分情形)，则当F1为正(负)时C给出极小(大)值(第

18章)．

魏尔斯特拉斯认为，也应考虑比较曲线与给定曲线相应点处切线方向不一定相近即现

称的强变分情形．此时他引进函数

为非负(非正)(第22章)．为研

究充分性，他引进现称的“场”概念，叙述并证明：如果E在位于场内且连接参数为t0，

t1的点的任一曲线C上为负(正)，则I沿满足微分方程G=0的曲线C0的值大(小)于沿C的

值(第23章)．像他的其他工作一样，他的变分法研究严谨透彻，明显区别于在此以前的有

关研究．

代数

魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型为平方和给出了一般方法．他建立了矩阵的初等因

子理论，实际上比C．若尔当(Jordan)早两年给出了现称的若尔当标准形；他完成了二次

型理论并把它推广到双线性型．他于1861年得到了关于线性结合代数的一个基本结果(发

表于1884年，)：具有有限个原始单元的实或复线性结合代数，如果满足乘积定律和乘法

交换律，就必是实数构成的代数或复数构成的代数(戴德金约于1870年得到同样结果，并

于1885年发表)．

卓越的大学数学教师

刻苦钻研、严谨治学

如前所述，在当中学教师的15年中，尽管教学任务繁重，工作条件很差，魏尔斯特

拉斯仍坚韧不拔、孜孜不倦地钻研数学，经常达到废寝忘食的程度．例如一天早上，他该

去上课的教室中起了骚动，校长走去一看，原来是教师未到．校长赶快去魏尔斯特拉斯的

寝室，发现他还在烛光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850年起，他患了眩晕症，

常持续一小时以上，直到一阵摧人心肺的呕吐后才见消退．这种脑痉挛症折磨了他十余年，

但他顽强地坚持教学和研究．实际上，在当中学教师年代，他是以牺牲健康为代价从事数

学研究的．

他在柏林大学仍承担巨大的教学工作负荷．1860年3月，在一次讲课中他突然晕了

过去．1861年底他完全病倒，在近两年中一直未能回到科学工作上来．他患有支气管炎和

静脉炎，经常发作．但只要有可能，他就坚持上课，常常只能坐着讲授，让优秀学生书写

黑板．

他总是推迟发表自己的工作，倒不是因为厌恶发表，而是力求以崭新的途径，使结论

建立在牢固的基础上．他反复推敲自己的观念、理论和方法，直到他认为已达到它们理应

具有的自然完美的方式为止，所以他正式发表的论文数量并不多．

魏尔斯特拉斯富有诗才．他曾说过，如果一个数学家不是某种程度上的诗人，他就永

远不会成为一个完整的数学家．但有点奇怪的是，不像很多数学家喜欢音乐一样，他讨厌

音乐．他是天主教徒，但在宗教观点上不走极端．

无与伦比的大学数学教师

魏尔斯特拉斯是古往今来最出色的大学数学教师之一．从1856年至1890年的68个

学期中，他每学期都有课，其中约有1/4的学期每周授课2门8学时；约有一半学期讲授

2门课程．他讲授的课程计有：椭圆函数论，椭圆函数论在几何和力学中的应用，阿贝尔

函数论，解析函数论，变分法，几何学，函数论选题，用幂级数表示解析函数，分析引论，

积分学，行列式及其应用，双线性型和二次型，齐次函数论，解析几何学，数学物理，分

析力学，分析光学．

从1861年5月起，他还与库默尔一起创办了柏林大学第一个数学讨论班，此后持续

不断，讨论他们开创的新观念和新理论．

当然，重要的不在于上了多少课，而在于培养的学生的状况．大学教学的目的是培育

善于思考、富于创造力的人才．在这方面，魏尔斯特拉斯的成功可以说是无与伦比的．他

善于用一种不可言传只能意会的精神激发学生的兴趣和创造欲．他讲课时不夸大其辞、哗

众取宠．他关心学生，循循善诱，慷慨地指给学生论文课题，在讨论班上不断提出富有成

果的想法，使之成为学生研究的主题，甚至把自己尚未发表也未留纪要的手稿借给学生，

而有的学生拿去后竟不再归还．

魏尔斯特拉斯的受到学生高度推崇的讲授并非一蹴而就而是长期磨炼形成的．开始时，

他讲的课比较混乱，有时令人费解．后来，他的课越讲越好，新的思想朴实无华自然而然

地涌现，使他讲授新理论的名声传遍全欧，听课人数激增．1869年讲阿贝尔函数，注册时

为107人，但后来听众竟达250人，不少人只得席地而坐．在他的学生(包括参加讨论班

的人)中，后来有近100位成为大学正教授．考虑到当德国大学正教授的难度，这实在是一

个惊人数字．他的学生中有一大批后来成为知名数学家，其中有P．巴赫曼(Bachmann)、

O．博尔查(Bolza)、F．恩格尔(Engel)、G．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)、K．亨泽尔

莱因、W．基灵(Killing)、

克内泽尔、柯尼斯伯格、科瓦列夫斯卡娅、M．莱尔赫(Lerch)、李、F．默滕斯(Mertens)、

H．闵科夫斯基(Minkowski)、米塔-列夫勒、E．内托(Netto)、A．普林斯海姆(Pringsheim)、

C．龙格(Runge)、F．朔特基(Schottky)、施瓦兹、O．斯托尔茨(Stolz)等．

也有少数人批评说，在魏尔斯特拉斯讨论班上，绝大多数参加者把他的理论奉为圭臬，

很难发表不同意见．克莱因就说过他与李在讨论班上常不得不为捍卫自己观点而战斗．

龙格说，魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦，其中

任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”．这是对魏尔斯特拉斯讲授的一个很好的概

括．