什么是正三棱锥

探求正四面体外接

球、内切球半径求法

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探求正四面体外接球、内切球半径

正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边

三角形，有外接球、内切球，且球心重合.

已知正四面体ABCD棱长为

a

，设外接球半径为R，内切球半径为

r

，球

心为O，则正四面体的高h是

6

3

a

，外接球半径是

6

4

a

即

3

4

Rh；内切球

半径是

6

12

a

即

1

4

rh.外接球半径是内切球半径的3倍.下面从不同角度、用

不同方法进行探求：

方法一：（勾股定理）

作平面于点,则点H是的中心，AHBCDHBCDV

高

6

3

hAHa

，设O为球心，则.OAH连结,.BHBO

在RtBOHV中，222BOBHOH，

即222

36

()()

33

RaaR

，

6666

,.

43412

RarhRaaa

方法二：（三角正切倍角公式）

作

平面于点,则点H是的中心，AHBCDHBCDV

高

6

3

hAHa

，设O为球心，则.OAH连结

,.BHBO

=,2.

AOBO

ABOBAOBOH





Q

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在RtABHV中，

3

2

3

tan,

2

6

3

a

BH

AH

a



在RtOBHV中，

3

3

3

tan2,

3

a

BHa

OHrr



2

2

2

3

2

22,

3

2

1()

2

a

r







6666

,.

123124

raRhraaa

方法三：（分割等体积）

作

平面于点,则点H是的中心，AHBCDHBCDV

高

6

3

hAHa

，设O为球心，则.OAH连结,,,BOCODO

得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是

内切球的半径

r

，设正四面体每个面的面积为S，

则4,

OBCDABCD

VV



即

11

4,

33

SrSAHgg

116

,

4412

666

.

3124

rAHha

Rhraaa





方法四：（侧棱、高相似或三角）

作

平面于点,则点H是的中心，AHBCDHBCDV

2

2tan

tan2,

1tan











Q

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高

6

3

hAHa，设O为球心，则.OAH

设M是AB的中点，连结,,,OMOBBH

AOBOOMABQ

AMOAHBRt，又MAOHAB，

AMOAHBV:V，

AMAO

AHAB

，

即

2

,

6

3

a

R

a

a



6666

,.

43412

RarhRaaa

或：设BAHMAO，则

在RtABHV中，

6

3

cos

a

AH

ABa



，

在RtAMOV中，

2

cos.

a

AM

AOR



6

32

a

a

aR



，以下同上.

方法五：（斜高、高相似或三角）

作

平面于点,则点H是的中心，AHBCDHBCDV

高

6

3

hAHa

，设O为球心，则.OAH

设E为BC中点，连结,AEEH，

作ONAE于N点，则N是ABCV中心，N是AE的三等分点，

平面，ON是内切圆半径r,ONABC

且

,RtANORtAEHV:V

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ANAO

AHAE



，即

3

3

63

32

a

R

aa



，

6666

,.

43412

RarhRaaa

或：设EAHNAO，则

在RtAEHV中，

6

3

cos

3

2

a

AH

AE

a



，

在RtANOV中，

3

3

cos.

a

AN

AOR



63

33

3

2

aa

R

a



，以下同上.

方法六：（斜高、侧棱相似或三角）

作

平面于点,则点H是的中心，AHBCDHBCDV

高

6

3

hAHa

，设O为球心，则.OAH

设E为BC中点，连结,,AEDEDO，延长DO交AE于N，

则N是AE的三等分点，.HDE且DN平面.ABC

则

,RtODHRtDNEV:V

OHOD

NEDE



即

OH

OD

=

NE

DE

1

3

，

1

3

r

R

，

又

6

,

3

RrAHha

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1636

,.

41244

rhaRha

或：在RtDNEV中，

1

sin,

3

NE

NDE

DE



在RtDOHV中，sinsin,

OH

NDEODH

OD



1

3

OH

OD

，即

1

3

r

R

，

又

6

,

3

RrAHha

1636

,.

41244

rhaRha

方法七：（构造正方体）

正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的

外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为

a

，则正方体

的棱长为

2

.

2

a

正方体的体对角线等于外接球直径，有

2

32

2

aR

，

6666

,.

43412

RarhRaaa

方法八：（相交弦定理）

设外接球球心为O，半径为R，过A点作球的直径，

交底面BCDV于H，则H为BCDV的外心，求得

63

,,

33

AHaBHa

由相交弦定理得

2

663

(2)().

333

aRaag

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解得

6

.

4

Ra

666

.

3412

rhRaaa

以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而

从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了

透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.