鸡兔同笼公式

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

【鸡兔问题公式】

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的

脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只

兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，

鸡、兔各是多少只？”

解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………

兔；

36-14=22（只）……………………………鸡。

解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………

鸡；

36-22=14（只）…………………………兔。

（答略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的

总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只

鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷

（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。（例略）

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总

脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷

（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）

÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。（例略）

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，

可以用下面的公式：

（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）

÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不

合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分

数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分

数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的

多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一

个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人

生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少

个灯泡不合格？”

解一（4×1000-3525）÷（4+15）

=475÷19=25（个）

解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

＝1000-18525÷19

=1000-975=25（个）（答略）

（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运

到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不

给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显

然可套用上述公式。）

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换

后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公

式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）

+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕

÷2=鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）

-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕

÷2=兔数。

例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将

鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少

只？”

解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕

÷2

=20÷2=10（只）……………………………鸡

〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕

÷2

=12÷2=6（只）…………………………兔（答

略）

鸡兔同笼

目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一

次方程

4抬腿法5列表法6详解7详细解法

基本问题特殊算法习题

8鸡兔同笼公式

1总述

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在

1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问

题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有

三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这

四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，

从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼

中各有几只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的

脚数）=兔的只数

（94－35×2）÷2=12(兔子数)总头数（35）－兔子

数（12）=鸡数（23）

解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里

的脚就减少了头数×2只，由于鸡只有2只脚，所

以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子

数。虽然现实中没人鸡兔同笼。

2假设法

假设全是鸡：2×35=70（只）

鸡脚比总脚数少：94－70=24（只）

兔：24÷(4-2)=12（只）

鸡：35－12=23（只）

假设法（通俗）

假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：

94-35=59（只）

然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就

摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：

59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）鸡：35-12=23

（只）

3方程法

一元一次方程

解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。

4x+2(35-x)=94

4x+70-2x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23(只）

或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

2x+4(35-x)=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12(只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会

在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一

些。

二元一次方程

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=35

2x+4y=94

（x+y=35)×2=2x+2y=70

(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)

y=12

把y=12代入（x+y=35)

x+12=35

x=35-12（只）

x=23（只）。

答：兔子有12只，鸡有23只

4抬腿法法一

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94

除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1，

这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的

只数。

法二

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×

2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔

子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有

24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡

5列表法

腿数

鸡（只数）

兔（只数）

6详解

中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5

世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，

比如“鸡兔同笼”问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，

问雉兔各几何？

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前

脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用

绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2

只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的

脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少

94-70=24（只）。

现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数

就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔

子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，

一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷

2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设

它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在

假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给

出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明

有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有

多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系

式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）

÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以

假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，

鸡的数量为y

那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得

出：兔子有12只，鸡有23只。

7详细解法

基本问题

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出现在

《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成

这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求

解。因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244

只脚，鸡和兔各有多少只

解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站

着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只

脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一

半，·也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数

相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩

下的就是兔子头数

122-88=34（只），

有34只兔子.当然鸡就有54只。

答：有兔子34只,鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数

特殊算法

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法

和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够

这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4

又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，

"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不

通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，

比244只脚多了

88×4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

(88×4-244)÷(4-2)=54（只）.

说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。

而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚

数）.

当然，我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚

2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，

68÷2=34（只）.

说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公

式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚

数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或

鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求

解，有人称为"假设法".

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两

种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔

各买几支？

解：以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有

11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，

280只脚。

现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.

利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的

特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也

可以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这

一设想，脚数是

8×(11+19)=240（支）。

比280少40.

40÷(19-11)=5（支）。

就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝

铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已

知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。

例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就

有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷(19-11)=3,

就知道设想6只"鸡",要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于

你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子。

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打

字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因

有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多

少小时？

解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10

的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙

每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间

看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的

脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同

笼"问题了。

根据前面的公式

"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5,

"鸡"数=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小

时。

答：甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，

兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父的年龄

是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.

那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一

年？

解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之

和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以

把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。

25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄的年龄

是

(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

(25-14)×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄

是

(40-10)÷(3-1)=15（岁）.

这是2003年。

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉

有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，

有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来

考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。

利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。

再利用一次公式

蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共

做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1

道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道

的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道，3道，4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把

他们看作是对2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5).这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5,

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.

答：做对4道题的有31人。

以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，

244只脚，鸡和兔各有多少只？

以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，

那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去

鸡的只数，即（88-X）只。

解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。

4X+2×（88-X）=244

上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，

就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）

就是鸡的脚数。

4X+2×88-2X=244

2X+176=244

2X+176-176=244-176

2X=68

2X÷2=68÷2

X=34

即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54

只。

答：兔子有34只，鸡有54只。