求斜率

高考复习中要对斜率公式另眼相看

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高考备考中要重视直线的斜率公式的应用复习

建水二中贾雪光

直线的斜率是直线的重要属性。它所描述的是一条直线相对直

角坐标系中横轴正方向的倾斜程度，是用数值描述直线的几何特征

的代表。是连接几何图形和代数方程的纽带，是数形结合思想的关

键联姻者之一。在解决解析几何类型题目及线性规划类型题目中都

有比较广泛的应用，甚至是在数列类型题目中的应用也比较常见。

纵观历年的考题我们发现，对斜率公式的考察，主要是通过对已知

条件进行变形或换元等手段，将问题化归为与直线斜率计算公式类

似的结构形式，充分利用直线斜率的几何意义，采用数形结合的思

想方法，来达到直观、简明的解决问题的效果。现笔者根据自己的

教学实践经历，将斜率公式在圆锥曲线、数列、线性规划类型题目

中应用情况列举说明如下，以期能够引起各位同仁在高考备考过程

中的高度重视，最终对各位的高效备考提供些帮助。

一、斜率公式在圆锥曲线类题目中的应用

1、点差法求轨迹方程

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经

常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为

1122

,,xyxy、，代入

圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关

系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法在求解解析几何类型

题目时有着不可忽视的作用，其特点就是巧代斜率公式。

3

例1已知椭圆

2

21

2

x

y，求斜率为2的平行弦的中点的轨迹

方程.

解设弦的两个端点分别为

1122

,,,PxyQxy，PQ的中点为,Mxy.

则

2

2

1

1

1

2

x

y————（1）2

2

2

2

1

2

x

y————（2）

12得：22

22

12

12

0

2

xx

yy



，1212

12

12

0

2

xxyy

yy

xx







.

又12

1212

12

2,2,2

yy

xxxyyy

xx







，40xy.

弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为

40xy（在已知椭圆内）。

2、数形结合求范围

例2若直线y＝(2a－1)x－2与线段AB有公共点，其中A(－

2，3)，B(3，2)，求实数a的取值范围.

分析：方程y＝(2a－1)x－2表示斜率为2a－

1，且过点M(0，－2)的直线，因此问题转化为求动

直线与线段AB有公共点的斜率2a－1的范围，再利

用数形结合可求得结果.

解：如图所示，图中直线MA与MB为所求问题

是的两条分界直线，

由斜率公式得k

MB

＝

2－(－2)

3－0

＝

4

3

，k

MA

＝

3－(－2)

－2－0

＝－

5

2

，

∴2a－1≥

4

3

，或2a－1≤－

5

2

，即即a≤－

3

4

，或a≥

7

6

.

∴a的取值范围是a≤－

3

4

或a≥

7

6

.

点评：转化的思想在数学解题中无处不在，解答本题的关键将

问题转化为图形语言，将所求的问题与斜率联系起来，利用数形结

合直观地得到，而本题要转化的前提条件是必须确定出直线过定点

4

(0，－2)，视2a－1为斜率.在上面解易犯如下错误：斜率是取两条

临界直线的斜率间的值，还是取之外的值.此问题可按下面规律处

理：如果倾斜角可以取90，那么斜率取两边；如果倾斜角不可以取

90，那么斜率取中间。

总之，直线斜率公式在解析几何中有着广泛的应用，除以上所

列举的应用而外，如判定两直线的位置关系，处理线性规划问题等

方面都可以看到直线斜率公式的应用。因此，在高考复习中必须加

强对斜率公式的理解，争取灵活掌握求直线斜率的各种方法和技

巧。

二、斜率公式在线性规划类题目中的应用

在线性规划中的应用主要是体现在用数形结合的思想来求解最

值方面，举例如下：

例3、已知实数x、y满足不等式组

224

0

xy

x











,求函数

3

1

y

z

x







的

值域.

解析：所给的不等式组表示圆224xy的右半圆(含边界)，

3

1

y

z

x







可理解为过定点(1,3)P，斜率为z的直线族．则问题的几何

意义为：求过半圆域224(0)xyx上任一点与点(1,3)P的直线斜

-22

Ox

y

（-1，-

-2

5

率的最大、最小值．由图知，过点

P

和点(0,2)A的直线斜率最大，

max

2(3)

5

0(1)

z







．过点

P

所作半圆的切线的斜率最小．设切点为

(,)Bab，则过B点的切线方程为4axby．又B在半圆周上，P在切

线上，则有

224

34

ab

ab











解得

236

5

66

5

a

b























因此

min

263

3

z



。综上可知

函数的值域为

26

,5

3







例4、已知函数),2[)(的定义域为xf，部分对应值如下表，)()(xfxf为

的

导函数，函数)(xfy



的图象如右图所示.若两正数a，b满足

3

3

1)2(







a

b

baf，则

的取值范围是（）

A．)

3

4

,

7

6

(B．)

3

7

,

5

3

(C．)

5

6

,

3

2

(D．)3,

3

1

(

分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基

本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，

原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增

函数。结合题中提供的函数的数据可得422ba，另外注意到

3

3





a

b

的几何意义就是连接定点和动点的直线的斜率，因此可以利用

x

－2

04

)(xf1

－1

1

6

直线斜率的几何意义，将问题转化为线性规划中的连接定点和动点

之间的直线的斜率问题来求解。

解析：由导函数的图象可知，原函数在区间[-2,0]为单调递减函数，

在区间（0，）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(fff，故

422ba，而ba,均为正数，可得可行域如图，

另外，

3

3





a

b

的几何意义是可行域内的动点和定点（-3，-3）连线的

斜率的取值范围，因此，根据直线斜率的性质及题目分析可得本题

的最大值点为点（0，4），此时最大值为

3

7

30

34







，最小值点为点

（2，0），此时最小值为

5

3

32

30







，所以答案应该选B。

三、斜率公式在数列题目中的应用

斜率公式在数列中的应用，主要体现在对等差数列的公差的求解

及与数列的单调性有关的问题的求解两方面。

现行高中新课标指出，要用函数的观点来认识数列。而对于一个

数列

n

a，如果从函数的观点来看，就是定义在正整数集上的函数，

下标n表示的是自变量，例如，等差数列的通项公式a

n

=a

1

+(n-1)d就

是一个关于n的一次函数；等差数列的前n项和公式

s

n

=n

d

an

d

)

2

(

21

2就是一个关于n的缺常数项的二次函数。因此用函

数观点研究数列时，如果涉及到的是等差数列，那么，这时如果对

•(-3,-3)

4

2O

x

y

7

等差数列的通项公式关于n求导的话，我们就有数列的公差

d=

1nn

aa



就是当自变量变化一个单位时的因变量的变化量。换句话

说，公差就是通项公式这个关于n的一次函数的瞬时‘变化率’，就是

数列通项公式的斜率，如果公差大于零，则数列是单调递增数列，

反之，如果公差小于零，则数列是单调递减数列。同理，在求解数

列的最大值、最小值时，由于等差数列的前n项和公式是二次函

数，所以，仍然可以对其求导后转化成与直线的斜率有关的问题来

处理。比如：等差数列中通项公式的斜率就是相关函数的导数，当

1nn

aa



大于零时，一次函数的导数值大于零，此时数列递增，当

1nn

aa



小于零时一次函数的导数值小于零，此时，数列递减。

1nn

aa



的绝对值大时一次函数导数值的绝对值大，数列的变化幅度

大，当

1nn

aa



的绝对值小时一次函数导数值的绝对值小，数列的变

化幅度小。所以说数列的公差d=

1nn

aa



也就是等差数列的通项公式

这一特殊函数的斜率起着和函数导数一样的作用，可以用它来分析

数列，特别是等差数列的增减性，甚至用来求解相关的极大、极小

值等问题。

可见，在用函数的观点来研究数列时，斜率公式及斜率的几何意

义在数列类题目求解中的重要作用。

总之，直线的斜率公式在高考数学知识中的地位和作用，我们从

上述三个方面的表现可见一斑，因此，我们在高考复习中，务必要

重视直线的斜率公式，正是，在高考备考复习中一定要对斜率公式

另眼相看。

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姓名：贾雪光单位：云南省建水县第二中学

联系电话：通讯地址：云南省红河州建水县第二中学

邮编：654311邮箱